高二数学期末押题卷03（测试范围：选修一+选修二第四章）（解析版）

高二数学期末押题卷03考试时间：120分钟试卷满分：150分测试范围：选修一+选修二第四章一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．135°【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果．【解答】解：由于直线x﹣y﹣3＝0的斜率k＝1，所以tanθ＝1，由于0＜θ≤180°，故θ＝45°．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则数列的前2020项和为（）A． B． C． D．【分析】先由an＝Sn﹣Sn﹣1求出an，再利用裂项相消法求数列的前2020项和即可．【解答】解：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，当n＝1时，有S1＝1＝a1也适合，故an＝2n﹣1，∴＝＝（），∴数列的前2020项和为（+﹣+…+）＝．故选：D．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的前n项和，属于基础题．3．（5分）已知向量＝（1，﹣1，1），＝（2，x，0），若•＝1，则x等于（）A． B．﹣ C．﹣1 D．1【分析】根据已知条件，结合空间向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：向量＝（1，﹣1，1），＝（2，x，0），•＝1，则1×2﹣x+0＝1，解得x＝1．故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．4．（5分）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，，则公差d的值为（）A． B．1 C．2 D．3【分析】利用等差数列的前n项和公式表示出S5与S3，并利用等差数列的性质化简后，代入已知的等式，得出a3﹣a2的值，进而得出公差d的值．【解答】解：∵S5＝＝5a3，S3＝＝3a2，且，∴﹣＝2，即a3﹣a2＝2，则d＝a3﹣a2＝2．故选：C．【点评】此题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，以及等差数列的通项公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．5．（5分）已知椭圆的一个焦点为（2，0），则a的值为（）A． B． C．6 D．8【分析】判断椭圆的焦点所在的轴，然后转化求解a即可．【解答】解：椭圆的一个焦点为（2，0），所以椭圆的长轴是x轴，所以，解得a＝2．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6．（5分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（）A．16 B．26 C．14 D．24【分析】由椭圆方程求得F的坐标，并求得p，设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数写出抛物线在A，B处的切线方程，结合已知求得A，B的横坐标的和，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系求得k，进一步求出A，B的纵坐标的和，再由抛物线的弦长公式求|AB|．【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线C的方程为x2＝﹣8y．设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣．∴在点A处的切线方程为y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化简得y＝﹣x+，①同理可得在点B处的切线为y＝﹣x+，②联立①②得xM＝，由M的横坐标为4，得x1+x2＝8．将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16．故选：A．【点评】本题考查抛物线与椭圆的简单性质，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）如图在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是AD的中点，那么异面直线D1E和A1B所成的角的余弦值等于（）A． B． C． D．【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线D1E和A1B所成角的余弦值．【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示；D（0，0，0），E（1，0，0），D1（0，0，2），B（2，2，0），A1（2，0，2）；＝（1，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），•＝1×0+0×2﹣2×（﹣2）＝4，||＝＝，||＝＝2；所以cos＜，＞＝＝＝；所以异面直线D1E和A1B所成角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查了利用空间向量求异面直线所成角的余弦值问题，是基础题．8．（5分）椭圆方程为+＝1，其离心率为，则a的值为（）A．3 B．或 C．±3 D．±或±【分析】分焦点在x，y轴上进行计算可求a的值．【解答】解：当a2＜4时，椭圆焦点在y轴上，故＝，解得a＝±，当a2＞4时，椭圆焦点在x轴上，故＝，解得a＝±，故选：D．【点评】本题考查椭圆的基本性质，属基础题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）若方程表示的曲线为C，则下列说法中不正确的有（）A．若C为椭圆，则1＜t＜3 B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1 C．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则1＜t＜2 D．若C为双曲线，则其渐近线方程为【分析】根据椭圆的定义可判断A、C选项，根据双曲线的定义和性质可判断B、D选项，即可得出答案．