苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(二)和正方形有关的压轴大题(原卷版+解析)

难点特训（二）和正方形有关的压轴大题1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点．直线与直线相交于点，且．(1)如图，当点在正方形内部，且时，求证：；(2)如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．(1)如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；(2)在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．(3)如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．(1)连接、．①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．(2)探究证明：①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．6．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点E．F分别为正方形ABCD边AD．AB上的点，连接CE，DF交于点P．(1)如图1，若DE=AF，则线段DF与CE具有怎样的数量和位置关系？说明理由．(2)如图2，若E为AD中点，F为AB中点，求证BP=BC．(3)若将正方形ABCD折叠，使得A点的对应点A'落在BC边上，折痕MN分别交AB，CD于M，N．若正方形的的边长为6，线段A'B=2，则DN的长为．7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．(1)如图1，若．①求BF的长；②求四边形DEGF的面积．(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；(2)请思考并解决小明提出的两个问题：问题1：B、G两点间距离的最大值为；问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？9．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．10．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图1，点P是矩形ABCD边CD上的一个动点，连接AP，以AP为边向外作正方形APEF，连接ED、FD．设DP＝x，，y与x的函数图像如图2所示．(1)AB＝______，BC＝______；(2)试问是否发生改变？如果改变，请求出W关于x的函数表达式；若不改变，请求出W的值；(3)当△DEF为等腰三角形时，求出x的值．11．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知正方形，E，F为平面内两点．(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．(1)证明：四边形ABCD是正方形；(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF=°；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：______．②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．15．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图①，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与相交于点，另一边与的延长线相交于点时．（1）证明：；（2）如图②，作的平分线交于点，连接．证明：．16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．(1)如图1，求证：AE⊥BF；(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．难点特训（二）和正方形有关的压轴大题1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点．直线与直线相交于点，且．(1)如图，当点在正方形内部，且时，求证：；(2)如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，证明见解析【分析】（1）证出△APD是等边三角形，得∠PAD＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得DFADa，CECD，DE＝2CE，即可得出结论；（2）①依题意补全图形即可；②DE﹣CE＝DF，过D作DH⊥AP交BC于点H，先证△ADF≌△DCH（AAS），得DF＝CH，再证ED＝EH，即可得出结论．（1）证明：设AB＝a．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝a．∵DA＝DP，∠ADP＝60°，∴△APD是等边三角形．∴∠PAD＝60°，在Rt△ADF中，∠AFD＝30°，∴DFADa，在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴CECD，DE＝2CE，∴DE+CE＝DF；（2）①依题意补全图形，如图2所示：②DE﹣CE＝DF，证明如下：过D作DH⊥AP交BC于点H，如图3所示：∵DH⊥AF，∴∠HDC+∠AFD＝90°，∵∠HDC+∠DHC＝90°，∴∠AFD＝∠DHC，在△ADF和△DCH中，，∴△ADF≌△DCH（AAS），∴DF＝CH，∵DA＝DP，∴∠ADH＝∠EDH，∵ADBC，∴∠ADH＝∠EHD，∴∠EDH＝∠EHD，∴ED＝EH，∴DE﹣CE＝DF．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．(1)如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；(2)在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．