辽宁省十校联合体2024届高三年级上册八月调研考试数学试题及答案

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辽宁省十校联合体2024届高三毕业生八月调研考试

数学试题

东北育才学校、大连市第二十四中学命制2023823

本试卷共四大题，22小题，考试时间120分钟，试题满分150分。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

5.本试卷应该是钓鱼卷，请勿当真！

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题仅有一个选项符合题意）

1.方程厂=2.的实数解为（▲）.

A.2B.4C.2或4D.以上答案都不对

2.平面直角坐标系中X。），中，A（a,h）,B（c,d）,其中非负实数a,b和实数c,d满足。+匕

=20,。2+12=21,则|A8|的最大值为（▲）.

A.20B,21+V21C.20+721D.21

3.正四面体A-8CC中，在侧面ABC内有一个动点M,满足M到底面BC。的距离等于|MA|

的2也倍，则动点M的轨迹形状为（▲）.

3

A,一段圆弧B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

4.已知一个棱长为2的正方体，点AC是其内切球上两点，BQ是其外接球上两点，连接

AB,CD,且线段均不穿过内切球内部，当四面体小BCD的体积取得最大值时，异面

直线AO与BC的夹角的余弦值为（▲）.

数学试题第1页（共6页）

5.已知函数P（x）=4++。3/若sin?cos?a----；—是方程P（x）=0的根,

'sin-0

则尸（tai?。）=（▲）.

43八,

A.-B.-C.-----D.1

344

—>—>—>—>—►—>—>

6.已知平面单位向量q,02,%满足4+6+%=。，若,则

〃（4一.）+口（4-6）+%的最小值是（▲）.

7.已知在〃行〃列的数阵中，第1行第1列的数为处，数阵的每一列从上往下组成公差为

%的等差数列，每一行从左往右组成公差为42的等差数列.从第〃行第1列的数开始，沿

数阵的对角线斜向上组成新的数列，整个数阵的所有数的总和为（▲）.

rn（n-l）z.…n

A./?[na^H------（4+4）]B.—[CIQ+（〃—1）4+a。+（〃—l）u9]

2r（〃一1）,.,、■，

c.%+（〃—1）（4+4）D.H--——（4+4）]

8.四个村庄A、B、C、。之间建有四条路A3、BC、CD、ZM.在某个月的30天里，每逢

单数日开放A3、CD,封闭3CDA；每逢双数日开放5C、DA,封闭A&CD。游客小明

起初住在村庄A,在该月第2天，他以工的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以I-」

kk.

的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄8

的概率是（▲）.

1115435

A.-B.—C.—D.---

42958812

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有至少一个选项符合题意，

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9.对于变量x和变量y,通过随机抽样获得10个样本数据（x,y）（i=l,2,3,10）,

变量x和变量y具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为y=-2x+a,且样本中

心点为（6,9.3）,则下列说法正确的是（▲）.

A.变量x和变量y呈正相关.

B.变量x和变量y的相关系数H0.

C.a-21.3.

D.样本数据（5,12）比（7,5）的残差绝对值大.

数学试题第2页（共6页）

10.设复数ZI，Z2,Z3,且Z]Z2rO,其中Z]为确定的复数.下列说法正确的是（▲）.

A.若ZlZ2=\Z\I2，则Zl+Z2是实数

B.若ziZ2=\ziI2,则存在唯一实数对（a力）使得Z3=az\+bz2

C.若z1z3+|z3z1|=0,则Z3在复平面内对应的点的轨迹是射线

D.若|Z2|+|Z3|<1,则Z2—3<1

1-z2z3

11.平面直角坐标系中X。），中，已知抛物线「：y2=2〃x（〃>0）,焦点为F,准线为/,顶

点为A。则下列说法正确的有：（▲）.

A.抛物线上两点P、G与顶点A为正三角形三顶点，PG与「的对称轴交于N,则AN=6p.