【解答】解：方程表示的曲线为C，对于A：若C为椭圆，则，解得1＜t＜2或2＜t＜3，故A错误；对于B：若C为双曲线，则（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＜1或t＞3，故B正确；对于C：若C为椭圆，且焦点在y轴上，则t﹣1＞3﹣t＞0，解得2＜t＜3，故C错误；对于D：当时，即t＜1时，双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为，当时，即t＞3时，双曲线焦点在y轴上，渐近线方程为，故D正确，故选：AC．【点评】本题考查双曲线的性质和椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）10．（5分）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量，那么下列说法中正确的有（）A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β C．⊥⇔l∥α D．∥⇔l⊥α【分析】根据题意，结合平面法向量的定义依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若∥，则平面α与平面β平行或重合，A错误；对于B，若⊥，则必有α⊥β，B正确；对于C，若⊥，则直线l平行于平面α或者在平面α内，C错误；对于D，若∥，必有l⊥α，D正确．故选：BD．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面向量的法向量，属于基础题．（多选）11．（5分）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN∥平面ABC的是（）A． B． C． D．【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．【解答】解：选项A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC，∵MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，即选项A正确；选项B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND，∵AC∩BC＝C，MD∩ND＝D，AC、BC⊂平面ABC，MD、ND⊂平面DMN，∴平面ABC∥平面DMN，又MN⊂平面DMN，∴MN∥平面ABC，即选项B正确；选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN，∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面ABC，即选项C正确；选项D，连接CN，则AB∥CN，∴A，B，C，N四点共面，∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，即选项D错误．故选：ABC．【点评】本题考查空间中线与面的平行关系，考查空间立体感和推理论证能力，属于中档题．（多选）12．（5分）以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线 B．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x有且仅有一个公共点，这样的直线有3条 C．若曲线为双曲线，则k＜1或k＞4 D．过定圆O上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆【分析】根据双曲线的定义可判断A；结合图象可判断B；根据双曲线的标准方程的结构特征列不等式求解可判断C；利用相关点法求点P的轨迹，可判断D．【解答】解：由双曲线定义可知，只有当0＜k＜|AB|时，动点P的轨迹为双曲线，A错误；由图可知，直线x＝0，y＝1与抛物线都只有一个交点，设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，代入y2＝4x得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0由（2k﹣4）2﹣4k2＝0解得k＝1，故y＝x+1与抛物线相切，只有一个交点，所以，B正确；若曲线为双曲线，则（4﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＜1或k＞4，C正确；设圆O的方程为x2+y2＝r2，点A（m，n），B（x1，y1），P（x，y），因为，所以，变形得，代入x2+y2＝r2得：（2x﹣m）2+（2y﹣n）2＝r2，即，所以点P的轨迹为圆，D错误．故选：AD．【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，且nan+1＝（n+1）an，则an＝n．【分析】本题将题干中递推公式进行转化，即可发现数列{}为一常数列，进一步可得数列{an}的通项公式．【解答】解：依题意，由nan+1＝（n+1）an，可得＝，故＝＝•••＝＝1，∴an＝n，n∈N*．故答案为：n．【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．14．（5分）从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0外一点（2，3）向圆引切线，则此切线的长为2．【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，由直线与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，其圆心C（1，1），半径1，设P（2，3），，则切线长为．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线长的计算，属于基础题．15．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，若AB⊥BF，则椭圆的离心率是．【分析】先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得a和c的关系式，进而求得e．