甘肃省酒泉市2023-2024学年高二年级上册期末数学试题（解析版）

酒泉市普通高中2023〜2024学年度高二第一学期期末考试

数学试卷

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：选择性必修第一册第四章第三节结束.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的.

1.过点尸（一2」）且倾斜角为°的直线方程为（）

A.y—1B.x=_2C.y=_2D.x=l

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线的点斜式方程即得.

【详解】因过玖-2,1）直线倾斜角为0,即直线垂直于y轴，故其方程为y=L

故选：A.

2.在等差数列｛4｝中，若%+%+/=3,贝12a4+%=（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由等差数列的性质可得出+4+/=3%=3,则%=1，

2a4+%=2（%-d）+%+2d=3%=3.

故选：D

3.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选

法共有（）

A.10种B.12种C.20种D.60种

【答案】B

【解析】

【分析】分三类计数相加即可得解.

【详解】分三类：

第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有3种；

第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有4种；

第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有5种，

根据分类加法计数原理得共有3+4+5=12种不同的选法.

故选：B

2

4.已知双曲线％2—2L=l上一点产到它的一个焦点的距离等于5,那么点尸到另一个焦点下的距离等于

24

()

A.3B.3或7C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离.

【详解】由题意可知，a=l,c=5,

贝4「片5|=2,

所以忸周=3或归耳|=7,

又因为c—Q=5—1=4>3,

所以耳|=7,

故选：D.

5.若数列｛%｝是公比为4的等比数列，且q=2,则数列｛log2%｝是()

A.公差为2的等差数列B.公差为1g2的等差数列

C.公比为2的等比数列D.公比为1g2的等比数列

【答案】A

【解析】

【分析】由数列｛«„｝首项和公比求出等比数列的通项公式即可求得an，然后根据对数运算可得到log,an,

利用等差数列的定义可得结果.

【详解】因为数列｛4｝是公比为4的等比数列，且q=2,

所以=2X4"T=22""

log^^log^2-1=2/7-1•

所以数列｛log24｝是公差为2的等差数列，

故选A.

【点睛】本题主要等差和等比数列的概念与通项公式，以及对数的运算，属于基础题.

6.过点4(—1,4)作圆(x—2)2+(y—3)2=4的切线，切点为8,则切线段A5长为()

A.75B.3C.76D.币

【答案】C

【解析】

【分析】根据相切，由勾股定理即可求解.

【详解】设圆心为“(2,3),半径为厂=2,

所以|=J(_l_2/+(4—3)2=710,

故|阴=JAM2T2=R,

故选：c

e

o|\X

7.与直线x—y—4=0和圆/+/+2》—2y=0都相切半径最小的圆的方程是

A.(x+l)~+(y+1)2=2B.+(y+球=4

C.(x-l)2+(y+l)2=2D.(x+l)2+(j+l)2=4

【答案】C

【解析】

【详解】圆/+/+2为一2丁=0的圆心坐标为(—LI)，半径为夜，过圆心(―1,1)与直线x—y—4=。

垂直的直线方程为x+y=o,所求圆的圆心在此直线上，又圆心(―1,1)到直线X—y—4=。的距离为

卡=3日则所求圆的半径为0,设所求圆的圆心为(。力)，且圆心在直线x—y—4=0的左上方，则

S.a+b=0,解得a=l力=-1(a=33=-3不符合题意，舍去)，故所求圆的方程

为(x-1)-+(y+l)一=2.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档

题.

8.班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形

的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为

22

其左、右焦点分别是耳,

—+^=1,F2,直线/与椭圆C切于点P,且|期|=6,过点P且与直线/

2512

垂直的直线机与椭圆长轴交于点。则|"-I=()

5

D.

3

【答案】C

【解析】

【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.

【详解】由椭圆定义可得卢闾=2。—归耳|=10—6=4,

由光学性质可知，PQ为/的尸耳的角平分线,

闺闺耳一6一3

所以网=M=w=

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列式子正确的是（）.

A.C；=GB.c；=c：+c：

C.A：=4A：D.5x5!=6!-5!

