2023年成都某中学高二数学第二学期期末监测试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()

2

A.y=2x-2B.y=(；)"C.y=log2xD.y=1(x-l)

717l~\1

2.在区间-5,5上随机取一个数X,cosx的值介于0到5之间的概率为()

1212

A.—B.—C.-D.一

3»23

3.已知函数/(x)=2sin(<yx+0)((y>0,oe11^,%］的部分图像如图所示，其|48|=2小，把函数y=/(x)的图

像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数y=g(x)的图

像，则y=g(x)的解析式为()

C.g(x)=2sin^—x+yjD.g(x)=2cos—x

4.已知定义在R上的奇函数，满足/(2—x)+/(x)=0,当xe(O,l]时，/(x)=-log2x,若函数

*x)=/(x)-sin(%x),在区间[-1,向上有10个零点，则机的取值范围是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5,5.5]D.[5,5.5)

5.如图是函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象，给出下列命题：

①-2是函数y=/(x)的极值点；

②x=l是函数y=/(x)的极值点：

③y=/(x)在x=-1处取得极大值；

④函数y=在区间(-2,2)上单调递增.则正确命题的序号是

A.①③B.②④C.②③D.①④

6.已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4,其两条渐近线方程为2x土y=0,该双曲线的焦点为()

A.(±273,0)B.(±473,0)C.(±2>/5,0)D.(±4^,0)

7.函数f(x)=xsinx+cosx的导函数为了'(X),则导函数/'(无)的部分图象大致是()

8.设4、8是非空集合，定义：AxB={x\xeA<jBS.x^Ar>B}.

已知A={x|y=j2x_V},3={小〉1},贝！JAXB等于（）

A.[O,1]U(2,4W)B.[O,1)U(2,4W)C.[0,1]D.[0,2]

9.已知随机变量J服从正态分布N(2,O"2),且尸(4<4)=0.8,则尸(0<J<2)=().

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

10.已知点。为双曲线c的对称中心，过点。的两条直线4与4的夹角为60°,直线4与双曲线c相交于点4,与，

直线4与双曲线c相交于点&也，若使同4|=%见成立的直线4与4有且只有一对，则双曲线〃离心率的取值范

围是（）

11.塞函数产M过点（4,2）,则Jr的值为

12.已知扇形的圆心角为彳弧度，半径为2,则扇形的面积是（）

844-4）

A.—B.—C.2乃D.----

333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a是第四象限角，tan«=--,则sine=；

12

14.已知46是过抛物线。：了2=22双2>0）的焦点厂的直线与抛物线的交点，。是坐标原点，且满足AB=3EB，

S.产¥网，贝!||蜴的值为--------

15.学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCO-A/CIA挖去四棱锥

O-EFG〃后所得的几何体，其中。为长方体的中心，瓦£G,H分别为所在棱的中点，

A8=6C=6cm,A41=4cm,3。打印所用原料密度为0.9g,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量

为___________g.

rE

A

16.如图所示的伪代码，最后输出的S值为.

•While/<8\

;J<-/+2；

•S—21+3：

•EndWhile

;PrintS

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知'''事(二€二).

(1)当a>0时，判断二二在定义域上的单调性；

3

(2)若二二在二二上的最小值为二，求二的值；

(3)若-在•上恒成立，试求的取值范围.

18.(12分)随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解

共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分

析，得到下表(单位：人)：

经常使用偶尔或不用合计

30岁及以下7030100

30岁以上6040100

合计13070200

(I)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关?

(n)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.

(1)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；

(2)从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.

参考公式：K2=--------Mad-bc)--------，其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

P(K2>ko)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

19.（12分）设S“是数列｛4｝的前"项的和，4=1,S„=2n-l（ne2V*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）令2=log2%+i，数列,二一1的前〃项和为，，求使时”的最小值.

1Ad+2」2

20.（12分）已知函数/（x）=|x-l|+|x+l|,M为不等式/（x）«2的解集.

（1）求M；

（2）证明：当|。6+1以。+6|.

21.(12分)函数/(x)=2%3+3侬2-12弓2%+4

（1）若函数/（%）在xe[-2,2]内有两个极值点，求实数”的取值范围;

⑵若不等式/（x）W2在xe[O,l]上恒成立，求实数”的取值范围.

