2023高考数学复习练31　不等式

微专题31不等式

高考定位1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、

函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中；

2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值；3.题型多以选择题、填空题的形式呈

现，中等难度.

真题演练感悟高考练真题明方向

1.（2018•全国I卷）已知集合A={X∣Λ2-X-2>0},则CRA=（）

A.{x∣—1<x<2}B.{x∣—1≤x≤2}

C.{X∣Λ<-1}U{x∖x>2}D.{x∣x≤-1}U{x∣x22}

答案B

解析法一因为A={x∣（χ-2）（x+l）>0}={x∣x<-1或x>2},

所以CRA=3一1WXW2},故选B.

法二因为A={jφ?-x-2>0},

所以CRA={x*-X-2W0}={XI-IWXW2},故选B.

2.（2019・全国∏卷）若α>b,则（）

A.ln（α-⅛）>OB.3a<3b

C,a3~b3>QD.∖a∖>∖b∖

答案C

解析由函数y=ln尤的图像（图略）知，

当0<a—Xl时，ln（α-⅛）<O,

故A不正确；

因为函数y=3'在R上单调递增，

所以当α泌时，3a>3b,故B不正确；

因为函数y=x3在R上单调递增，

所以当α>b时,a3>b∖

即炉一〃>0,故C正确；

当b<a<O时，∖a∖<∖b∖,故D不正确.

3.（多选）（2022・新高考∏卷）若X,y满足f+γ2-孙=1,则（）

A,x+γ≤1B∙%+γ≥—2

C,x2+√≤2D∙∕+y22

答案BC

„,.E)∕a+β∖^,a2jcb1

解析r因为αbW(_二J≤—2-(。，OeR)，

由x2+y2一个=1可变形为

(x÷γ)2-1=3xʃ≤3θ^y^,

解得-2Wx+y≤2,

当且仅当X=y=—1时，x+y=~2,

当且仅当x=y=l时，尤+y=2,所以A错误，B正确；

由xi+y1-χy=∖可变形为

x2÷γ2

(X27+/9)—1—,

解得f+γ2≤2,当且仅当x=y=±l时取等号，所以C正确；

因为x1+y2-xy=∖可变形为

D+IF

设X—]=COS仇坐y=sin仇

S

所以X=Cos6>÷ɜsinθ,

y=¥Sinθ,

因此x2+jr=cos2∕9÷∣-sin2^÷^^"sinOcosθ=1+^sin2。一geos2。+；

=针4科2《，26一d兀、)∈b「22^],

所以当X=坐，y=一当时满足等式，

但是f+y221不成立，所以D错误.

4.(2020・江苏卷)已知5x2γ2+y4=l(x,^∈R),则x2+y2的最小值是一

答案I

解析法一由题意知y#0.

1—y4

由5x1y1+y4=1,可得x1=~^~,

所以X2+户三+>2=W^=^+4)H*X2出

当且仅当5=4γ2,即y=±半时取等号.

7乙

所以Λ2+γ2的最小值为*

法二设x2+y2=t>0,则/=f—y2.

因为5χ2V+y4=],

所以5(/—y2)y2+/=1,

所以4>,4-5∕y2÷1=0.

由J=25r2-16≥0,

解得5舍去).

故x2+y2的最小值为之

热点聚焦分类突破研热点析考向

热点一不等式的性质及应用

I核心归纳

不等式的常用性质

(i)a>b,c>0=^ac>bc;

a>b,CVonaCVSc

(2)a>b>0,c>d>0^ac>bd>0.

,jnf

(3)a>b>Q=>a>b,y∣a>∖[b(n^'N9〃22).

(4)a>b,ab>0n><t.

例1(1)(多选)(2022•苏州模拟)若。>0>0>c,贝∣J()

cch-cb

aba—ca

C.ac>bcD.a-c>2γ∣~hc

(2)(2022・长沙模拟)已知α,b,C满足α>8>c,且ac>0,则下列选项中一定能成

立的是()

A..ab>acB.c(Z?-α)>0

C.ab(a-c)>OD.cb2>ca2

答案(I)ABD(2)C

解析(1)由于g>8>0>c,

对于A：T=/ɪ-P=

ab∖flb)∖abJ

故9—E>0,∙*∙~>7,故A正确；

abab

h—cb

对于B：由于a>0>0,所以---->-,故B正确；

a—cci

对于C：当Q>b>l时，ac<bc,故C错误；

对于D：由于α>b>0>c,所以a-c>b~~c>2y∣b(―c)=2«-be,故D正确.

(2)取α=-1,h=-2,c=-3,

贝！］4∕>=2Vαc=3,cb2=-l2<ca2=~3,排除A,D；

取α=3,b=2,c=l,则Cs—a)=—1<0,排除B；

因为a>b>c,且ac>0,所以a,h,C同号，且a>c,

所以ab(a-c)>0.