B.过「上两点Q、Q'的切线交于T,作TKX./,直线QQ，与F的对称轴交于V,则TK=2FN\

C.过r焦点F作三条弦XX\YY',ZZ',则=.力）2.

9△X'YZyxyry2.

D.任意作一条直线/'与抛物线相交于R,R'（设R在P上方），在直线/'取两点T,厂使得

RR'=TT'（设T在R上方,「在8下方），分别过T,T'作「的切线，切点为S,S',直

线SS'和RR咬于M,则M为RR'中点.

12.若平面与一个球只有一个交点，则称该平面为球的切平面.过球面上一点恒能作出唯一

的切平面，且该点处的半径与切平面垂直.已知在空间直角坐标系O-xyz中，球。的半

径为1.记平面X。），，平面zOx,平面）0z分别为a,p,y.过球面上一点尸。（白，玄，击）

作切平面如，且如与a的交线为/o,下列说法正确的是（▲）.

A.4）的一个方向向量为（、》,一1,0）.

B./（）的方程为x+V2y+V6=0.

C.过z正半轴上一点M0,0,〃）作与原点距离为।的直线/'，设「={加|知=/仆U},

若「C/o=0，则力的取值范围为（3,+8）.

D.过球面上任意一点尸（x,y,z）作切平面江，记p=7iC\a,m=兀C。,n=nC\y,dp,dm,

27

dn分别为p,m，〃到原点的距离，则dp-dm•dn>—

数学试题第3页（共6页）

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡上)

13.定义在[1,2021]上的函数/(x)满足/(1)=/(2021)且对于任意x,ye[1,2021],均有

l/(x)寸'(y)l42|x-M，若对于所有满足上述条件的函数/(x),均存在实数见使得对于任意X,

ye[1,2021],总有，(x)寸■(训《见则实数小的最小值为▲。

14.在A48C中，已知$皿4=8$8=1211(7,边“力满足8>G,,则』的最大值是▲。

(此空结果保留两位小数)

15.四面体A-BCQ的体积是V,AB=a,AC=b,AD=c,CD=p,DB=q,BC=r,则其

外接球半径R为▲。

16.某34人班级派5人参观展览，班级里有11人喜欢唱，4人喜欢跳，5人喜欢r印，14人

喜欢篮球，每个人只喜欢一种。5人站一队参观，但是当队伍中第人次+1次+2/+3个人

分别喜欢唱、跳、阳0、篮球时，上述4人会讨论蔡徐坤，展览馆不希望有人讨论蔡徐坤。

当且仅当两个队伍生至少有二个位置上的A的喜好丕同八百个队伍才被认为是丕同的.，则满

足上述条件的丕同的排队方案数为_4_。

四、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)

已知H为锐角41BC的垂心，AD.BE、CF为三角形的三条高线，且满足

9HDHEHF=HAHBHC.

(1)求cosAcos8cosC的值.

(2)求cosNC48.cosNC84的取值范围.

18.(12分)

直三棱柱ABC-44G中，AB=AC=A4i,点M,N满足AM=AAB],CN=4cAi且

MN_LABi,MML4C.设/84C=6>(0<。<兀).

(1)证明：丸+〃=1；

(2)当，变化时，是否存在若存在，求。；若不存在，说明理由.

数学试题第4页(共6页)

19.（12分）

已知数列｛%｝满足a“=4_］+巴丛(〃N3),且4=a2=l

an-2

(1)求数列｛怎｝的通项公式。

(2)设/(x)=++“.+；x")(xN0,〃eN*),其中e是自然对

xn+i

数的底数，求证：0«/(幻<------

(〃+1)!