22.（10分）某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产.千件，需另投入成本c.（万元），若年产量不足8。千

件，-.的图象是如图的抛物线，此时二1的解集为_30£，且C的最小值是_”，若年产量不小于so千件,

,每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

C（x）=.Sl,x+^2-1450

（1）写出年利润：（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据X，＞'的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.

【详解】

根据实验数据可以得出，X近似增加一个单位时，的增量近似为2.5,3.5,4.5,6,比较接近y=!（犬一1）,故选

D.

【点睛】

本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.

2、A

【解析】

因为XG吠苧，若COSXW呜］，则XG子,胃3全自,

(乃-")x2]

，P=23，

故选A.

四马3

22

3、A

【解析】

根据条件先求出。和。，结合函数图象变换关系进行求解即可.

【详解】

解：〃0）=2sine=l,即sin夕=；,

展仁乃）

51

(p——

6

贝(Jf(x)=2sina)x+

IAB\=2713,

T2

即一+4=13,

16

7*2Tn-.几

贝！jj=9,则一=3,即7=12=」，得啰=：,

164co6

即/(x)=2sin[gx+¥

16o

把函/(X)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2sin[^x+V],

再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，

即g(x)=2sin口犬+2)+一=2sin|—x+|=-2sin-x,

12o112)12

故选：A.

【点睛】

本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出。和。的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关

键，属于中档题.

4、A

【解析】

由/(2—x)+/(x)=0得出函数y=/(x)的图象关于点(1,0)成中心对称以及函数

y=/(x)的周期为2,由函数y=/(x)为奇函数得出/(。)=0,并由周期性得出/(2)=

"4)=0,然后作出函数y=/(x)与函数y=sin(〃x)的图象，列举前10个交点的横坐标，结合第11个交点的横坐

标得出实数〃?的取值范围.

【详解】

由/(2—x)+〃x)=0可知函数y="X)的图象关于点(1,0)成中心对称，

且42—X)=-/(X)=/(T),所以，/(x+2)=/(x),

所以，函数y=/(x)的周期为2,

由于函数y=/(x)为奇函数，则“0)=0,则”2)="4)=0,

作出函数y=/(x)与函数y=sin(〃x)的图象如下图所示：

Q/(O=T吗"则/卜；)=_/({)=T

于是得出/1)=/(})"&{)=­，(0=u=I'

由图象可知，函数y=/(x)与函数y=sin(乃力在区间［-1,向上从左到右1()个交点的横坐标分别为—1、-；、0、

1357

一、1、->2、一、3、一，第11个交点的横坐标为4,

2222

因此，实数机的取值范围是［3.5,4),故选A.

【点睛】

本题考查方程的根与函数的零点个数问题，一般这类问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在画函数的图象时，

要注意函数的奇偶性、对称性、周期性对函数图象的影响，属于难题.

5、D

【解析】

分析：由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结

论.

详解：

根据导函数y=F(x)的图象可得，y=f(x)在(-8,-2)上大于零，在(-2,2)、(2,+oo)上大于零，

且F(-2)=0,

故函数f(x)在(-8,-2)上为减函数，在(-2,+8)、(2,长0)上为增函数.

故-2是函数y=f(x)的极小值点，故①正确;

故1不是函数y=f(x)的极值点，故②不正确；

根据函数-1的两侧均为单调递增函数，故-1不是极值点.

根据y=f(x)=在区间(-2,2)上的导数大于或等于零，故f(x)在区间(-2,2)上单调递增，故④正确，

故选：D.

点睛：本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.导函数的正负代表了原函数

的单调性，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得

的函数值，注意分清楚这些概念.

6、C

【解析】

b

由双曲线实轴长为4可知a=2.由渐近线方程2x±y=0,可得到一=2.然后利用c?="+〃，即可得到焦点坐标.

a

【详解】

h

由双曲线实轴长为4可知。=2.由渐近线方程2x±y=0,可得到一=2.即力=4.所以c?=/+〃=2。又双曲线

a

顶点在x轴上，所以焦点坐标为(±26,0).

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题.

7、C

【解析】

先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项.

【详解】

/'(x)=xco&x,/'(x)=xcosx为奇函数，且在10,外上有/'(x)>0,故选C.

【点睛】

本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.

