安徽省青阳县第一中学2019-2020学年高二11月月考数学（理）试题

青阳一中20192020学年度11月份月考高二数学试卷（理科）考试时间：120分钟；满分150分一、选择题（每题5分）1、过点,且斜率为的直线的方程是()A.B.C.D.2、已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（

）A.B.C.D.3、已知,,则直线过()A.第一、第二、第三象限B.第一、第二、第四象限C.第一、第三、第四象限D.第二、第三、第四象限4、直线与圆相切，则实数的值为(

)A.或B.或C.或D.或5、一条直线过点，且在轴，轴上截距相等，则这直线方程为（

）A.B.C.或D.或6、下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④7、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则这个球的体积为（

）A.B.C.D.8、点在圆：上，点在圆：上，则的最小值是（

）A.B.C.D.9、已知，，在轴上有一点，使得为最短，则点的坐标是（）A.B.C.D.10、若圆的弦被点平分,则直线的方程为()A.B.C.D.11、如图,在底面是正方形的四棱锥中,面面,为等边三角形,那么与平面所成的角的正切值为()A.B.C.D.12、设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）A.B.C.D.二、填空题（每题5分）13、已知圆：，为圆的一条直径，点，则点的坐标为______.14、经过点,且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线的方程是_______.15、设光线从点出发,经过轴反射后经过点,则光线与轴的交点坐标为______.16、如图，在正方体中，，分别是和的中点，则下列命题：①，，，四点共面；②，，三线共点；③和所成的角为；④平面.其中正确的是__________（填序号）.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18、19、20、21、22题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本题满分10分）如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为与．

（1）求所在的直线方程；

（2）求出长方形的外接圆的方程.18、（本题满分12分）如图,在三棱锥中,平面,,点为线段的中点.(1)证明:平面平面;(2)若,直线与平面所成角为,求三棱锥的体积.19、（本题满分12分）已知圆，直线．(1)求证：直线恒过定点．(2)判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度．20、（本题满分12分）已知动点到点的距离是它到点的距离的一半，求：(1)动点的轨迹方程；(2)若为线段的中点，试求点的轨迹．21、（本题满分12分）如图,在中,,点在边上,,为垂足.(1)若的面积为,求的长;(2)若,求角的大小.22、（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱，的中点.（1）证明：平面；（2）若二面角为，①证明：平面平面；②求直线与平面所成角的正弦值.11月考（理科）答案解析第1题答案C,即.第2题答案C线段的中点坐标为，直线的斜率，∴直线的斜率，∴直线的方程为.第3题答案B因为,,所以均不为零,在直线方程中,令得,令得,因为,,所以,所以,所以,所以直线通过第一、第二、第四象限.第4题答案C圆的方程变形为，于是，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，得，即，解得或．第5题答案C①当直线经过原点的时候，其斜率为，代入直线方程的点斜式可以得到，整理得.②当直线不经过原点的时候，设其方程为，将点的坐标代入方程得，∴此时所的直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.第6题答案B在①中设过点且垂直于上底面的棱与上底面交点为，则由，可知平面平行平面，即平面；在④中平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行，所以平面.第7题答案D∵榜长为的正方体的体对角线长为，∴球的半径，∴球体积．第8题答案C圆：，即，圆心为；圆：，即，圆心为，两圆相离，的最小值为.第9题答案B关于轴的对称点，通过两点式给出直线方程：，即，再求出直线与轴的交点为.第10题答案B圆,得到圆心坐标为,又,∴,弦所在的直线方程斜率为,又为的中点,则直线的方程为,即.第11题答案B∵平面，∴为直线与平面所成的角，设底面正方形边长为，则，，∴.∴直线与平面所成的角的正切值为.第12题答案B由题意可得动直线过定点，斜率，直线可化为，斜率.令解得即.又，故两直线垂直，即交点为,∴，由基本不等式可得，∴，解得，当且仅当“”时取等号.故选B...第13题答案由得，，所以圆心．设，又，由中点坐标公式得，解得，所以点的坐标为．第14题答案或设所求直线方程为或,将点代入上式可得或.第15题答案设光线与轴的交点坐标为,则由题意可得,直线和直线关于直线对称,他们的倾斜角互补,斜率互为相反数,即,即,解得.第16题答案①②④由题意，故，，，四点共面；由，故与相交，记交点为，则平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，故，，三线共点；即为与所成角，显然；因为，平面，平面，所以平面.故①②④正确.第17题答案（1）；（2）（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，

因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.故长方形的外接圆的方程为．

第18题答案见解析;∵,为线段的中点,∴,∴平面,∴,∴平面,又∵平面,∴平面平面.(2)∵,,∴为正三角形,,∴,∴,∵平面,直线与平面成角为,∴,∴,∴.第19题答案解：(1)证明略；(2)直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是．解：(1)直线的方程经整理得．由于的任意性，于是有，解此方程组，得．即直线恒过定点．(2)因为直线恒经过圆内一点，所以(用《几何画板》软件，探究容易发现)当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时被截得的弦长最短．由，，可知直线的斜率为，所以当直线被圆截得弦最短时，直线的斜率为，于是有，解得．此时直线l的方程为，即．又．所以，最短弦长为．直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是．第20题答案（1）；（2）.解：（1）设整理得到所以动点轨迹方程为；（2）,为线段的中点，即有，而点在上，，∴点轨迹方程为∴点轨迹为圆心半径为的圆.即：第21题答案(1);(2).(1)由已知得,又,,∴,.在中,由余弦定理,得.∴.(2)∵,在中,由正弦定理,得,又,得,解得,所以.第22题答案（1）略（2）①略②取中点，连接，因为为的中点，则且，又由于为的中点，且,又平