(3)设S,,为数列他/的前n项和，实际上，数列｛SJ存在“极限”，即为：存在一

个确定的实数S,使得对任意正实数“都存在正整数机满足当〃，“时，|S“-S|<〃(可

以证明s唯一)，s称为数列｛£，｝的极限。试根据以上叙述求出数列的极限S»

20.(12分)

某单位有12000名职工，通过抽验筛查一种疾病的患者.假设患疾病的人在当地人群

中的比例为p(0<p<1).专家建议随机地按k(k>I且为12000的正因数)人一组分

组，然后将各组k个人的血样混合再化验.如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；

如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.

设该种方法需要化验的总次数为X.

(1)当£(X)>12000时，求p的取值范围并解释其实际意义；

(2)现对混管血样逐一化验，至化验出阳性样本时停止，最多化验R次.记W为混

管的化验次数，当R足够大时，证明：E(W)<——!—r；

1-(1-p)«

(3)根据经验预测本次检测时个人患病的概率“)，当后=6时，按照po计算得混管

数量y的期望E(y)=400；某次检验中％=440,试判断个人患病的概率为外是否合理。

［如果2P(r>K))<0.05,则说明假设不合理］.

附：若X〜N(〃，〃)，则P=0.6827,P(|X-〃|<2。)=0.9545,

P(|X-/Z|<3<7)-0.9973.

数学试题第5页(共6页)

21.(12分)

已知。>0,曲线G：d=4y,过点M(0,b)的曲线G的所有弦中，最小弦长为8.

(1)求b的值;

(2)过点M的直线与曲线。交于A、8两点，曲线Ci在A、8两点处的两条切线

交于点P,求点P的轨迹C2;

(3)在(2)的条件下，N是平面内的动点，动点。是C2上与N距离最近的点，满

足|NQ|=|NM的动点N的轨迹为C3；并判断是否存在过M的直线/,使得/与Ci、/与

C的四个交点的横坐标成等差数列，说明理由。

22.(12分)

设方程(x—2)2e*=a有三个实数根七(％<工2<£)•

(1)求a的取值范围；

(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同。

若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分。

①证明：(王—2)(々一2)<4；

②证明：x+x+x+—+—+—<—

}23玉龙2七2

数学试题第6页(共6页)

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数学试题参考答案与解析

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题仅有一个选项符合题意)

题号12345678

答案DCDDBCAC

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有至少一个选项符合题意，全部选对得5分,

部分选对得2分，有选错的得0分)

题号9101112

答案BCACDACDAC

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡上)

题号1314

答案20200.44(0.43~0.45均可)

题号1516

答案J(即+bq++/</+cr)(即-bq+cr)(ap+力q-cr)

24V1015

部分小题解析：

6.设z=l-u-v.则|u(ei-e3)+v(e2・e3)+e3I2=u2+v2+z2-wv-uz-zv

=j(Q—v)2+(v—z)2+(z—u)2)>|(Q—v)2+(v—z)2)=

之二，当且仅当u=：,z=〃=如寸，上式等号成立.

1624

故|u(ei-e3)+v(e2-e3)+e31的最小值为

7.由题意，从左下方沿数阵的对角线斜向上组成的数列均为公差为dzd的等差数列，这很容易就能证明.因

此，从第n行第1列的数开始，沿数阵的对角线斜向上组成的数列的所有项(n项)之和为

na

~[o+(九一1)d1+a。+(九一1)。]=na0H---------(岂4-d2)-

整个数阵所有数的总和

Td=i^j=i[aQ+。-1)由+。-IN?]

数学试题第1页(共14页)

=%1(岑=4一1)刈+归=J。。+(J-l)d2])=%i[n(i-1)刈+na0+^d2]

=nSili[ao+咛d2+(i—l)dj=n|n(劭+号d2)+dj

=n[na0+"p@+d2)].