(3)如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)△AHF是等腰三角形，理由见解析(3)DE＝8【分析】（1）先证明四边形ABCD是矩形，证明△ADE≌△BAF（AAS），可得AD＝BA，即可证明四边形ABCD是正方形：（2）证明AB⊥BC，即AB垂直平分FH，即可证明△AHF是等腰三角形；（3）延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，证明△DAE≌△ABH（SAS），得到△AHF是等边三角形，即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∠DAE＝∠ABF＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝BA，∴四边形ABCD是正方形：（2）解：△AHF是等腰三角形，理由如下：由（1）得：△ADE≌△BAF，∴AE＝BF，∵BH＝AE，∴BF＝BH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，即AB垂直平分FH，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形．（3）延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，如图2所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABH＝∠BAD．∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH（SAS），∴DE＝AH，∠AHB＝∠DEA＝60°，∵DE＝AF，∴AH＝AF，∴△AHF是等边三角形，∴AH＝HF＝BH+BF＝AE+BF＝6+2＝8，∴DE＝AH＝8．【点睛】本题考查了特殊四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．(1)连接、．①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．【答案】(1)①；②证明见解析(2)【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．【详解】（1）①如图，连接，∵四边形和四边形都是正方形，∴,，∴，∵为的中点，∴，则，在中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②，证明：如图，延长交于点，连接，∵四边形和四边形都是正方形，∴，，∵落在对角线的延长线上，∴，∴，∴在的延长线上，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，在中，,∴，∴，，∴，∵，，∴，设，，∴，，∵，∴，即，∴；（2）如图，连接，∵∴当在上时，如图，此时最大，，由（1）可知是等腰直角三角形，∵，，∴，，∴∴，∴当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，此时，综上所述，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．(2)探究证明：①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．【答案】(1)(2)①见解析

②见解析【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；（2）①延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形．从而证明，得到△DEG是等腰直角三角形，得到，故可求解；②作，并截取，连接AG，证明△DEG是等腰直角三角形，得到，再证明，，，再得到四边形AGEF为平行四边形，则AF＝EG．故可求解．（1），理由如下：∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB2＝2DE2，∵B点与F点重合，∴AF2＝2DE2，∴；故答案为：．（2）①如下图，延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG．∵四边形ABCD是正方形，∴，，．∵，，∴四边形AFGD为平行四边形．∴AF＝DG，AD＝FG．∴FG＝CD．∵，AB＝BC，∴．∴∵．∴．∴．∴．∴．∴．∴，．∴．∴△DEG是等腰直角三角形∴，∴．∴．②如图，作，并截取，连接AG、GE．∵四边形ABCD是正方形，∴，CD＝AD．∴同理，．∵，∴．又∵DG＝DE，∴△DEG是等腰直角三角形∴，∴．∵，∴．∴．∴，AG＝EC．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴∴四边形AGEF为平行四边形．∴AF＝EG．∴．【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．【答案】(1)(2)能画出这样的正方形，理由见解析(3)见解析(4)∠QEM=75°，证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质得PN=MN，将，代入求解即可；（2）先证明四边形PQMN是矩形，再证明PN=MN即可；（3）根据正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，结合ASA证明△PNE和△EMQ全等，再根据全等三角形的性质即可证的结论；（4）先证明△EMN为等边三角形，得到∠EMN=90°，则∠EMQ=30°，再根据等腰三角形的性质可得出答案．（1）解：∵四边形PQMN是正方形，∴PN=MN，∵，，，∴，解得：，故答案为：；（2）解：能画出这样的正方形，理由为：∵于点M，交AB于点P，于点Q，∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°，∴四边形PQMN是矩形，∵四边形是正方形，∴∴△BN′M′∽△BNM，△BN′P′∽△BNP，∴，，∴，∵P′N′=M′N′，∴PN=MN，∴四边形PQMN为正方形；（3）解：连接ME，∵点E为BN的中点，∠NMB=90°，∴ME=BE=NE，∴∠EBM=∠EMQ，∵，∴∠EBM=∠PNE，∴∠PNE=∠EMQ，在△PNE和△EMQ中，，∴△PNE≌△EMQ（SAS），∴EP=EQ；（4）解：∠QEM=75°，证明如下：由（2）知，四边形PQMN是正方形，则∠NMB=90°，NM=MQ，∵∠NMB=90°，∠NBM=30°，∴∠MNB=90°－30°=60°，∵NE=NM，∴△EMN为等边三角形，∴ME=NM，∠EMN=60°，∴ME=MQ，∠EMQ=30°，∴∠QEM=（180°－30°）=75°．【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．6．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点E．F分别为正方形ABCD边AD．AB上的点，连接CE，DF交于点P．(1)如图1，若DE=AF，则线段DF与CE具有怎样的数量和位置关系？说明理由．(2)如图2，若E为AD中点，F为AB中点，求证BP=BC．