河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题（含答案）

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合Λ∕={x∣V-3χ+2=θ},Λ^={x∈Z∣x2-6x+5＜θ},则集合

心（VUN）中的子集个数为（）

A.1B.2C.16D.无数个

2.已知复数ZO=I段，其中i为虚数单位，且|z—Zo∣=l,则复数Z的模的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知α是第二象限角，则点（COS（Sina）,sin（cosα））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22

4.关于椭圆。：「+当=1（。＞。＞0）,有下面四个命题：

Clu

C2

甲：长轴长为4；乙：短轴长为2：丙：离心率为---；J：—=4

2c

如果只有一个假命题，则该命题是（

A.甲B.乙C.丙D.T

5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是5,若机=Ig（1-5）,则，”的值为（）

99

A.BC.-2D.lg99-2

100-⅛

6.数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生

活中的应用,要求每位学生只讲述一种曲线,每种曲线至少有1名学生讲述,则可能的安排方案的种数为()

A.240B.480C.360D.720

7.在正方体ABCO—44GA中，下列说法不正确的是()

A.直线AG与直线BC垂直

B.直线ACl与平面ABO垂直

C.三棱锥A-CfO的体积是正方体ABS-AgGR的体积的三分之一

D.直线A岗与直线BG垂直

8.B⅛ll⅛∣Mα=(2cos75°,2sin75),∕>=(cos15,-sin15),K(2π+⅛)±(α-λb),则实数2的值为()

A.8B.-8C.4D.-4

9.点P是棱长为2的正方体ABCr)-A4GA外接球球面上的任意一点，则四棱锥P—ABCD的体积的最

大值为()

4口4(l+√3)4(√3-l)8

3333

10.已知数列｛a,,｝满足q=2,aιn+n-am+an,若4t+1+4+2++¾+∣0=310,则A=()

A.10B.15C.20D.25

11.已知函数/(幻=2$拘(。》+工］+机(。〉0)的最小正周期为了，若工＜T＜万，且y=∕(x)的图象关于

对称，则/£=()

A.-1B.1C.3D.1+百

12.已知x+e"=y+lny,且f=y—x+l,则实数/的最小值为()

12

A.1B.-C.2D.一

ee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线y=gx+l与抛物线∕=4y交于A,B两点，则IABl=.

14.已知圆C经过抛物线y=/一4x—8与X轴的交点，且过点(0,2),则圆C的方程为

15.若二项式(五―的常数项为-80,则〃=____

INX)

16.已知函数/(x)=eτ-e*,若函数〃(X)=/(x—3)+x+l,则函数〃(x)的图象的对称中心为；若

数列｛为｝为等差数列，q+4+/++/022=6066,则〃(4)+〃(％)++^(。2022)=-

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都

必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)在AABC中，。是边BC上的点，AC平分N84C,ZXABO的面积是AACD的

面积的两倍.

(1)如图1,若NBAC=I20°,且IADl=1,求ZsACD的面积；

(2)如图2,若点E在边AB上，且IBCl=石IAC∣A£|=——∖AB∖,求tanN8CE的值.

2

18.(本小题满分12分)在四棱锥Q—ABCC中，底面ABC。是正方形，若AO=2,QD=QA=逐,QC=3.

(1)证明：平面Qlo_L平面A8CZ)；

4

(2)若点P为四棱锥。一ABCO的侧面QCQ内(包含边界)的一点，且四棱锥P—ABCQ的体积为§,求

BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.

19.(本小题满分12分)为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩X之间的关系，从某校高三学生中抽取10名

学生，他们的成绩(x∣＞学(ι=l,2,•••,10)如下表:

Xi729096102108117120132138147

y39495359616969798090

(1)请用相关数据说明该组数据中)，与X间的关系是否可用线性回归模型拟合；

(2)求物理成绩y关于数学成绩X的线性回归方程；(结果保留三位小数)

(3)从统计的10名学生中随机抽取2名，求至少有一名学生物理成绩不少于60分的概率.

附：参考数据与参考公式

1010IO10IO3257.43257.4

χLX?√10687455.36

Σ%Σ%∑iyiΣH4845.63269.16738

/=1i=l/=I/=I/=I

112264875963130734441960.6723269.167380.9964

n.

z(ɪ,-ɪ)(z-ʃ)zu-ɪ)(ʃ,-ʃ)

相关系数，=—/目，b=^-^ι------------,a=y-bx.