8.对n=0,1...15,用斯表示该游客恰有n天通过道路AB或CD的概率，以表示该游

客恰有n天通过道路BC或DA的概率.考虑函数

於)=%(1+t)Gx+忌%+H)

g(x)=(1+3①+|)...岛％+粉.据条件，知即为f(x)的n次项系数，bn为g(x)的n次项系数.第30

天结束时，游客住在村庄B当且仅当他通过道路AB或CD的总天数为奇数，且通过道路BC或DA的总天

数为偶数.于是，这样的情况发生的概率为

p=(%+a3T----卜。15)(匕0+b2T-----卜瓦。

=注意到,/(_D=_1XIX|X...X|Z=__L(

g⑴=l,g(-l)=0.故p=1(1+^)j=^|.

11.A:设P(2pt2,2pt),G(2pu2,2pu)SA(0,0),由AP2=AG2W-4p2(t4+t2)=4p2(u4+u2),(t2-u2)(t2+u2+1)=0因t2

+u2+1>0"u,故知t+u=0,u=-t,G(2pt2,-2pt)

即P,G为「上的对称点,AN为PG边上的高.设PN=/,贝ljAN=回「(百3).又由P在抛物线y2=2px上，

故I2=2p-V3/,I=275P(舍去0根)AN=V3Z=6p,A正确。

B：设Q(2pt2,2pt),Q'(2p〃2,2p〃),则xT=2ptu,xK=-^,KT=\2ptu—I-

2

由Q,Q','N共直线得2P(t—u)xN+4ptu(t—u)=0

xN=-2ptu,FN=\xN-xF\=\-2ptu+^|=KTfB错误。

C:设P(2p产，2pt),Pr(2pt,2f2p1),Q(2pu2f2pu),Q'(2pu,2f2p〃')，

R(2piA2pv),Rr(2pv,2f2pu)由F,P,P共直线得

t—t'+—t')=0因t—t'丰0,故1+4*=0,tr=—2,同理u'=——,v'—

4t4u4v

2222

SPQR=2p\t(u—v)+u(v—t)+v(t—ii)\

2，2rf，2r,y，2,r>

同理SpfQ/Rf=2p\t(u—v)+u(y—u)+v(t—u)\

=2口3点0+点0+高(£-•|

p2

=32.标户一切+vt(y-t)+t"(t-")I

数学试题第2页（共14页）

易见二式最后两绝对值相等，故■=64尸&2=喙**用

C正确。

D：设R(_2pu2>2pu),R'(2pu'212pu'},Q(2pt2,2pt),Q，(2pt"，2p〃).则直线RR'

—X+Q+uf)y=2paiz'过Q的切线2ty=x+2pt2

解得交点TyT=^*%—yR=^^—2pa=V、(t—u)多

同理力，—”，二西三布仁一优乃由两共直线线段RT=R，T，知

yr-VR=yR'-y”(力-7R)+(力-yw)：=。

从而(t-u)2(u+u'—2t')+(t'—u')2(u+it'—2t)=0(1)

又直线QQ'-x+（,t+t'）y=2ptt',与直线RR'方程联立解得交点M

y=2P"='）要证共直线的线段RM=只要证y+y=2yM.即证

Mu+u-c-tfiRl

2pa+2pa，=2.鬻芸?

即证(a+u')2-Q+u')(t+t')=2uu'-2tt'即证u2+u'2-(u+u')(t+t')=-2tt'

即证Q+优—2t')t+-u2-u,2)=0(2)

