高二上期末考前必刷卷02（范围：人教A版（2019）选择性必修第一册+人教A版（2019）选择性必修第二册（数列）提升卷）解析版

高二上期末考前必刷卷02（范围：人教A版（2019）选择性必修第一册+人教A版（2019）选择性必修第二册（数列）基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023上·河北石家庄·高二统考期末）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】直线，即，则直线的斜率，所以倾斜角为.故选：D2．（2023下·浙江杭州·高二统考期末）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合；对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合；对于D项，易知，则D项中向量共面，不符合；对于C项，易知不共面，即C正确.故选：C3．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）在等差数列中，，则的值为（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【详解】由于是等差数列，所以，故，，故选：C4．（2023上·河北石家庄·高二正定中学校考期中）已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】椭圆，即，则，则，所以，当且仅当三点共线时取等号，解得.故选：D.5．（2022上·云南临沧·高二校考期末）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】等比数列中，，，.，，，∵正项等比数列，，则，.，，，，且，，当且仅当，即时等号成立.故选：A.6．（2023上·江苏南通·高二统考期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，在下底面作，以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得，则即，即，，，，，，，.所以，又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.7．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，，，将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，，两式相减可得.又因为M为AB的中点，所以，所以，所以，，又直线l与OM的斜率之积为，所以，即，所以椭圆C的离心率.故选：D.8．（2021下·浙江舟山·高二统考期末）已知正方体的棱长为为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为3，

则，，，设，则，，由正方体的性质可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量，设平面的法向量，则，即，取，则，，故，又平面与平面和平面所成的角相等，故，即，故，即，.①当，即时，因为，所以，又，则，，此时.②当，即时，因为，所以，又，故，此时，故当时取最小值.综上的最小值为.故选：A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023上·浙江·高二温州中学校联考期中）已知直线，，则（

）A．直线过定点 B．当时，C．当时， D．当时，之间的距离为【答案】ABD【详解】由，令，可得，所以过定点，A对；时，，而，即，B对；时，，而，显然不垂直，C错；，则，可得，由上知，之间的距离为，D对.故选：ABD10．（2023下·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知椭圆的左,右焦点分别为,,长轴长为,点在椭圆外,点在椭圆上,则（

）A．椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C．存在点使D．的最小值为【答案】ABC【详解】由题意得,又点在椭圆外,则,解得,所以椭圆的离心率,即椭圆的离心率的取值范围是,故A正确;当时,,所以的取值范围是,即,故B正确;设椭圆的上顶点为,,,由于,所以存在点使得,故C正确;因为点在椭圆上,所以,则,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为,故D不正确.故选:ABC.11．（2023上·山东临沂·高二统考期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（

）A．当时，三棱锥A-PCE的体积B．当时，EP∥平面C．当，平面CEP时D．的最小值为【答案】BD【详解】对于A，当时，则，故点到平面的距离为,所以,故A错误，对于B，在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,，所以，则点,,，，，，而，显然，即是平面的一个法向量，而，因此平行于平面，即直线与平面平行，B正确；对于C，取的中点，连接，，，如图，因为为边的中点，则，当平面时，平面，连接，连接，连接，显然平面平面，因此，，平面，平面，则平面，即有，而，所以，C错误．对于D，，于是，当且仅当时取等号，D正确；故选：BD12．（2023下·江苏盐城·高二统考期末）如图，已知正三角形的边长为3，取正三角形各边的三等分点作第二个正三角形，然后再取正三角形的各边的三等分点作正三角形，以此方法一直循环下去．设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为；设的面积为，的面积为，后续各三角形的面积依次为，则下列选项正确的是（

）

A．数列是以3为首项，为公比的等比数列B．从正三角形开始，连续3个正三角形面积之和为C．使得不等式成立的最大值为3D．数列的前项和【答案】ABD【详解】设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，由题意知，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，所以，故A正确；又，，所以从正三角形开始，连续个正三角形面积之和为，故B正确；又，，，所以，，，显然数列单调递减，，，，故C错误；数列的前项和，故D正确；故选：ABD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023上·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考期末）直线与直线平行，则.【答案】－2【详解】由，得到，因为，所以，由，得到所以，即，解得，故答案为：.14．（2022上·黑龙江大兴安岭地·高二校考期末）已知两个等差数列，的前项和分别为和，且（），则=【答案】/【详解】因为，所以.故答案为：.15．（2023上·湖北咸宁·高二统考期末）如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为．

【答案】【详解】，所以,所以.故答案为：16．（2022·河南新乡·统考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，，的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4b，则椭圆C的离心率为；若椭圆C过点，过点作直线l与椭圆C交于A，B两点，则的最大值与最小值的和为．【答案】/；/.【详解】因为M，O分别为，的中点，所以，，则四边形OMPN是平行四边形，所以，所以，所以．因为椭圆C过点，所以．因为，所以，，，所以椭圆C的方程为．设直线l的方程为，联立方程组，得．设，，则，．因为，所以．令，则．因为，所以．设的最大值与最小值分别为，，则，是方程的两根，所以．故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹方程；(2)直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）设，由条件，则，整理：，即点的轨迹方程为.（2）过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，即直线与相切，

当直线的斜率存在时，不妨设，则圆心到直线的距离，得：，此时；当的斜率不存在时，直线此时直线与圆相切；综上所述，满足题意得直线的方程为：或18．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）如图，在几何体中，底面为正方形，，，．

(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）由条件，，，且，平面，从而平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，取的中点为坐标原点，因为四边形为等腰梯形，所以连结与的中点的直线与垂直，则平面,如图，连结与的中点，则,以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：

得，，，，，，，，，设平面的一法向量为，由，即，取，，平面的一法向量为，因此点到平面的距离；（2）由于，，，设平面的一个法向量为，由，得，取，，得．设平面的法向量为，，由，即，取，，求得平面的一个法向量为．因此平面与夹角的余弦值为即因此平面与夹角的余弦值为．19．（2022上·云南曲靖·高二校考期末）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为抛物线的焦点为，双曲线的焦点为，所以椭圆的顶点为，焦点为，即，，所以，所以椭圆的方程为.（2）联立方程组消去，得.解得或，不妨设，，则.

20．（2022上·山东菏泽·高三统考期末）在等差数列中，已知.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得，

解得，所以；（2）因为，所以，

当n为偶数时，，当n为奇数时，为偶数，，

所以.21．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：直线平面，并求三棱锥的体积：(2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）设，连接，

为底面圆的内接正三角形，，为中点，又，，；，，，，，∽，，；平面，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，平面，平面，平面；为中点，，即，又平面，平面，，，，平面，平面，，，，又，平面，.（2），为中点，又，为中点，，，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，，设，；设平面的法向量，则，令，解得：，，，设直线与平面所成角为，，令，则，，，，当，即时，，，此时，，点到平面的距离.22．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点