【答案】ABD

【解析】

【分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘

定义计算即可.

【详解】A选项，C；=*=2LG=[x?x5x4x3=2i,故C；=C；,A正确；

2x15x4x3x2xl//

B选项，c；=5x4x3=]0,cj+c：=^+4*3*2=6+4=]0,故C；=C：+C：,B正确；

3x2x12x13x2x1

C选项，A：=6x5x4x3=360,4A：=4x6x5x4=480,故A"4A：,C错误；

D选项，5x5!=5x5x4x3x2xl=600,6!-5!=6x5x4x3x2xl-5x4x3x2xl=600,

故5x5!=6!—5!,D正确.

故选：ABD

22

10.已知方程上―+工=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）

4Tt-1

A.当1（/<4时，曲线C是椭圆

B.当/>4或/<1时，曲线C是双曲线

C.若曲线C是焦点在无轴上的椭圆，贝也<f<3

2

D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，贝卜>4

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.

，4-7〉0

【详解】A选项，曲线C是椭圆等价于卜-1〉0,解得1</<4且办:，故A错误；

2

4一777—1

B选项，曲线C是双曲线等价于（4—。。―1）<0,解得/>4或/<1,故B正确；

C选项，若曲线C是焦点在无轴上的椭圆，则4-解得1</<3,故C正确；

2

”1>0

D选项，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，贝IJ,解得/>4,故D正确.

4T<0

故选：BCD.

11.已知直线/：J§x+y+2=0,则()

5兀

A.直线/的倾斜角为一B.直线/在y轴上的截距为-2

6

C.直线/的一个法向量为"=(1,6)D.直线/的一个方向向量为丫=卜君,3)

【答案】BD

【解析】

【分析】将直线方程化简为一般式得到。=等，截距为-2,/的一个方向向量为丫=卜百,3),D正

确，计算得到C错误，得到答案.

2JT

【详解】直线/：J^jv+y+2=0,则丁=——2,左=f/5=tane，。£[0,兀)，故。=万~,A错

误，

直线/在>轴上的截距为-2,B正确.

3

飞故直线/的一个方向向量为丫=卜石,3),D正确；

"•v=(—6,3)(1,6)=—百+3G=26H0,C错误.

故选：BD.

12.“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内

耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋

线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋

绕而形成的图案，如图(1);它的画法是这样的：正方形ABC。的边长为4,取正方形ABC。各边的四等

分E,F,G,H作第二个正方形，然后再取正方形EFG”各边的四等分点M,N,P,。作第3个正方

形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形A8C。边长为生,后续各正方形边长依

次为g,a3,,an.如图(2)阴影部分，设直角三角形A即面积为白，后续各直角三角形面积依次为

b2,b3,,bn,下列说法正确的是()

且〃£N*，

因为〃eN*时，=是单调递增函数，所以1—*=—<1,

4⑶88⑶

rvwV

而生

41,故D错误.

二一一52

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出{%},{2}的通项公式，考查了学生思维能力、计算能

力.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线2y2=—%的准线方程是.

【答案】x=-

8

【解析】

【分析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解.

【详解】由2V=—x,所以/=—!工，即准线方程为x=L,

28

故答案为：X——.

8

14.某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名

女生，则不同的选法种数为.

【答案】16

【解析】

【分析】直接利用组合知识分步计算即可.

【详解】由已知可得六名同学选三名同学有C：=20种方法，而全选男生的有C：=4种方法，

所以至少一名女生的方法有20-4=16种方法.

故答案为：16

15.己知P,。分别为直线3x+4y—12=。与6x+8y+l=0上任意一点，则归。|的最小值为.

【答案】|

2

【解析】

【分析】根据两平行直线间的距离公式即可求解.

【详解】3%+4y—12=0可化为6x+8y—24=0.两直线平行，

”(-24)|5

|PQ|的最小值即为两平行线间距离，为

A/62+822,

故答案为：一.

2

16.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷

雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个

节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为.（注：一丈=十尺，一尺=十寸）

【答案】二尺五寸（或2.5尺）

【解析】

【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列{4},利用等差数列通项公式、前〃项和公式列出方程

组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长.