把己证的式（1）的左边写成t的方程

(u+u'-2t')t2+(-2u2—2uu'—2t'2—2u'2+4t'u+4t'u')t+[u2(u+u'—2t'~)+(w+—u'}2}=0

证其左边有式（2）左边为其因式，得

rfrr2/2

[(u+u-2t')t+(ut+ut-u-u)][t+(-u一〃'+t')]=0但£+—”一优H0(否则从yM=

鬻三?知不存在交点M）,从而式（2）成立.D正确。

故选ACDo

12.由于切点处的半径垂直于切点处的切平面，因此切平面兀。的一个法向量是m=（方春脸）,平面a的一

个法向量是n=（0,0,D.因为交线1。同时在歆和a内，所以mJJo且nJJo,设1。的方向向量为？=（x'，y'，z'）,则

—111

Tfl,2=-7=4—7=V'+-F2z'=0,t,.—、

屉-声取£=（金，-l，0）,A选项正确.为了确定交线1。的位置，我们需要知道1。

n'{=z'=0,

上其中一个点的坐标.根据情景，我们可以试图求平面POz截直线1。得到的点Q的坐标.方便起见，设

P（x。,y。,z。）.在平面POz内,过点P作PH，OQ于点H,则丽=（如加0）,|。*=J诏+%.由于丽与丽共

线，因此要求点Q的坐标，只需求|OQ|.由RtAOHP-RtAOPQ得瞿!=黑，从而QQI=富=「L因此

I。产IWQIJxo+yo

数学试题第3页（共14页）

即Q（焉'焉‘°）.方便起见，在1m"=%°/，10：：+2。2'=°，中取？=（一丫0，殉，0）.容易知道，直线

Ax+By+C=O的其中一个方向向量是（-B,A）.因此设lo的一般式方程为xxox+yoy+C=0,代入点Q的坐标得y0,

高巧+Xo-f5+C=°，解得C=-l，因此1。的方程为%x+2、-1=0,即x+一n=0,B选项错误.

“o+y（）%o+y（）vovs

显然r与球o相切，所有的r组成双锥面，双锥面与平面a的交线即为圆r由于rni°=0,因此圆「与直线1。

相离.临界条件下，r与1。相切，「的半径长即为|OQ|,不过还没证明OQJJ。，下面进行证明.（直接用向量

数量积为0即可证明，不过不够本质）因为OPJ_7to,loUTto,所以lo±OP.因为Oz_La,loua,所以lo_LOz.因为

OPnOz=O,所以1。，平面POz.因为OQu平面POz,所以OQLo,得证.因此当F与1。相切时，切点即为点Q,此时

PQ与z轴的交点正是点N最低的位置No（0,0,ho）.由RtAOHP^RtANoOQ得需=黑，从而得到坛=

Jxo+yo,~r=^

\ONo\=叱吸QI=------------因此h>h0=y/2,C选项正确.

Z()ZQ

根据上面的分析得知，d'=|0Q|=高/=彳、.根据对称性得知，dm=/号,dn=去j.点P（x,y,z）

在半径为1的球O的面上，有x2+y2+z2=l.显然有：xY,y2<l,z2<l,故

d^d-=J(-2)(1j(5)2I,2；=同，当且仅当13=9=1",即|x|=|y|=|z|=看时,

V八，八，1i-z2+i_y2+i_z2)

等号成立.但y=(I?>Jgy,D选项错误.

13.先证明对于任意x,ye[1,2021],均有慎力-购|《2020.若|x-y|<1010,则\fl,x)-fly)\<2\x-y\<

2020;若|x-j/|>1010,不妨假设1<x<y<2021,则

1/W-©I=IAx)-XD+.A2021)-yOOI<施0-.ADI+贸2021)-&)|42|x-1|+2|2021-y\=2(x-1)+

2(2021-y)=2x2020-2(y-x)<2x2020-2x1010=2020,

因此，对于任意x,y£[1,2021],均有l/(x)<2020.

再证m=2020是最小的.

设函数/)=2|x-则函数外)满足可)=/2021)=2020.

对于任意不等的实数x,y£[1,2021],不妨假设1<x<)，(2021,则定)-用，)|=2

|x-1011|-[y-1011|<2|(x-1011)-(y-1011)|=2|x-j^|,因此火x)=2|x-10111是满足已知条件的函

数.取x=l,y=1011,则[/(I)-7(1011)|=|2020-0|=2020.