J∑u-^2∑(χ-y)2£(—)2

V/=1/=1E

22

20.(本小题满分12分)已知双曲线C:=*—)(α>0,6>0)的离心率为B且双曲线C过点A(Jl2卜

直线交双曲线C于尸，。两点(异于点A),直线AP,A。的倾斜角互补.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求证：直线1与直线2√Σx+y=0平行

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=lar—αx.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)讨论函数/(x)的零点个数，并证明你的结论.

(-)选做题：共10分

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)［选修4—4：坐标系与参数方程］

',4

X=I+τ

在平面直角坐标系XO)，中，己知直线的参数方程为<5C为参数)，抛物线C的极坐标方程为

Psin2θ=4cos6*.

(1)求直线/和抛物线C的直角坐标方程；

(2)求直线/被抛物线C截得的弦长.

23.(本小题满分10分)［选修4—5：不等式选讲］

己知α,b,C是正实数，且α+b+c=3.求证：

(1)abc<1；

(2)4α2+4Z?2+C2>6.

答案

1.B先求M={1,2),7V={x∈Z∣l<x<5)={2,3,4},所以MDN={1,2,3,4},则布(MUN)={5}

,所以子集的个数为2.

【易错提醒】注意补集的概念，不能错误的选成C.

【解题提示】此题要注意运算技巧，另外要注意复数的几何意义。

2.CZO=IU)=2i,则IZ-ZoI=I表示的是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，则IZl的最大值为

3.

【易错提醒】不注意运算技巧，直接分子分母同时乘以3Mi再求可能容易算错.

3.【解题提示】先确定OVSina<1,TvcosavO,进而确定COS(Sina)>0,Sin(CoSa)vθ.

D因为OVSinaVL—l<cosɑ<0,所以COS(sinɑ)>0,sin(cosɑ)<0,(cos(sinɑ),sin(cosɑ))在

第四象限.

4.【解题提示】先假设某两个正确，则另两个必有一个正确一个错误；否则这两个不可能都正确.

所以e=£=立，—ɪɪ,则丙正确，丁

D假设甲、乙都正确，则a=2,6=1,所以C=Ja2_廿=6

a2c√3

错误.

5.【解题提示】利用循环语句研究数列的前99项和，注意裂项相消求和法的应用.

C由程序框图可知，本题要求的是先求「一+」一+—!—++—?—的值，即求

1×22×33×199×100

1--+---++-——L=I—--,然后再求1—S=」一,故m=一2.

22399100100100

6.A先选出2人讲同一种曲线，再全排列，C；&=240.

【易错提醒】必须注意，先选后掉.

7.D设正方体ABCD-的棱长为1,以C为原点，以CB,CD,CG所在直线分别为x,y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

则AG=(-11),B1C=(-l,0,-l),AB=(OT_1),

AD=(-1,0,-1),ABi=(0,-1,1),BCi=(-1,0,1).

所以AG•4C=(T)X(T)+(T)Xo+lχ(T)=0,AGAB=(T)χ0+(T)χ(T)+IX(T)=0,

AC1∙^r>=(-ι)×(-ι)+(-ι)×o+ι×(-ι)=o,

所以AC∙LBC,AC^lΛlβ-ACl±A,D

即AC∣,BC,AC1YA1B,AC1YAtD

又A∣8cAO=4,所以AC∣J∙平面AB。，故A,B正确.

AB1-BC1=O×(-l)+(-l)×O+l×l=l≠O.所以ABl与BG不垂直，所以D错误，

匕cm。T-4x；XgXlXlxl=；.

VI

所以AiCiBD------,故C正解.

VABCDAlB£53

8∙【解题提示】此题不需要知道15°和75度的三角函数值，只需知道”,b两个向量的模及“，b两个向量垂

直即可.

人因为。-。=28$(15+75)=0,忖=2,忖=1.

所以(24+b)∙(α-九7=8—4=0.

所以)=8,

9.【解题提示】关键是求出四棱锥尸一ABCQ的高的最的最大值.

B由正方体与外接球的关系知2R=百∙"=2百，即R=G.则四棱锥P-ABCD的京的最大值为√3+l,

所以四棱锥P-ABCD的体积的最大值为

10.【解题提示】由a,”+,,=。,.+。“可得。向-。“=4=2,进而可以发现数列｛α,,｝是首项和公差均为2的等

差数列.

A因为anι+n=am+a”所以an+1-an=al-2,故数列

{4}是首项和公差均为2的等差数列，所以q=2+(〃-1)x2=2〃，

2(Z+l)l+2(Z+10)

所以a,,÷∣+4+1+■•-+fln+10=———---------×10=310-解得G10∙

IL【解题提示】先根据周期T的范围确定。的范围，再利用对称性确定①的值，进而求出f的值即可.