8、A

【解析】

求出集合A中的函数的定义域得到：

2x-x2>0,Spx(2-x)>0

^>0x<0

可化为《或

2—%>02-x<0

解得0<xW2,即4=｛兄0«%<2｝=[0,2]

8=｛小｝1｝

ADB=[0,+8),AcB=(L2]

则AxB=(0,l]u(2,+oo)

故选A

9、B

【解析】

V随机变量工服从正态分布N(2,a?),

〃=2,即对称轴是2,

P©<4)=0.8,

P(毁4)=PC<0)=0.2,

AP(0<J<4)=0.6,

/.P(0<《<2)=0.3.

故选B.

10、A

【解析】

根据双曲线渐近线以及夹角关系列不等式，解得结果

【详解】

r22卜

不妨设双曲线方程为二-3=1(。>0,6>0),则渐近线方程为y=±-x

a~b~a

因为使|4周=|&可成立的直线人与有且只有一对，

【点睛】

本题考查求双曲线离心率取值范围，考查综合分析求解能力，属较难题.

11、B

【解析】

先根据塞函数的定义得到k=l,再根据基函数尸3过点（4,2）求出a的值，即得A-a的值.

【详解】

•幕函数尸M过点（4,2）,.•.2=«x4",且左=1,解得A=l,a=—,/.A:-a=l--=—.故选B.

222

【点睛】

本题主要考查幕函数的概念和解析式的求法，考查幕函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析

推理能力.

12^D

【解析】

1,

利用扇形面积公式S=-aH-为扇形的圆心角的弧度数，R为扇形的半径），可计算出扇形的面积.

2

【详解】

127rc47r

由题意可知，扇形的面积为S=—X?X22=’，故选D.

233

【点睛】

本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、--

13

【解析】

：由同角三角关系求解

【详解】

5.y

:tana=—设x=5,y=-12,由同角三角关系可得sma=/

12犷+p

【点睛】

y%

：三角正余弦值的定义为sine=-/,;,cosa=-『，；。

yjx2+/"

9

14、-

2

【解析】

先由题意得到直线的斜率存在，不妨设直线AB的斜率攵〉0,过点A8作抛物线的准线的垂线，垂足分别为

C。，过点3作BE1AC于点E,根据题中条件求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与题中条

件，求出交点横坐标，再由弦长公式，即可求出结果.

【详解】

由题意，易知直线的斜率存在，则由抛物线的对称性，不妨设直线A3的斜率左＞0,

过点A3作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C,。，过点B作3E_LAC于点£,

则由AB=3EB，可得A户=2E8，即府卜2网,则|AC|=2|叫，

所以点E为AC的中点，贝！|同目=!同回，

所以忸目==^^\AB\.

则“MB=%AF+S—=［附.|。止与.|阴=当网,

263

解得〃=2,则直线AB的方程为y=-x-1),

由］,=依人—1)得上2》2_2仕2+2丘+左2=0,

y=4x\7

-2炉+4

则i=k,

XAXB=1

由AE=2FB，得乙一1=2(1-4)，即4=3-2/，

4=2

19

结合上＞0,解得＜4=5,贝!||4却=4+/+2=5.

k=2近

9

故答案为二

2

【点睛】

本题主要考查抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的性质，以及直线与抛物线位置关系即可，属于常考题型.

15、1.8

【解析】

根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.

【详解】

,1,

由题意得，^EFGH=4X6-4X—X2X3=12cm~,

四棱锥。的G的高3cm,…?12x3=12而.

又长方体A3CD-4用G2的体积为匕=4x6x6=144cm3,

所以该模型体积为丫=匕-匕=144-12=132加2,

其质量为0.9*132=118.8g.

【点睛】

本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解.

16、21

【解析】

分析：先根据伪代码执行循环，直到1<8不成立，结束循环输出S.

详解：执行循环得

/=3,S=2x3+3=9；/=5,5=2x5+3=13；/=7,S=2x7+3=17；/=9,S=2x9+3=21;/>8结束循环，输出S=21.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环

结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问

题，是求和还是求项.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)二=一、二；(3)见解析

【解析】

分析：(D/U)的定义域为(0,+8),八幻=1+旦=匚由此利用导数性质能求出./U)在(0,+◎上是单调递增函数;

(2)由(1)根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a；

(3)由二(二)Y二;=山二一=〈二，二得口XIMJ-O1,令二(二)二二山二一二L由此利用导数性质能求出a的取值

范围.

详解：(1)由题意知人x)的定义域为(0,+8),

且八、)=1+*=字.

rvr,

Va>0,A/(x)>0,

故/U)在(0,+◎上是单调递增函数.