数学试题第4页（共14页）

综上可得，实数m的最小值为2020

14.由sinA=cosB,得4=]±B,由题意可知，tanC存在，所以C打，即4+B吧，所以4=已+8,所

以24+C=24+(TE—A—B)=2A+卜—力一(4—&)]=

上.4,八./3TTCcos2i4但y.Asin2i42sin24cos42(l-cos2i4)cos/l

由sinA=tanC=tan——2A)=--,得1=s\nA-----=---；——=-----———,

\2/Sin2i4cos2i42cos2i4-l2cos24-l

故2cos3/+2cos2y4—2cosA-1=0,令cosA=x(-1<%<0),则/(%)=2x3+2x2—2x—1(-1<%<0),

尸(x)=6x2+4%—2=2(3x-1)(%+1),

当％V—l时，f'(x)>0；当—lVxVO时，/z(x)<0；

所以函数f(%)在(一8,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，

令f(x)=O,则x^-0.403^-0.40所以cosA«-0.40,sinA«0.916,

cosF«0.916,sinB«0.40,-=—=—=tanfi®0.44,答案为0.44(0.43~0.45均可).

asmAcosB

15.设二面角C-AB-D的平面角是a,^ABC的外接圆半径是R.,AABD

的外接圆半径是R2,则/O正。产a。因为/EOQ=/EO2O=90。,所以点E、Oi>O2、O共圆,EO是该圆的半

EOi+EO9-ZEOi-EO^cosa

径，所以E0=曳nn鱼=U——---------------由此得到

sinasina

R=AO=>JAE2+EO2=/丝+更辿*2.；。""迎。

Y4sin2a

aA「cacosACB

又因为E0=R^osACB=-------cosACB=-一：----,

12sin4CB2smACB

E=RcosAD=^cosACB=IcosADB

012BsinADB"

sin2a+£?日g_2cosACBcos4DBcosa

2

所以R=sin24cBsinADBsinACBsinADBa因为V=-abcsinBACsinBADsina,

sinao6

_______6V_______

所以sina=

abcs\nBACsinBAD>

22

22cosACBcosADB2cosACBcosADBcosa

abcs\nBACs\nBAD.sina+~~5----------1s

R=sin*JCBsin*ADBsin^CBsinJOB

因此6r

E天出工的.2cAC(.?.COS2ACB,cos2ADB2cosACBcosADBcosa\

现在来计算smzBACsmzBADsm2a+—；——+—；-------------------------------。

\sin24cBs\n2ADBsinACBsinADB)

cosCAD-cosBACcosBAD

因为cosa=

sinBACsinBAD

1-COS2BAC-COS2BAD-COS2CAD+2COSBACCOSBADCOSCAD

所以sin2a

s\n2BACsin2BAD

数学试题第5页（共14页）

因此得至(jsin2BACsin2BADsin2a=1-cos2BAC-cos2BAD-cos^AD+2cosBACcosBADcosCADo

另外

sin2BACsin2BADcos2ACBsin2BAD,

,,cos,2ADBq2_,

sm2BACsm2BAD———=cos2ADBsin2BAC

sin2ADBa2

siMB心而如。；黑黑片

=各®CsinBWosW飞盛篙产

=cosACBcosADB^cosCAD-cosBACcosBAD),

所以

2

siMB4Csin2BAD(sin2a+黑怒+cosADBZcosACBcosADBcosa

s\n2ADBsinACBsinADB

=1-cos2BAC-cos2BAD-cos2CAD+2cosBACcosBADcosCAD

22

+-^-cos2JCBsin2BAD+^-cos2JOBsin2BAC

a~a~

-2-^-cosACBcosADB(cosCAD-cosBACcosBAD)。

a~

把cosBAC=SsBAD=吆*cosCAD=cosACB=^^,cosADB=

222222444222222444

sin284c=2ab+2ar+2br-a-b-rsin2BAD=2ac+2aq+2cq-a-c-q

4a2b24a2c2

代入上式进行化简，最后得到

22

sin2BACsin2BAD^sin2a+cosACB+cosADBZcosACBcosADBcosa

sin2ACBs\n2ADBsinACBsinADB

(ap+bq+cr)(—ap+bq+cr)(ap—bq+cr)(ap+bq—cr)