(3)若将正方形ABCD折叠，使得A点的对应点A'落在BC边上，折痕MN分别交AB，CD于M，N．若正方形的的边长为6，线段A'B=2，则DN的长为．【答案】(1)相等；垂直；理由见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，AF=DE，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得DF=CE，∠ADF=∠DCE，即可证得DF⊥CE；（2）如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根据两组对边分别平行证明四边形BFDG是平行四边形，由三角形中位线定理的推论可得PH=CH，得BH是PC的垂直平分线，可解答；（3）过点M作MG⊥CD于G，连接DE交MN于P，由折叠可知，DE⊥MN，证明△MNG≌△A'AB（ASA），则MG=A'B=2，设A'M=x，由勾股定理列方程可得x的长，可求得DN的长．（1）解：DF=CE，DF⊥CE，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠A=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF=CE，∠ADF=∠DCE，∵∠ADF+∠CDP=90°，∴∠DCE+∠CDP=90°，∴∠CPD=90°，∴DF⊥CE；（2）证明：如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，∵E为AD中点，F为AB中点，∴DE=AF=AD，由（1）同理得：DF⊥CE，∴BG∥DF，∵BF∥DG，∴四边形BFDG是平行四边形，∴DG=BF=CD，∵GH∥DP，∴CH=PH，∴BH是PC的垂直平分线，∴BP=BC；（3）如图3，过点N作NG⊥AB于G，连接AA'交MN于P，由折叠可知，AA'⊥MN，∵∠AOG=∠PON，∠AGO=∠NPO=90°，∴∠BAA'=∠MNG，在△A'AB和△MNG中，∴△A'AB≌△MNG（ASA），∴MG=A'B=2，设A'M=x，则AM=x，BM=6-x，由勾股定理得：A'M2=BM2+A'B2，∴x2=（6-x）2+22，∴x=，∴DN=AG=-2=．故答案为：．【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线的定理的运用．注意作辅助线构建三角形全等，掌握三角形中位线定理是关键．7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．(1)如图1，若．①求BF的长；②求四边形DEGF的面积．(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①由“ASA”证明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的长；②利用等积法求出AG的长度，由勾股定理得出BG的长度，再由S四边形DEGF＝S△ABG，即可求出四边形DEGF的面积；（2）先证明四边形四边形BHGF是平行四边形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．（1）解：①∵在正方形ABCD中，∴，，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，在Rt△ABF中，，∴；②由①知，∴＝，∵，，，∴，即，∴，∴，∵在中，，，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∴四边形FBHM为平行四边形，∴，而，∴，∴，∵，∴，由（1）知，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；(2)请思考并解决小明提出的两个问题：问题1：B、G两点间距离的最大值为；问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？【答案】(1)①②都正确，证明见解析(2)问题1：1.5；问题2：【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正确；过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，证明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可证四边形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，进而可得当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，然后根据正方形的性质得出BG最大值；问题2：延长NG交AB于P，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，根据勾股定理得GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，进而可得MN的最小值为．（1）解：①②都正确，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB与∠GFB一定互补，故①正确；过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，又∵∠B＝90°，∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°−∠EFB，∵∠GER＝180°−∠BEF−∠GEF＝180°−45°−（90°−∠EFB）＝45°＋∠EFB，∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，∴∠GER＝∠GFT，在△GER和△GFT中，，∴△GER≌△GFT（AAS），∴GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：由（1）可知，GR＝GT，又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°∴四边形RBTG是正方形，∴∠GBF＝45°，∴BG＝GT，∴当GT最大时，BG最大，在Rt△GFT中，GF≥GT，∴当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，如图：∵四边形RBTG是正方形，∴BG＝RT＝EF＝1.5，∴BG最大值为1.5，故答案为：1.5；问题2：如图，延长NG交AB于P，∵ABCD，GN⊥CD，∴GP⊥AB，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，根据勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，∴MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，∵2（a−1）2≥0，∴MN2有最小值2，∴MN的最小值为．