【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0），直线AB斜率为：﹣，直线BF的斜率为：∵∠FBA＝90°，∴（﹣）•＝﹣1，整理得c2+ac﹣a2＝0，即e2+e﹣1＝0，解得e＝或﹣，∵0＜e＜1，∴e＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，要注意椭圆的离心率小于1．属基础题．16．（5分）已知球O的半径为6，点A，B，C均在球O的表面上，且△ABC外接圆的面积为8π，则点O到平面ABC的距离为．【分析】求解△ABC外接圆的半径，然后转化求解点O到平面ABC的距离．【解答】解：设△ABC外接圆的半径为r，则πr2＝8π，所以，所以点O到平面ABC的距离为．故答案为：．【点评】本题考查取得内接体问题，点线面距离的求法，是中档题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解答下列问题：（1）求过点P（8，﹣2），且与直线x+y+1＝0垂直的直线方程；（2）求过直线2x﹣9y+3＝0与x+9y﹣12＝0的交点，且过点A（1，1），B（2，0）的圆的方程．【分析】（1）根据已知，与直线x+y+1＝0垂直的直线方程的斜率k＝1，从而可求出直线方程为x﹣y﹣10＝0；（2）设出圆的一般方程求解即可．【解答】解：（1）∵与直线x+y+1＝0垂直的直线方程的斜率k＝1，∴过点P（8，﹣2）且与直线x+y+1＝0垂直的直线方程：y+2＝x﹣8，整理，得x﹣y﹣10＝0；（2）由易知交点为（3，1），设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2+4F＞0），由题意可得，解得D＝﹣4，E＝﹣2，F＝4，则圆E的方程为x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．【点评】本题考查两直线的垂直关系、圆的方程的求法，考查学生的运算能力，属于基础题．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝60°，∠A1AB＝∠A1AC＝45°，AB＝AC＝2，AA1＝，E是棱B1C1的中点．（1）求BE与AC所成角的余弦值；（2）求证：A1E⊥平面A1BC．【分析】（1）根据题意，设与的夹角为θ，则BE与AC所成角的余弦为|cosθ|，分析可得＝+﹣，进而求出则||2和•的值，由此求出|cosθ|的值，即可得答案；（2）利用数量积的计算公式可得•＝0和•＝0，由此可得A1E⊥BC和A1E⊥A1C，进而可得证明．【解答】解：（1）根据题意，设与的夹角为θ，则BE与AC所成角的余弦为|cosθ|，以（，，）为空间向量的基底，则＝+＝+＝+（﹣）＝+﹣，又由∠BAC＝60°，∠A1AB＝∠A1AC＝45°，AB＝AC＝2，AA1＝，则||2＝（+﹣）2＝，•＝（+﹣）•＝•+•﹣•＝4，故|cosθ|＝||＝＝；（2）证明：＝（+）＝+，则•＝（+）•（﹣）＝（2﹣2）＝0，则有A1E⊥BC，•＝（+）•（﹣）＝•﹣•+2﹣•＝0，则有A1E⊥A1C，而BC∩A1C＝C，故A1E⊥平面A1BC．【点评】本题考查空间向量的应用，涉及向量数量积的计算，属于中档题．19．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a5＝12，S4＝4S2．（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】本题第（1）题先设等差数列{an}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式an及Sn；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法求前n项和Tn．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则，化简整理，得，解得，∴an＝1+2•（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，Sn＝n•1+×2＝n2．（2）由（1），知bn＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．【点评】本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰是椭圆的一个焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线方程；（2）若∠AFx＝45°，求|AB|．【分析】（1）由椭圆方程可得抛物线焦点F的坐标，进而可求p，可求抛物线方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB方程与抛物线方程可得x1+x2＝6，可求弦长AB．【解答】解：（1）因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F恰是椭圆的一个焦点，所以焦点F（1，0），则，则抛物线的方程为：y2＝4x；（2）因为∠AFx＝45°，所以直线AB的斜率为tan45°＝1，又抛物线的焦点为F（1，0），则直线AB的方程为：y﹣0＝x﹣1⇒y＝x﹣1，由，得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，所以|AB|＝x1+x2+p＝8．【点评】本题考查了抛物线的定义和方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，属中档题．21．（12分）如图，有一块正四棱柱形状的木料，E、F分别为底面棱A1D1，D1C1的中点，AB＝4，BB1＝6．（1）求点B1到平面BEF的距离；（2）现要沿着EF和B将木料锯开，在木块表面应该如何画线？请在图中画出，并求出截面多边形的周长．【分析】（1）通过作辅助线，求得等腰△EBF的面积以及△EB1F的面积，利用等体积法可求得点B1到平面BEF的距离；（2）根据平面的基本性质可找到截面与正四棱柱的交线，进而计算各交线的长，即可求得截面的周长．【解答】解：（1）分别取AD，DC的中点R，T，连接ER，FT，在RtABR中，BR＝＝＝2，在Rt△ERB中，BE＝＝＝2，同理，BF＝2，∴等腰△EBF的面积为S△EBF＝＝6，∵△EB1F的面积为＝＝6，设B1到平面BEF的距离为h，由，得，∴h＝＝＝2，∴B1到平面BEF的距离为2．（2）连接AC，过点B作直线MN，分别交直线DC，DA的延长线于N，M两点，连接EM，FN分别交AA1，CC1于P，Q两点，连接PB，BQ，则五边形EPBQF为所求截面