JFTT2TT

C因为工＜7＜)，所以上＜丝＜乃，即2＜口＜6,

33ω

又因为y=∕(x)的图象关于(篝,1)对称，所以m=1,

5ωππ24左一4.

-----v-=kπ,Z∈Z,所以=-------,KeZj,

2465

又因为2<<υ<6,所以刃=4,所以/(专C,兀”"∖[ɔ

=2sιn—I—+1=3.

(36)

12.【解题提示】先将X+,=y+Iny化成X+/=Iny+/”,

再利用函数y=x+e"在R上单调递增得到kIny,进而转化为求片y—lny+l的最小值即可,

C因为x+e"=y+Iny可化成x+e'=Iny+/”.又因为函数y=x+e"在R上单调递增,

所以X=Iny,由t=y-↑ny+∖的最小值是在y=l时取得可知，^min=2.

13.【解题提示】联立方程，求出交点坐标，然后代入公式直接求解.

V=ʌ/ɜX+1fx=2>∕3+4[x=2Λ∕3-4

【解析】由匕,X十人得「l厂，7L

X~4y,%=7+4>/3%=7—4j3

所以A,8两点的坐标为Q√5+4,7+4√^),(2√3-4,7-4√3)),所以

∣AB∣=^(2√3+4)-(2√3-4)]2+p7+4√3)-(7-4√3)2=16.

答案：16

14.【解题提示】用圆的一般式方程，再结合两个一元二次方程同解即可.

2

【解析】设圆。的方程为/+V+Dr+Ey+尸=o,令y=。，X+DX+F=0,则由圆C经过抛物线

y=f—4χ-8与X轴的交点可知方程V+DX+E=。与/一4》一8=0同解，所以。=T,/=一8,所

以圆C的方程为χ2+y2-4x+6y-8=0,又因为圆。过点(0,2),所以4+2E-8=0,所以E=2,所以

圆。的方程为f+/—4χ+2y-8=0.

答案：x2+y2-4x+2y-8=0

【易错提醒】直接求出与X轴的两个交点，再用一般式方程或标准方程求解都比较复杂，容易算错.

n-rr

15•【解析】由题意可知=(-2)yQ

r

(-2)C>-80r=3

且r,〃为整数，可得《‘

n=5.

答案：5

16.【解析】因为/(x)+x为奇函数，所以〃(力=/。-3)+%-3+4的图象关于(3,4)成中心对称，由数列

{/}为等差数列可知4+4o23τ∙=60=1,2,3,,2022),故(a,,MaJ)与(々必-,，"％^,))关于点(3,4)对

称，故〃(OI)+〃3)++〃(4022)=8088.

答案：(3,4)8088

【易错提醒】注意由函数/(x)+x为奇函数找出函数∕z(x)的对称中心.

17.【解题提示】运用面积关系及正弦定理.

【解析】(1)因为ZVLBO的面积是AACD的面积的两倍，∕84C=120,且IAO=1,Ao平分/84C.

所以S.=；IAOHA却∙*=2SACD=2TAO∣∙∣AC∣∙亭，所以|他卜2∣4q,

又因为SABC=3SW=31|4*|4叶曰=乎|Aq=JABHACl•日=白∙2∣ACl2,

所以IAc=|,所以SAS=*C∣∣AD∣岑g乎=浮

所以ZXACD的面积为之叵；

8

(2)由(1)知I相=2∣AC∣.设IAq=RW∣J∣AB∣=2⅛,

又因为忸C=GIAq=J⅛,

IACI2+∣BCI2=b1+3b1=4从=∣AS『,

所以AABC是以/AC8为直角的直角三角形,

bAE

在Z∖ACE中,由正弦定理可得---------=-----------=

sin/AECsin∠fACEsin∠fACE

在zλ8CE中,由正弦定理可得

BE2⅛-(√3-l)⅛(3-√3)⅛

SinZBECSinZBCEsinZBCEsinZBCE

因为SinZAEC=SinZBEC,所以sin/ACE=smZBCE,

又因为NAC£,NBCE均为锐角，

JT

所以ZACE=ZBCE=上，所以IanZBCE的值为1.

4

18.【解题提示】取AO中点为0,可以先证明QO_L平面ABCD(或Co_L平面AOQ),

第(2)问可以利用第一问的证明建系落实.

【解析】(1)取AO的中点为。，连接Q。，CO.