(2)由(1)可知，7(*)=虫.

r

①若a>_1,贝!Ix+a>0,

即7(x)K)在［1，e］上恒成立，

此时八x)在［1,e］上为增函数，

3

5

3

5

②若心一e,贝ljx+a<0,

即7(X)0)在［1，e］上恒成立，

此时/U)在［1,e］上为减函数,

：.f(x)min=<e)=1=:

x(舍去).

③若一e<a<一1,令,1(x)=0得x=—

当Icxc-a时，/(x)<0,

.\Ax)在(1,一。)上为减函数；

当一a<x<e时，/T(x)>0,

・・・加)在(一〃，e)上为增函数,

-a)=ln(—“)+1=：,

»•a——\jG

综上所述，〃=一》［.

(3y：f(x)<x2,.\ln工一32

又x>0,/.a>xlnx—x3.

令g(x)=xlnx—x3,

h(x)=gr(x)=l+\nx—3%2,

h'(x)=1-6x=-__—.

*,x

Vxe(i,+oo)时，/f(x)<o,

...Mx)在(1，+刃)上是减函数.

：.h(x)<h(l)=-2<0,即g'(x)<0,

，g(x)在(1,+oo)上也是减函数.

g(x)<g(l)=—1,

二当色一1时，Hx)。2在(1,+oo)上恒成立.故a的取值范围是1—1,4-00).

点睛：本题考查函数的单调区间和实数取值范围的求法，解题时认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理应用.

18、(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关；(2)选出的2人中至少有1

9

人经常使用共享单车的概率—.

10

【解析】

试题分析：(1)计算k2,与2.027比较大小得出结论，

(2)(i)根据分层抽样即可求出，

(ii)设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a,b,c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d,e,

根据古典概率公式计算即可.

试题解析：

(1)由列联表可知，K2=20°X(7°X4°一6°x3°)、2i98.

130x70x100x100

因为2.198>2.072,

所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关.

(2)(7)依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有5、孟=3(人)，偶尔或不用共享

单车的有5x^=2(人).

(V)设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为b,J偶尔或不用共享单车的2人分别为4,e.则从5

人中选出2人的所有可能结果为(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),

(d,e)共10种.

其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(d,e)共1种，

故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率p=1一=木.

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用

树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

,,_|

19、(1)an=2(/?>1)；(2)3

【解析】

5.n—\

(1)根据q=Jc।结合S〃的递推关系可求解.

(2)由(1)可得々=log24+i=〃，则J一一二]，用裂项相消可求和，从而解决问题.

【详解】

S-T-X

解：(1)由两式~一c相减得到，a“=2"-2"T=2"T,n>2；

[S,“=2"T-g2

当〃=1,也符合。“=2小，

综上，

(2)由an=2"।得，bn=log2an+[=n,

...1_1Ji1)

b„bn+2n(«+2)2(〃n+2),

2

7J」

42(〃+ln+2)

易证明，在〃eN*时单调递增，且(=*<；<(=亮，

故〃的最小值为3.

【点睛】

本题考查根据S“的递推关系求数列的通项公式和用裂项相消法求和，属于中档题.

20、(1)(2)证明见解析

【解析】

(1)用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式.

(2)用分析法证明.

【详解】

2x,x>1

(1)/(x)=|x-l|+|x4-l|=<2,-1<x<1,

—2x,x<—1

X>1时，2x>2,/(x)<2无解，同样XV—1时，—2x>2,/(幻<2无解，只有—l<x〈l时，F(x)=2满足不

等式/(x)<2,・・・M=［-1,1］；

(2)要证|"+1|>|々+力|,只需证("+l)22(a+Z?)2,

即证一一从+1z0，即证(储一1)(6-1"0,

因为所以/一140,从一is。,则ST92一］)20,

原不等式成立.

【点睛】

本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式.解含绝对值的不等式，一般都是按绝对值定义分类讨论去

掉绝对值符号后再求解.

21、(1)-l<a<0或0<aWl.(2)(—8,0］口1,2

【解析】

(1)先对函数“X)求导、然后因式分解，根据函数在“X)在XG［-2,2］内有两个极值点列不等式组，解不等式组

求得。的取值范围.(2)先对函数/(x)求导并因式分解.对。分成。=0,。>0,。<0三种情况，利用/(x)的单调性,

结合