【详解】由题意知：从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{4},设公差

为d,

因为冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，

a,+«4+a7=3q+9d=315

所以‘°八9x8,…，解得％=135,d=—10,

S9=9QH-------d=855

所以芒种日影长为％2=q+111=135-11x10=25（寸），即二尺五寸.

故答案为：二尺五寸（或2.5尺）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知一A6C的顶点4（5,1）,AC边上的高3H所在直线方程为％—2y—7=0,A5边上的中线

CM所在直线方程为2x—y—5=0.

（1）求直线AC的方程；

（2）求顶点8的坐标.

【答案】⑴2x+y-ll=0

【解析】

【分析】（1）利用斜率之积为Kc•心H=T，再由点斜式写出直线方程；

⑵设点〃（口,2加—5）,利用中点坐标公式得到8（2加—5,4m—11）,代入5H所在直线方程即可；方

法二先利用点8在所在直线上，再利用中点坐标公式求出即可，与方法一过程相反.

【小问1详解】

因为边AC上的高3H所在直线方程为x—2y—7=0,

所以=-1，且kBH=-,即kAC=—2,

因为的顶点4（5,1）,所以直线AC方程：y-l=-2（%-5）,

即直线AC的方程为：2x+y—11=0.

【小问2详解】

（解法一）因为CM所在直线方程为2x—y—5=0,设点/（口,2加—5）,

因为M是AB中点，4（5,1）,所以6（2机—54"-11）,

因为6（2机—5,4m—11）在所在直线方程x—2y—7=0上，

所以2帆—5—2（4帆—11）—7=0,解得：m=^,5^——,——^.

（解法二）设点B的坐标为（九0,%），5H所在直线方程为％-2丁一7=0,所以%=2为+7

因为M是AB中点，A(5,l),所以加［十一，是一J,

因为CM所在直线方程为2x-y-5=0,代入得：

所以x0+5—5=0,即2/一%-1=0,

513(513、

解得：%=一］，％=一与，即'§'一］,

18.(1)己知椭圆经过点尸(3,0),离心率为焦点在X轴上，求椭圆的标准方程；

(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点坐标为(1,0),一条斜率为1的直线/经过抛物线的焦点尸，且

与抛物线相交于A,B两点，求|A6|.

22

【答案】(1)土+匕=1；(2)8

93

【解析】

【分析】(1)根据椭圆过的点可确定a的值，根据离心率求出c,可求得尸的值，即可得答案.

(2)解法一，由题意可得直线/方程以及抛物线方程，联立可得根与系数关系，利用两点间距离公式，化

简即可求得弦长；

解法二，由题意可得直线/方程以及抛物线方程，联立可得根与系数关系，利用抛物线定义可得弦长公式，

即可求得答案.

22

【详解】(1)由于椭圆的焦点在X轴上，可设椭圆的标准方程为=+1=L(a〉6〉0),

ab

已知椭圆经过点P(3,0),可得。=3,

由离心率为亚，可得£=",可得c=«,所以^2=/—。2=3，

3a3

22

故椭圆的标准方程为工+匕=1

93

(2)(解法一)设4(%,%),8(%,%),由已知可得直线/的方程为y=x-l,

又因为抛物线焦点坐标为(1,0),则焦准距夕=2,故抛物线方程为V=4%,

y=4x

由，消去儿得三―6x+l=0，A=32>0,

由一元二次方程的根与系数的关系得：西+々=6,%々=1，

于是I的=%了=J（X-J+［（%TH%T）了

=,2（工1-x,）-=A/2•，（玉+x,）--4%%=0•《6。-4x1=8;

（解法二）设A（尤，1%），由已知可得直线/的方程为>

又因为抛物线焦点坐标为（1,0）,则焦准距夕=2,故抛物线方程为丁=4%,

y2=4x

由，消去九得好―6%+l=0，A=32>0,

y=x-l

由一元二次方程的根与系数的关系得：为+々=6,石工2=1，

因为直线/经过抛物线的焦点产，根据抛物线的定义可知：

|人司=%+1,忸司=,+1,贝“AB|=|AF|+|M|=%+1+2=8.