因为QA=Qr>,OA=OD.则QOLAO,而AD=2,QA=亚,故QO=√ΓΠ^=2.

在正方形ABCz)中，因为AD=2,故。。=1,故CO=非,

因为QC=3,故QC2=QO?+OC2,故^QOC为直角三角形且QO_LOC,

因为OCCA£>=0,故Qo_L平面ABCD,

因为QoU平面QAO,故平面QA。，平面A8C。.

(2)在平面ABS内，过。作OT〃C£),交8。于T,则OT_L4).

结合(1)中的QOL平面ABe。，故可建如图所示的空间直角坐标系.

则。(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),C(2,1,0),

故BQ=(-2,1,2),8。=(-2,2,0),CD=(-2,0,0).

14

因为=二二工，所以用

Vχ4χ∕Zr1,

P-ABCD§ɜʃ

又因为点P为四棱锥Q-ABCD的侧面QCD内的一点(包含边界)，

所以点P的轨迹是AQCD的中位线EF,

设"=∕IE∕(O≤;1≤1),则EP=曰CD=(一40,0),BP=BE+EP=(-∖-λ,^,l

1^2√29

设BP与平面ABCr)所成角为α,贝IJSina2-------，

29

α+D2+j

所以BP与平面ABCr)所成角的正弦值的最小值为2叵.

29

75963-10×1^x648L4

z(ɪ,-ɪ)(z--ʃ)3

19•【解析】（1）因为r=i=l------------1Q-一=-157∙4-≈0.9964,

23269.167383269.16738

V(=1(=1

而0.9964非常接近于1,所以可用线性回归模型拟合.

32574^

(2)因为b=2=--------≈0.672,a=64,8-0.672×112.2≈-10.598,

4845.6

∑α-力

/=1

所以物理成绩y关于数学成绩X的线性回归方程为y=0.672x-10.598.

（3）记“从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的为事件A”，则一次

试验中所含有的基本事件的个数〃=C富=45,

事件A中所含有的基本事件的个数m=Gj-C;=39.

所以从统计的K）名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的概率为

m3913

P(A)

n4515

20.【解题提示】已知离心率通常将a,b,C用同一字母表示，注意定点定值问题的处理方法.

y2

【解析】（1）因为双曲线C:二=∖（a>0,b>0）的离心率为逐，所以双曲线的方程可表示为

a

22

lɪ--ɪ-=!,又因为双曲线。过点A（、历,21

21

所以一2-----J"——1)所以¢/=1,b2=4,

cia~

所以双曲线的标准方程为/=1;

4

（2）根据题意可知直线/的斜率一定存在，故可设直线/的方程为y="+加（加≠2-√^t）,将y=履+机代

22

入得(一公卜2所以+超-2kmrn+4

W-3=142-2knvc-tτι-4=0,XI-----，XlX2

二一4厂k2-4

又因为直线AP,AQ的倾斜角互补,

设尸点坐标为（x∣,χ）,Q点坐标为（工2，%），所以--7==---%---T=>即

-

X2V2X、-72

(%-0)(3+m_2)=_(%22

所以2AxM2+(加一2-V∑A)(X+x2)-2∖∕2(∕w-2)=O,

2km2+8⅛+2y∣2k2m+4km-2km2-2y[2^k2m-2k2-4m+8)

所以=O

k2-4

化简得卜〃+岳-2)卜+2&)=0.

又因为m+J5%—2≠0,所以k=-2>

又因为A=4⅛2-4()t2-4)(m2+4)=16(m2-⅛2+4)>0,

所以机2一8+4>0,所以|讨>2，

所以直线Ly=-2岳+/〃与直线2√Σx+y=0平行.

【易错提醒】第(2)问不仅仅是求到直线/的斜率就行，要注意证平行.

21.【解题提示】第(2)问当&e(θ,j时要注意用放缩法，设法取值是关键.

【解析】(1)因为/"(X)=L-。=匕竺，

XX

当α≤0时,AX)>0,

所以/。)在(0,+”)上单调递增，

当α>0时，令r(χ)=O,得X=L

所以/(x)的单调递增区间是(0」)，单调递减区间是口,+e

⑵由(1)可知，当α<0时，/(x)在(0,+a)上单调递增，/⑴=一α>0,/(e")=α-αe"=α(l-e")<0,

又因为/(x)在［e",l］上是连续不间断的，所以/(x)在(e",l)上有唯一零点，

所以当α<0时，〃x)在(0,+“)上有唯一零点，

当α=0时，/(x)在(0,+⑹上有唯一零点，

当a>