【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形判定与性质，勾股定理及完全平方式的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．【答案】(1)①正方形；②证明见解析(2)12(3)PQ2=PB2+DQ2；证明见解析【分析】（1）①结论：四边形CFGH是正方形；②证明△ABE≌△EFG（AAS），结合全等三角形的性质，根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；（2）如图，把绕A顺时针旋转得到，可得三点共线，证明可得设正方形ABCD的边长为x，则再利用勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）结论：PQ2=PB2+DQ2．将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，则AQ=AT，∠DQ=BT，ADQ=∠ABT=45°，证明∠TBP=90°，PQ=PT，可得结论．(1)解：①结论：四边形CFGH是正方形．故答案为：正方形．②理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∵GF⊥BC，GH⊥CD，∴∠F=∠GHC=∠HCF=90°，∴四边形CFGH是矩形，∵∠ABE=∠AEG=∠F=90°，∴∠AEB+∠GEF=90°，∠GEF+∠EGF=90°，∴∠AEB=∠EGF，在△ABE和△EFG中，，∴△ABE≌△EFG（AAS），∴AB=EF，BE=FG，∴BC=EF，∴BE=CF，∴FG=FC，∴四边形CFGH是正方形；(2)正方形ABCD，正方形HCFG，如图，把绕A顺时针旋转得到，则由，可得三点共线，结合旋转可得：而设正方形ABCD的边长为x，而∴x=12，∴正方形ABCD是边长为12；(3)如图，结论：PQ2=PB2+DQ2．理由：将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，则AQ=AT，DQ=BT，∠ADQ=∠ABT=45°，∵∠ABD=45°，∴∠TBP=90°，∴PT2=BT2+PB2=DQ2+PB2，由（2）得：∠EAG=45°，而∠QAT=90°，∴∠PAT=∠PAQ=45°，∵AP=AP，AT=AQ，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PT=PQ，∴PQ2=PB2+DQ2．故答案为：PQ2=PB2+DQ2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图1，点P是矩形ABCD边CD上的一个动点，连接AP，以AP为边向外作正方形APEF，连接ED、FD．设DP＝x，，y与x的函数图像如图2所示．(1)AB＝______，BC＝______；(2)试问是否发生改变？如果改变，请求出W关于x的函数表达式；若不改变，请求出W的值；(3)当△DEF为等腰三角形时，求出x的值．【答案】(1)5；2(2)不改变；(3)1或2或4【分析】（1）根据y与x的函数图像可知AB；由，代入即可求BC；（2），过点F作交AD的延长线与点G，则，证即可求证；（3）根据等腰三角形的性质，分、、三种情况进行讨论求解即可；（1）解：根据y与x的函数图像可知AB＝5；y与x的函数表达式为：；∵当时，；∴BC＝AD=2；（2）如图，过点F作交AD的延长线与点G，则，∴，∵四边形APEF是正方形，∴∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴∴∴∴三角形ADF的面积不发生改变；（3）①如图，当时，则，∴∴②如图，当时，作，同（1）理可得，∴，，∵，∴，∴③如图，当时，作，同（1）理可得，∴，，∵，∴，∴∴综上，x的值为1或2或4．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等证明、等腰三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作辅助线构造全等三角形是解本题的关键．11．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知正方形，E，F为平面内两点．(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)17【分析】(1)证明△EAD≌△FCD即可．(2)证明△EAD≌△FCD，得到DE=DF，AE=CF，由勾股定理证明即可．（3）结合（2）的结论，运用四点共圆，先求得EC=，根据勾股定理求得，运用正方形的面积等于计算即可．（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，∵∠EDF=90°，∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，∴△EAD≌△FCD，∴AE=CF．（2），，之间的数量关系为．理由如下：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，∵∠EDF=90°，∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，∵∠EDF=90°，∠AEF=90°，∴∠AED=90°-∠DEF=∠CFD，∴△EAD≌△FCD，∴AE=CF，DE=DF，∴△EDF是等腰直角三角形，∴故．（3）连接AC，根据题意，得∠AEC=∠ADC=90°，∴A、E、C、D都在以AC为直径的圆上，∵∠ABC=90°，∴点B也在同一个圆上，∴∠DEA=∠DCA=45°，∵∠EAF=90°，∴∠AFE=45°，∴AE=AF=，EF=AE=2，∴DE=DF+EF=3+2=5，根据（2）得，∴，∴，∴，∵∠AEC=90°，∴，∴正方形的面积等于．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握正方形的性质，四点共圆，勾股定理是解题的关键．12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．(1)证明：四边形ABCD是正方形；(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．【答案】(1)见解析；(2)CQ⊥QE，CQ=QE．证明见解析；(3)如图3-1中，当∠CGB=45°时，结论：CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，结论：CH=EG+AH．