规律方法判断关于不等式命题真假的常用方法

(1)作差法、作商法.

(2)利用不等式的性质推理判断.

(3)利用函数的单调性.

(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.

训练1(1)(多选X2022.广州模拟)设a,b,C为实数且a>b,则下列不等式一定成

立的是()

A［〉］B.2023d^z,>l

ab

C.lniz>ln⅛D.a(c2+l)>⅛(c2+l)

(2)设;Va<l,加=IOg“(次+i),n=loga(l-a),P=Iog仓,则加，n,P的大小关

系是()

A.n>m>pB.m>p>n

C.p>n>mD.n>p>m

答案(I)BD(2)D

解析(1)对于A,若α>0>0,贝弓V/所以A错误;

对于B,因为。一匕>0,所以2023。”>1,所以B正确；

对于C,函数y=lnx的定义域为(0,+∞),而ɑ,人不一定是正数，所以C错误;

对于D,因为c2+l>0,所以α(c2+l)>b(c2+l),所以D正确.故选BD.

(2)因为;<α<l,

12a3+2a-1

所以〃+1^■>0,

2a

11—2。+2层

五一a—a)=-2∑->0,y=log0%为减函数,

所以m<p,PVrI.

可得n>p>m.

热点二不等式的解法

I核心归纳

不等式恒成立问题的解题方法

(IV(X)>α对一切χd∕恒成立=y(x)min>a,xe/；«x)Va对一切χG∕恒成立<≠√3)max

<a,x∈∕.

(2)KX)>g(x)对一切x∈∕恒成立o当x∈∕时，./U)的图象在g(x)的图象的上方.

(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.

例2(1)已知关于X的不等式以一bWO的解集是［2,+∞),则关于X的不等式以2

+(3a-b)x~3b<0的解集是()

A.(-∞,-3)U(2,+∞)B.(-3,2)

C.(-∞,-2)U(3,+∞)D.(-2,3)

(2)若不等式Λ2-αx216—3x—4α对任意α∈［―2,4］都成立，则X的取值范围为

()

A.(-∞,-8]U[3,+∞)B.(-∞,0)U[l,+∞)

C.[-8,6]D.(0,3]

答案(I)A(2)A

解析(1)由关于X的不等式以一AWO的解集是[2,+∞),

得b=2a且。V0,

则关于X的不等式0x2+(3α-⅛)χ-3fe<0可化为x2+χ-6>0,

即(x+3)(χ-2)>0,

解得XV—3或x>2,

所以不等式的解集为(-8,-3)U(2,+8).

(2)由题意得不等式(x—4)〃一Λ2—3χ+16≤0对任意2,4]都成立，

(χ-4)×(—2)-X2—3x÷16≤0,

则《

(X—4)×4-X2—3x+16≤0,

[-X2-5X+24≤0,

≡pl-√+x≤o,

解得Xe3或XW—8.故选A.

易错提醒求解含参不等式加+H+CVO恒成立问题的易错点

(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略α=0时的情况.

(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.

(3)不考虑α的符号.

训练2(1)已知函数7U)在R上为增函数，若不等式.八一4x+a)》-3一/)对任意

%∈(0,3]恒成立，则α的取值范围为()

A.[-l,+∞)B.(3,+∞)

C.[0,+∞)D.[l,+∞)

(2)若关于X的不等式4x—2—α>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围

是()

A.(-∞,—2)B.(—2,+∞)

C.(-6,+o°)D.(—8,—6)

答案(I)D(2)A

解析(1)由题意得，不等式-4x+42-3-f对任意Xe(0,3『恒成立，

所以02—x2+4χ-3对任意XG(0,3]恒成立，

令g(x)=­Λ2+4X-3=-(x-2—+1,

当x∈(0,3]时,g(x)∈(-3,1],

所以α21,

即α的取值范围为［1,+8).故选D.

22

(2)不等式x—4χ-2-α>0在区间(1,4)内有解等价于α<(x-4χ-2)maχ,x∈(l,

4).

令g(x)=x2-4x—2,x∈(l,4),

所以g(x)Vg(4)=—2,

所以a<~2.

热点三基本不等式及其应用

I核心归纳

基本不等式求最值的三种解题技巧

(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定

值.

(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值,

从而利用基本不等式求最值.

(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将

式子分开，即化为γ=∕n+^-+Bg(Λ)(ΛB>O),g(x)恒正或恒负的形式，然后

运用基本不等式来求最值.