16a4b2c2

所以

y/(^p+bq+cF)(r-ap+bq+cF)(ap-bq+cry(ap+bq-cr)

R=

24V

16.先求有多少个排布方案，满足至少有1堆人讨论。可以枚举有i堆人讨论，这样放置的方案数是以-3i

证明：首先，对于每一种方案，有n-4i个没有被选中的位置。

我们可以考虑枚举这些没有被选中的位置。把每一个讨论的组看成一个整体，缩成一个点。这样就有n-3i

个点了。

对于所有n-3i个点，如果被选中，成为一个讨论的组，那么这个点就要被展开代表4个人。否则就代表

一个人。我们直接从这n-3i个点中选取n-4i个点作为没有被选为组的点。这样方案数就是洋二£=以心

显然这样的枚举对应的方案是唯一的（可以把这些选为组的点展开，再顺序标号）。

数学试题第6页（共14页）

然后这么多位置已经固定了，怎么计算剩余不讨论的人的排列数呢?

可能有些排列会有不只i个人讨论！所以我们考虑，枚举有i〜）且人讨论。这样就可以排除干扰，对剩下

4

的乱排列了。设初始4个数最小值为mini

答案ans=£普『（一1）1-母_3/阑余n-4i个数的排列个数］

证明：发现枚举至少一组的时候，对于一种可行的方案（这里代指枚举方案）会算2次至少两组的贡献，算

3次至少三组的贡献。

枚举至少两组的时候，会算3次至少三组的贡献，算6次至少四组的贡献。

枚举至少i组的时候，会算©次至少j组的贡献（jNi）所以我们可以通过，忆式-1）»T“=1

来算出单个的贡献。这可以通过二项式展开来证明。

所以答案ans=£胆『（一1）一•以_3「［剩余n-4i个数的排列个数］

设喜欢4种爱好的人初始有xg,X3,X4个这时候分别还剩下xi-i,X2-i,X3-i,X4-i个人

相当于求有重复元素的排列！我们知道，如果xi+x2+x3+x,=n

那么排列答案就是eg瑞国行如果XI+X2+X-,答案就是。。

如果xi+x2+x3+x4>n呢？考虑枚举+排列。

(n4i)!

ans-E[a+b+c+d-ii

a!b!dd!

a<xii,b<T2i.Ewt

,h

=(n4i)!工[a+b+c+d=n1a!d!dd!

a<z)-i,b<x2ix<x3-i,d<X4i

我们前面还要用所有排列的个数减去答案，所以真正的答案其实就是

ans=£吃•［剩余n-4i个数的排列个数］

代入数据解得方案数为1015.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

已知H为锐角AABC的垂心,A。、BE、CF为三角形的三条高线,且满足9HD-HE-HF=HA-HB-HC.

（1）求cosAcosBcosC的值.

（2）求8$/。4氏85/。区4的取值范围.

（1）记aABC的三个内角为A、B、C.

注意到，cosB-cosA+sinA-sinB=cos（B-A）<l.

由题意结合几何关系得cos/l-cosB-cosC=g

(2)

cos/1•cosB-cosC=cosA-cosB(sinA-sinB-cosA-cosB)

<cosA-cosB(l-2cosAcosB).

数学试题第7页（共14页）

故工工C0Si4•cosB<

63

当cosA=cosB=嘉时,cosA-cosB取得最小值;

当cosA=cosB=5时,cosA-cosB取得最大值.

因此，所求范围是依，1.

18.（12分）

直三棱柱ABC-4AG中，AB=AC=AAIMM,N满足AM=AAB],CN=4cA且

"N_LA3],MN_LAC设N3AC=。(0＜。＜兀).

(1)证明：4+〃=l；

(2)当。变化时，是否存在MNi，3G?若存在，求。；若不存在，说明理由.