证明见解析．【分析】（1）根据邻边相等有一个角是直角的平行四边形是正方形证明即可．（2）结论：CQ⊥QE，CQ=QE．如图2中，延长EQ交BD于P，连接CP=CE．证明△CPE是等腰直角三角形，可得结论．（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CGB=45°时，C，E，G共线，此时E，H重合．结论：CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，A，E，G共线，此时G，H重合．结论：CH=EG+AH．【详解】（1）证明：∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG=90°，即∠ABC=90°，∵CD∥AB，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．（2）解：结论：CQ⊥QE，CQ=QE．理由：如图2中，延长EQ交BD于P，连接CP=CE．∵四边形BEFG是正方形，∴EF∥BG，即EF∥DG，∠EBG=90°，即∠DBE=90°，BE=EF，∴∠PDQ=∠EFQ，∵Q是DF的中点，∴DQ=FQ，∵∠DQP=∠FQE，∴△DPQ≌△FEQ（SAS），∴PQ=QE，DP=FE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDP=∠CBD=45°，CD=CB，∴∠CBE=∠DBE-CBD=45°，即∠CDP=∠CBE=45°，∵CD=CB，DP=EF=BE，∴△CDP≌△CBE（SAS），∴CP=CE，∠DCP=∠BCE，∴∠DCP+∠PCB=∠BCE+∠PCB，即∠PCE=∠BCD=90°，∵CP=CE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴PQ=QE，∴CQ⊥QE，CQ=QE．（3）如图3-1中，当∠CGB=45°时，C，E，G共线，此时E，H重合．结论：CH+EG=AH．理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABH=∠CBG，∵BA=BC，BH=BG，∴△ABH≌△CBG（SAS），∴AH=CG，∵CG=CH+EG，∴CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，A，E，G共线，此时G，H重合．结论：CH=EG+AH．理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABH=∠CBG，∵BA=BC，BH=BG，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴AE=CG，∵AE=AH+EG，∴CH=EG+AH．【点睛】考查了四边形综合题，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF=°；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；(2)EQ＝CQ，理由见解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN=BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE=BF，即可得出结论；（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）连接AQ，过点Q作HI//AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI=AB=AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD=HQ，AH=QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH=∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；(4)延长AG交BC于E，则EG=AG=5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE=BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在图2中，连接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：连接AQ，过点Q作HI//AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI=AB=AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分线，AQ=QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ=QE，AH=QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH=∠QEI，∠AQH＋∠EQI=90°，△AQE是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF=45°故答案为：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：则EG=AG=5，∴AE=10，在Rt△ABE中，BE=CE=BC-BE=8-6=2，由折叠的性质得：AC'=CE=2，故答案为：AC′=2.【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：______．②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．【答案】(1)①垂直；②BC=CD＋CF(2)成立，证明见详解；(3)【分析】（1）由边角边对应相等得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，进而得出结论①②；（2）由（1）解答得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=135°，进而得出结论；（3）过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD延长线于N，由△AMD≌△DNE，得到DN=2，EN=3；设B为坐标原点，由中点坐标公式可得F点坐标，结合坐标特征求出G点坐标，即可计算GE的长；（1）解：△ABC中，，，则△ABC等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠DAF=90°，∠BAC=∠BAD＋∠DAC=90°，∠