例3(1)(多选)(2022,青岛模拟)设正实数α,b满足α+b=l,则()

117

A.log2“+k)g2。2一2B.ab+茄

211

C.-+^≤3+2√2D.2a^fc>2

o匕+3

(2)(2022・湖北九师联盟质检)已知α>0,b≠0,且a+∖b∖=3,J¾+%j-的最小值

为.

答案⑴BD(2)3+2√3

解析(1)logια÷log2⅛=l0g2(α⅛)

Wlog2代号=—2,A错误；

因为a>0,b>0,a+h=1,

所以当且仅当a=b时取等号)，

所以0<abW；,

因为函数y=x+1在(0,〃上单调递减，

1117

所以次?+茄^^+4=彳，B正确；

因为仔+g(α+b)=3+乡+注3+2啦(当且仅当当=W时取等号),

∖L4'Cx/CtI，CCIJ

ɔ1

所焉+注3+2隹C错误；

易知0<a<l,0<⅛<l,

所以一1<4一。<1,

所以2"”>2T，D正确.选BD.

f212^±3=9ɪɪ

U%十∖b∖一。十网十以'

h

当b>0时，而=1，

h

当b<Q时，而=-1.

%房=居+散+创)$2+乎+祸斗12+6√5)=4+2√5,

当且仅当学=群

即片黯,g*T时等号成立，

所以当°=瑞''=一*7时,

、+等取得最小值，且最小值为3+2√i

易错提醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件：

⑴一正二定三相等，三者缺一不可；

(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最

值取不到.

训练3（1）（2022・重庆质检）若x>O,y>O且x+y=孙,则言+言的最小值为（）

A.3B∙2^∣-√6

C.3+√6D.3+2√2

(2)对任意〃?，∕7∈(0,÷∞),都有汴―twi"+2∕20,则实数α的最大值为()

A.√2B.2√2

9

C.4D，2

答案(I)D(2)B

解析(1)Vχ÷γ=χy,

Λ(χ-l)(y-l)=l,

X2y(%—1)+12(y—1)+212

=3+』+产T»3

x—lʃ-1-x~↑y~↑+

2--1∙27=3+2√2,

χ-1y-1Y

12

当且仅当UT=户时等号成立,故选D∙

(2)∙;对任意机，n∈(0,+∞),

都有m2-amn-∖-2rr^0,

2

.*.m+2层2amn9

目"I"2+2∕”2〃L上`

即“Wf—=与+蔡恒成立，

U呼沁嚼=2也

当且仅当£=知即m=γ∣2n时取等号,

Λ^≤2√2,故。的最大值为2√L故选B.

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.若α,b,C为实数，且“<A<O,则下列说法正确的是（）

A.ac2<bc2

12

C.a^>bτD.a>ab>b

答案D

解析当C=O时，A不成立；

11b-a11,ɪɪ

5=工Γ>6即tlk1/"B错庆srf；

b4b1—冰(b+α)(一一α)

错误;

ahahabC

由αV∕?V0,得42>α∕7>∕72,D正确.

4

2.不等式士WX—2的解集是（）

ʌ乙

A.(-∞,0]∪(2,4]B.[0,2)U[4,+∞)

C.[2,4)D.(-∞,2)U(4,+∞)

答案B

解析当x-2>0,即x>2时，（尤一2）224,

即χ-222,则尤24,

当x—2V0,即χV2时，（χ-2）2≤4,

即一2Wχ-2<0,Λ0≤Λ<2,

综上，OWXV2或x24.

3.（2022・泰安质检）若不等式以2—%—0（）的解集为卜—1<Λ<^∣,则函数y=cχ2-X

一。的图象可以为（）

CD

答案c

解析由题意可得一1和;是方程加一X-C=O的两个根，且α<0,

TXs十

解得a=-2,c=-l,

则y=cχ2-χ+2=-(χ+2)(χ-1),其图象开口向下，与X轴交于(一

2,0),(1,0).故选C.

4.已知关于X的不等式/一以一6层>。3<0)的解集为(-8,Xl)U(X2,÷∞),且

X2-χ↑=5∖∣2,则α等于()

A.—√5B.-1

C.-√2D「半

答案C

解析X2—ax—6a2=CX-3α)(x+2d)>0,

Va<0,/.x>-2a或XV3G,

•∙X2~~—2α,Xl=3。，

.φ.X2-xι=-5α=5也,Jo=­y∣2.

1Q

5.已知函数人幻=卒+丁7[(XV1)，下列结论正确的是()

A√U）有最大值日"B√U）有最大值一？

137

Cg:）有最小值了D√U）有最小值a

答案B

Y—1QI1-%911Cll~x9,1U

解析∕ω=丁+言+"、丁+=+不一27—7Ξ^÷4=_]，

当且仅当》=一5时等号成立.

