高三数学第一学期期中考模拟卷02（解析版）

高三数学第一学期期中考模拟卷02一、单选题1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）设全集，集合，，则等于（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式、一元一次不等式求集合A、B，再应用集合的并、补运算求.【详解】由题设，，，，∴，故.故选：C2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知复数z满足，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】运用复数乘法运算及复数相等可求得a、b的值，再运用共轭复数及复数的模的运算公式即可求得结果.【详解】设（a，），则，根据复数相等的定义，得，解得或，所以．故选：B.3．（2023春·辽宁营口·高二统考期末）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由即可求出，则可求出的值.【详解】当时，，无解，当时，，所以，故选：B.4．（2023秋·辽宁营口·高二营口市第二高级中学校考阶段练习）各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则A．4 B．8 C．16 D．64【答案】D【分析】根据等差数列性质可求得，再利用等比数列性质求得结果.【详解】由等差数列性质可得：又各项不为零

，即由等比数列性质可得：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．【答案】D【详解】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质.设公差为则由等差数列前n项和公式知：是的二次函数；又知对应二次函数图像的对称轴为于是对应二次函数为无法确定所以根据条件无法确定有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有即故选D6．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知方程在上有且仅有两个不同的解、，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】等价于的图象与直线有且仅有两个公共点，即直线与的图象在内相切，利用导数求出即可判断选项CD，再利用反证法分析选项AB即得解.【详解】要使方程在上有两个不同的解，则的图象与直线有且仅有两个公共点，所以直线与的图象在内相切，此时，，设切点，由，∴.所以选项C正确，选项D错误.若选项A正确，则可得，所以.令，所以函数在上单调递增，所以，所以，与矛盾，所以选项A错误；若选项B正确，则可得，因为，所以，所以不成立，所以选项B错误.故选：C.7．（2023春·辽宁锦州·高二统考期末）已知，设曲线在处的切线斜率为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数几何意义可得，利用导数可求得在上单调递减；根据大小关系可得结论.【详解】当时，，，，，在上单调递减；，所以，而，所以，.故选：A.8．（2023·辽宁·建平县实验中学校联考模拟预测）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．的最小正周期为C．的最大值为 D．在区间上单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断A；由可判断B；利用换元法将问题化归为二次函数给定区间求最值可判断C；对求导，判断的单调性可判断D.【详解】因为，定义域为R，所以是偶函数，故A不正确；因为，所以的最小正周期不是，故B不正确；因为，令，则，所以当时，取得最大值，最大值为，故C不正确；当，，则，当时，，，所以，所以在区间上单调递减，故D正确.故选：D.二、多选题9．（2023秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）下列命题中是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．是的必要不充分条件【答案】AC【分析】对于A，B，C利用不等式的性质判断即可，对于D，利用充分条件和必要条件的定义判断【详解】解：对于A，因为，所以，所以，所以A正确；对于B，当时，由不等式的性质可知，若，则，所以B错误；对于C，由不等式的性质可知是正确的；对于D，由得，所以是的充分不必要条件，所以D错误，故选：AC【点睛】此题考查不等式性质的应用，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题10．（2023秋·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．点在平面内 D．点F在平面内【答案】BD【分析】连接、根据正方体的性质可得，即可得到平面，再根据中位线的性质及平行公理得到，即可得到、、、四点共面，从而得解；【详解】解：连接、，在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，所以，所以、、、四点共面，即点F在平面内，故B、D正确；再连接，显然不在平面，所以与平面不平行，故A错误；由平面，可知点不在平面内，故C错误；故选：BD11．（2023秋·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数，有4个零点，，，，则（

）A．实数的取值范围是 B．函数的图象关于原点对称C． D．的取值范围是【答案】ACD【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误.【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得，当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确；，B错误；的4个零点满足：，则，是方程的两个根，则有，且，，于是得，C正确；由C选项知，，由，得：，而函数在上单调递减，从而得，D正确.故选：ACD.12．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（

）A．，若恒成立，则B．若，则C．若，则D．若，且，则【答案】ACD【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：由图可知，，所以，又，所以，所以，又，且，所以，所以；对于A：因为，所以，，所以，故A正确；对于B：若，即，所以或，，即或，，故B错误；对于C：因为关于对称，又，即，所以和关于对称，故，所以，故C正确；对于D：因为且，由在区间内的对称轴为可知，，所以，故D正确；故选：ACD三、填空题13．（2023春·辽宁沈阳·高一同泽高中校考阶段练习）已知，且，则的值为.【答案】【分析】利用换元法令，则结合诱导公式可得，求的值注意符号的判断．【详解】令，则∵，则故答案为：．14．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知正数，满足，若，则．【答案】6【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.【详解】由题意，由，得，即，故．又，所以，当且仅当即时，等号成立，此时，解得或，则，所以.故答案为：.15．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）若在内存在极值，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求出函数的导数，问题转化为在内有变号零点，利用二次函数的性质求出a的取值范围．【详解】在内存在极值，则在内有变号零点，，，与同号，则有，解得，即实数的取值范围是.故答案为：16．（2023秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是．【答案】【分析】设球的半径为，利用圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，可得，，即可得出结论．【详解】设球的半径为R，因圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则，，得．故答案为：．四、解答题17．（2023秋·辽宁抚顺·高二校考开学考试）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，，求的周长与面积.【答案】(1)(2)11，【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.（2）先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得三角形的周长与面积.【详解】（1）由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，则，则，，故.（2）因为，且，所以，.

由（1）得，，则，由正弦定理得，则，.故的周长为，的面积为.18．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得当时，，两式相减得到，再求得，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，求得成立；当时，得到，结合裂项求和法，求得，进而证得.【详解】（1）解：因为，当时，，两式相减得，可得，令，可得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，且，当时，可得成立；当时，，所以，因为，可得，可得，所以，综上可得，.19．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）吉林省从2023年开始，高考取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．(1)利用以上信息完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与选择科目有关？性别选择物理选择历史总计男生女生总计(2)某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，用表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求的分布列及期望．附：，其中0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析；能认为学生性别与选择科目有关(2)分布列见解析；【分析】（1）根据分层抽样得到抽取男生和女生的人数，进而得到列联表，求出的值比较即可；（2）根据排列组合的知识求出各值时的概率即可，写出分布列，求出期望即可.【详解】（1）根据采用比例分配的分层抽样得其中抽取男生的人数为人，则抽取女生人数为人，则列联表如下：性别选择物理选择历史总计男生7040110女生306090总计100100200则，能认为学生性别与选择科目有关；（2）可能取值为，，，，，，则的分布列如：.20．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考开学考试）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D．

(1)求证：平面BDE；(2)若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求出二面角的余弦值求解.【详解】（1）连接,因为为等边三角形，D是线段AC的中点，所以，又因为平面，平面，所以,,平面,所以平面,平面,所以，由题设可知，四边形为菱形，所以,因为D，E分别是线段AC，的中点，所以,所以，又因为平面BDE,所以平面BDE.（2）

以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则,设，则所以平面的一个法向量,设平面的一个法向量为,所以，设，则，所以，设，所以，因为，所以二次函数在单调递增，所以，所以，所以锐二面角的余弦值的取值范围．21．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；（2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，在方程中，令，解得，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有，由可得：，所以椭圆的方程为；（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，于是有，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，化简，得，设，于是有，因为，所以，代入中，得，于是有，化简，得，代入中，得.【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到.22．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考期中）已知函数(1)求在处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果；（2）根据题意，转化为在区间上恒成立，然后证得在区间上，，再分与讨论，即可得到结果.【详解】（1）因为，则，且，所以切线方程为.（2）由已