高二数学下学期第二次月考模拟试卷（选择性必修第二册含数列和导数）（解析版）

绝密★考试结束前2022-2023学年高二下学期第二次月考数学模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．下列导数运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，，A错误；对于B，因是常数，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误．故选：C2．某地区内猫的寿命超过12岁的概率为p，超过16岁的概率为0.15，且一只寿命超过12岁的猫的寿命超过16岁的概率为，从该地区内任选两只猫，则至少有一只寿命超过12岁的概率为（）A．0.88B．0.9C．0.96D．0.99【答案】D【解析】设A:猫的寿命超过12岁，B:猫的寿命超过16岁.依题意有，则一只寿命超过12岁的猫的寿命超过16岁的概率则.从该地区内任选两只猫，则至少有一只寿命超过12岁的概率为.故选：D3．已知，，若，则的值为（）A．B．C．6D．8【答案】D【解析】因为，所以，因为，，所以，解得，故选：D4．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（）A．2B．3C．6D．9【答案】B【解析】因为等比数列的各项均为正数，所以由，当时，，所以，不符合题意；当时，由，或，因为等比数列的各项均为正数，所以，故选：B5．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A．180B．192C．420D．480【答案】C【解析】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为（种）.综上，共有不同的涂色方案数为（种）.故选：C.6．如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示：012341015203035经计算知，对的线性回归方程是，预测当时，（）A．47.5B．48C．49D．49.5【答案】B【解析】因为，所以样本中心点为，代入中，得，即，当时，，故选：B7．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，则则，故A错误；由题知，不在的概率为，则，则，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：D8．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得构造函数，，所以函数在上单调递增，因为，所以不等式等价于即，所以故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足：，则下列结果正确的有（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】由，得，故A正确；，故B正确；因为，所以，故C正确；，故D不正确.故选：ABC.10．下列关于二项式展开式说法正确的是（）A．若，则的展开式中二项式系数最大的项为第项：B．若的展开式中第二项与第三项的系数互为相反数，则；C．若，则D．若，则【答案】ABD【解析】A：当时，二项式展开式共有项，其中第项二项式系数最大，因此本选项说法正确；B：二项式的通项公式为：，因为的展开式中第二项与第三项的系数互为相反数，所以有（舍去），因此本选项说法正确；C：在中，令，得，令，得二项式的通项公式为：，所以，因此本选项不正确；D：令，得，因此本选项正确，故选：ABD11．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这名同学全部被安排的不同方法数为D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是【答案】CD【解析】对于A选项，每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错；对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有人参加一份工作，其余人都参加一份工作，可先将人分为组，有一组为人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有种安排方法，B错；对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况：①有人选同一种工作，其余人只安排一种工作；②有种工作只有人，其余种工作都只有人.所以，不同的安排方法种数为，C对；对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情讨论：①开车这份工作有人参与，其余工作各分配人，共有种安排方法；②开车这份工作只有人参与，有人参与同一份工作，其余人各参与一份工作，共有.综上所述，共有不同安排方案的种数是，D对.故选：CD.12．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（）A．与是异面直线B．C．直线与所成角的余弦值是D．三棱锥的体积为【答案】ACD【解析】对于A，因为平面，平面，平面，所以与是异面直线，故A正确；对于B，由已知，，又，，平面，所以平面，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，点到的距离为.所以，，，，，所以，，所以，所以，不垂直，故B错误；对于C，，，所以，所以直线与所成角的余弦值是，故C正确；对于D，三棱锥的体积，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若，则的值___________________.【答案】【解析】令，得，令，得，所以故答案为：14．若三棱锥的棱长都为为的中点，为棱上一点，且，则的长为__________.【答案】【解析】如图所示，由已知可得三棱锥为正四面体，故，所以，故.故答案为：15．某学校安排6名高三教师去2个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有2名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有_____________种．【答案】50【解析】第一个学校去2名教师第二个学校去4名教师，有种方法；第一个学校去3名教师第二个学校去3名教师，有种方法；第一个学校去4名教师第二个学校去2名教师，有种方法，则共有种不同的安排方式.故答案为：50．16．已知椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，设线段的中点为M，且，则的面积为________.【答案】【解析】由题意可得，，.因为分别是和的中点，所以，，根据椭圆定义，可得，又因为所以，，所以，，故的面积是.故答案为：.四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列满足：，且．（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；（2）是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析，；（2）不存在，理由见解析【解析】（1）由，得，∴又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列∴，∴（2）∵，∴则，解得，不符合题意∴不存在正整数，使得.18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点．（1）证明：平面；（2）若直线平面，，且与平面所成的角正弦值为，求锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接交于易证为中点，又是的中点，所以又面，且不在面内故平面（2）取PC中点为Q，以为坐标原点，为x轴，OC为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，设OB=m，则设平面的法向量为由，令，有由与平面所成的角正弦值为平面ACD的法向量为则锐二面角的余弦值为19．水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质.某水果批发市场，在水蜜桃成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为，，．（1）现随机取三箱该水蜜桃，求三箱水蜜桃中坏果总数恰有3个的概率；（2）现随机打开一箱该水蜜桃，并从中任取2个，设X为坏果的个数，求X的分布列及期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）箱水蜜桃中坏果总数恰有3个坏果的情况有：有一箱有2个坏果，一箱有1个坏果，另外一箱没有坏果，或者三箱各有一个坏果，三箱水果中坏果总数恰有3个坏果的概率为（2）由题意可知：可取0，1，2.时，有可能箱中无坏果，概率为；有1个坏果但没抽中，概率为；有2个坏果但没抽中，概率为.则；时，箱中有可能1个坏果且被抽中，概率为；两个坏果但只被抽中1个，概率为，则；时，箱中有2个坏果且被抽中，则.综上，得分布列如下：012期望为20．为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地平均分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，结果接种疫苗的豚鼠中没发病的占比90%，发病的豚鼠中接种疫苗的占比15%．其结果列于下表：发病没发病接种ab没接种cd（1）求a，b，c，d的值；（2）问：能否有99%的把握认为疫苗有效?参考公式：，参考数据：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），，，；（2）有99%的把握认为疫苗有效【解析】（1），则，∴，，，.（2）补全列联表得：发病没发病总计接种32730没接种171330总计204060根据列联表，计算，所以有99%的把握认为疫苗有效.21．已知椭圆的离心率为，上顶点为，左焦点为，且直线与圆相切.（1）求椭圆的方程（2）是椭圆长轴两个端点，点是异于点的动点，点满足，求证：三角形面积与三角形面积之比为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由得：，解得：则，则直线，即，又直线与圆相切得：∴椭圆的标准方程为