2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）8

试卷第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）8姓名：___________班级：___________一．单选题1．【2021-北京数学高考真题】已知集合，，则（）A. B. C. D.2．【2022-全国II卷数学高考真题】（）A. B. C. D.3．【2022-天津数学高考真题】设全集，集合，则（）A. B. C. D.4．【2023-北京数学乙卷高考真题】的展开式中的系数为（）．A. B. C.40 D.805．【2023-北京数学乙卷高考真题】已知向量满足，则（）A. B. C.0 D.16．【2022-全国II卷数学高考真题】正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A. B. C. D.7．【2022-全国甲卷数学高考真题】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）

A. B. C. D.8．【2023-北京数学乙卷高考真题】坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）A. B.C. D.二．多选题9．【2021-全国新高II卷】下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的标准差 B.样本的中位数C.样本的极差 D.样本的平均数10．【2021-全国新高II卷】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A. B.C. D.11．【2021-全国新高II卷】设正整数，其中，记．则（）A. B.C. D.三．填空题12．【2023-全国数学甲卷（文）高考真题】记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．13．【2021-新高考Ⅰ卷】已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.14．【2022-全国甲卷数学高考真题】已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．四．解答题15．【2021-北京数学高考真题】已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上中线的长度．①；②周长为；③面积为；16．【2022-北京数学高考真题】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）17．【2022-浙江卷数学高考真题】已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．（1）若，求；（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d取值范围．18．【2023-全国数学乙卷（文）高考真题】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）若函数在单调递增，求的取值范围．19．【2022-天津数学高考真题】已知，函数（1）求函数在处的切线方程；（2）若和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．答案第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）8【参考答案】1．答案:B解析：由题意可得：，即.故选：B.

2．答案:D解析：，故选：D.3．答案:A解析：，故，故选：A.4．答案:D解析：的展开式的通项为令得所以的展开式中的系数为故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.5．答案:B解析：向量满足，所以.故选：B6．答案:A解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．7．答案:B解析：解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.8．答案:C解析：如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，所以.因为平面，平面，所以，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，.同理：，又，故四边形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因为，所有棱长之和为.故选：C9．答案:AC解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10．答案:BC解析：设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.11．答案:ACD解析：对于A选项，，，所以，，A选项正确；对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，，所以，，，所以，，因此，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确.故选：ACD.12．答案:解析：若，则由得，则，不合题意所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：13．答案:解析：不妨设因为，所以的准线方程为故答案为：【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.14．答案:##解析：设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.

15．答案:（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．解析：（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.16．答案:（1）0.4（2）（3）丙解析：(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X0123P∴【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.17．答案:（1）（2）解析：(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.【小问1详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，【小问2详解】因为，，成等比数列，所以，，，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，，当时，由，可得当时，，又所以18．答案:（1）；（2）.解析：（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．19．答案:（1）（2）（i）；（ii）证明见解析解析：（2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求.（ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立.【小问1详解】，故，而，曲线在点处的切线方程为即.【小问2详解】（i）当时，因为曲线和有公共点，故有解，设，故，故在上有解，设，故在上有零点，而，若，则恒成立，此时在上无零点，若，则在上恒成立，故在上为增函数，而，，故在上无零点，故，设，则，故在上为增函数，而，，故在上存在唯一零点，且时，；时，；故时，；时，；所以在上为减函数，在上为增函数，故，因为在上有零点，故，故，而，故即，设，则，故在上为增函数，而，故.（ii）因为曲线和有公共点，所以有解，其中，若，则，