19.已知数列｛4｝的前几项和为s“，且S,=2"“+〃—2.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设d='-」一，求数列也｝的前〃项和北，并证明：Tn<-.

anan+\3

【答案】（1）%=2"+1

（2）4=1一5七，证明见解析

【解析】

【分析】（1）由S“与4的关系求出通项公式即可;

（2）根据裂项相消法求和后放缩得证

【小问1详解】

由题知S"=2向+〃—2,S-1=2"+”—3(心2),

两式相减得4=2"+1(〃22).

又q=5]=22+1-2=3满足上式，

所以数列｛4｝的通项公式an=2"+1.

【小问2详解】

证明：由(1)知优=」------'—，

n2"+12,,+1+1

所以北=4+仇++么

-P___________________O+L+p______

(21+l22+1)(2?+l23+1J(2"+l2"+1+l)

11_11

-21+l-2n+1+l-3-2,,+1+l'

又小>o,所以

20.(1)过点M(4,0)的直线交抛物线V=4%于点A,B,证明：以A3为直径的圆过原点。；

(2)已知的顶点3,C的坐标分别为(—2,—1),(1,2),顶点A在圆好+丁+4%+8丁+11=0

上运动，求_ABC的重心G的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线.

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)设直线A3的方程为x=my+4,联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合向量的数量

积的坐标运算，即可证明结论；

(2)设「ABC重心G的坐标为(x,y),点A的坐标为(％,%),利用三角形重心坐标公式求出

x0=3x+l,y0=3y-l,利用代入法即可求得答案.

【详解】(1)证明：设3(々,%)，由题意可知直线A5的斜率不为0,

不妨设直线AB的方程为x^my+4,

将x=my+4与J=©联立得y2-4my_16=0,

22

A=16疗+64>0，由韦达定理得力•%=-16,%.々吟吟=16,

则04・03=芯々+%%=0，故。ALOB，

，

即以线段AB为直径的圆过原点。.

(2)设ABC的重心G的坐标为(x,y),点A的坐标为(七,%)，

已知顶点3,C的坐标分别为(—2,—1),(1,2),

则—ABC的重心G的坐标满足x=(-2)+1+%,=(T+2+%,

33

因此有％=3x+l,y0=3y-l,

因为点A在圆/+y2+4x+8y+ll=0上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，

将圆方程化为：(x+2)2+(y+4)2=9,即(%，%)满足:(尤0+2)2+(为+4)2=9,

代入得(3x+l+2y+(3y-l+4f=9,

当A,5c共线时，直线BC方程为y=x+l,联立x2+y2+4x+8y+ll=0,

求得％=—2或x=—5,即A点不能取(-2,-1),(-5,-4),则G不能取(-1,0),(-2,-1),

即.ABC的重心G的轨迹方程为(x+1)?+(y+=1,(去掉点(-1,0),(-2,-1))；

所以ABC的重心G的轨迹是以为圆心，半径为1的圆(去掉点(―1,0),(—2,-1)).

2222r

21.已知a>b>0,双曲线G：=—3=1,椭圆。，：=+==1,C与Cz的离心率之积为丫

abab2

(1)求G的渐近线方程；

(2)设M,N分别是C1的两条渐近线上的动点，且|MN|=J5,若。是坐标原点，OP=OM+ON，

求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线.

【答案】(1)y=±±x

2

丫2

(2).+>2=1,尸点轨迹是长轴是4,焦距是2省的椭圆.

【解析】

【分析】(1)先表示出双曲线和椭圆的离心率，然后离心率乘积列方程计算即可得2=也，从而直接求

a2

出双曲线的渐近线方程；

(2)设出N的坐标，根据两点距离公式及己知可得(、历『(％+%『+］乎;&+々)2=2,再利用

向量坐标运算公式得<一,代入化简即可求得动点轨迹方程，并根据椭圆定义说明轨迹.

U=X+%

【小问1详解】

G离心率是7^

c2离心率是

a\aa\a

由J1+!「与=当