解：(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，AAi所在直线为z轴,

则Bi(1,0,1),C(cos0,sin0,0),Ai(0,0,1),M(X,0,X)

因此而i=(1，0，1),刀1=(—cos。，—sin。，1),丽=(一〃cos0一〃sin。，〃)，

则MN=(cos0—“cos夕sin。—“sin。，4—X),

由题MN•AB[—cosd—ficosd-4+4-4=0,

MN•CAr=〃-1+Acosd+〃-4=0,

两式相减，得壮尸1.

(2)代入入+产1,则

Xcos0-X+1-2X=O因此2=-/z=2c°s,

3-cos。'r3-cos。'

因此有

MN•81d=cos?。—cos0—〃cos8+〃cos。—Acos0+4+sin20—“sin?。—〃+A

=1r—023xcos0A+l2”4—n2〃=1d---2--c-o-s-6--H-2---4--+-2-C--O-S-0

3-cos03-cosO

_1-COS0

3-cos0

由于0＜0＜兀,而•瓦？不为0,因此不存在MN1BC1.

19.(12分)

2

已知数列｛4｝满足an=an,+——(n＞3),且q=a,=1

4-2

数学试题第8页（共14页）

（1）求数列｛%｝的通项公式。

(2)设/(x)=l—eT(l+'x+-!~x2+...+_Lx")(x20,〃eN*),其中e是自然对数的底数，求

1!2!n\

xn+i

匹°7（幻<刖

（3）设5,为数列｛《J的前n项和，实际上，数列｛S,存在“极限”，即为：存在一个确定的实数

S,使得对任意正实数"都存在正整数机满足当生加时，|S"-5|<”（可以证明S唯一），S称为数列

｛SJ的极限。试根据以上叙述求出数列的极限S。

(1)题设递推公式等价于_^i^i(>3),设b=皿，则b=l+b,

an-i=+an-2nnann+1n

且瓦="=1,于是bn是首项和公差均为1的等差数列，即（刈=n。当n>2时，累乘可

al

得：a=——-----a_•••—…必由=(n-1)x(n-2)x•••x1x1=(n-1)!,而

nan-lan-2ain2al

a1=l=O!,故an=(n—1)!。

⑵①证明：由/(x)=1—e~x^1+4-^x24F(xNOFWN*),则

/'⑺…((1+”#+・“+力)一(1+”杀*“+小”力)=，嗑

由x>O,neN',f'(x)=e-q>0,且仅当x=0时等号成立

n-l

于是f(x)在血+oo)上单调递增，故f(x)>f(0)=0o设g(x)=f(x)-—y—JO

171十Lj.

g'(x)=frM—篙=-1),由x>0,nEN^,e~x-1<0故

g'(x)<0,且仅当x=0时等号成立，于是g(x)在［0,+co)上单调递减，故g(x)<g(0)=0o

于是OS/Q)〈篇得证。

②数列Sn的极限S=e。

_n+l

由①知，0</(%)<』v，整理得：

I兀十，八

°-(1+1+#+…+次”高于是对n>2,

0<ex—^1+.%+124---h(n-l)!Xn-1)—"心，令X。得：

。We—(l+=+5+…+信/W,由题意，Sn=1+2+抖…+房亦故

\Sn-e\<彳,于是|Sn-e\<当且对n=l也成立，于是对任意正实数u,三也是一个确

1111n!1n1nu

数学试题第9页（共14页）

定的正实数，于是一定存在一个正整数m,使得小>；,于是当nNtn时，

|Sn-e|<|<^<”,于是数列Sn的极限S=e。

20.(12分)

某单位有12000名职工，通过抽验筛查一种疾病的患者.假设患疾病的人在当地人群中的比例为p(0

<p<l).专家建议随机地按k且为12000的正因数)人一组分组，然后将各组k个人的血样混

合再化验.如果混管血样呈阴性，说明这《个人全部