6.原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至

世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有

两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则

下列说法正确的是（）

A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算

C.两种方案一样D.无法确定

答案B

解析设小李这两次加油的油价分别为X元/升、y元/升，则

方案-：两次加油平均价格为嗨&=甘修历

方案二：两次加油平均价格为需明=空或曲,

-

xuuIXVJUXIy

X+y

故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.

7.设x>y>z,"∈N*,且言+士巳”；恒成立,则〃的最大值为（）

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析因为x>y>z,"∈N*,

所以无一y>0,y-z>Q,χ-z>0,

由右十三G≡?

可得〃W(X—Z)昌;+士)

=[(x—jO+U—z)]+=)

x-y

=1+14

x-yy-z

22+2匚.0=4

χ-yy-z

当且仅当尤一y=y—z时，上式取得等号，

由题意可得〃W4,即〃的最大值为4.

8.已知关于X的不等式ax1-2x+3a<Q在（0,2］上有解，则实数a的取值范围是

B.(—8,9

A.—∞,

C惇,+8)D∙(*+∞)

答案A

解析x∈(0,2］时，

不等式可化为0x+y<2;

当α=O时，不等式为0<2,满足题意；

32

当AO时，不等式化为x+y

ʌCl

则l^d!=2√5,

当且仅当X=小时取等号，

所以。<手，即0<α<坐；

32

当a<0时，叵成立.

综上所述，实数α的取值范围是(一8,唱.选A.

9.(多选)(2022.泰州模拟)下列函数中最小值为6的是()

93

A∙y=Ex+/B.γ=6∣sinx∣+2i^

,X2+25

C∙y=3'+32`D.y=E

答案BC

解析对于A选项，当x∈(0,1)时，InX<0,

Q

此时InX+m：<0,故A不正确.

对于B选项，y=6∣sinx∣+2∣s^χ,∣≥2√9=6,

3

当且仅当6|SinXl=丽高，

即ISinXl=B时取"=",故B正确.

对于C选项，y=3∙r+32^jc≥2√3^=6,

当且仅当3∙v=32-jc,

即x=l时取“="，故C正确.

对于D选项，y=^^=√⅛6+√⅛>2√9=6,

._____Q

当且仅当16=五',即/=—7无解,

故D不正确.故选BC.

10.(多选)已知α>0,b>0,且α+8=l,则()

11

-B>-

22rt2

C.log2α+log2h2—2D.y[cι+γ∣b^γ∣2

答案ABD

解析因为α>0,b>Q,a+h=l,所以a+bN2∖βL,当且仅当ɑ=/?=^时，等

号成立，即有"w"

对于A,a2+b2=(a+b)2-2ab=l-2ah^l-2×^=^,故A正确；

对于B,2a~b=22a~l=^×22a,因为a>O,所以22。>1,即2"P>g,故B正确;

对于C,k>g2α+log2Z>=log2(αb)Wlog2W=-2,故C错误;

对于D,由（W+$）2=。+方+23^=1+2g^W2,得W+亚Wg,故D正确.

综上可知，正确的选项为ABD.

11.函数y=lg（c+2χ-Λ2）的定义域是O，m+4）,则实数C的值为.

答案3

解析依题意得，一元二次不等式一x2+2x+c>0,

即Λ2-2χ-c<0的解集为（"?，"z+4）,

所以〃?，加+4是方程x2—2x—c=0的两个根，

"z+"z+4=2,m=­1,

所以《解得

m(〃?+4)=~cc=3.

12.若命题"mx∈R,/-2x+mV0"为真命题，则实数机的取值范围为

答案（一8,D

解析由题意可知，不等式f—2x+〃zV0有解，

ΛJ=4-4m>0,m<∖,

,实数机的取值范围为（一8,1）.

二'创新拓展练

13.（多选）（2022•汕头模拟）已知正实数α,8满足α+28=M,则以下不等式正确的

是（）

A.一+722B.a+2828

ab

C.log2α+log2b<3D.2α+029

答案BD

解析对于A,因为正实数”,人满足α+2∕?=",

“一〃+2力

所以F=1，

gp→2∣1=l,所以A错误,

对于B,因为α>0,b>Q,a+2b=ab,

所以a+2b22小而=2∖∣2（α+2b）,

当且仅当a=2b时取等号，

所以(α+2b)2N8(α+2b),

因为a+2b>0,

所以a+2⅛>8,

当且仅当α=28时取等号，所以B正确,

对于C,若10g2Λ+10g2⅛<3,

则IOg2。+lθg2⅛=lθg2(α⅛)<3=lθg28,

所以仍<8,所以α+2X8,而由选项B可知α+2828,

所以Iog2<a+log2⅛<3不成立，所以C错误，

对于D,因为正实数α,人满足α+2∕?=",

“，,a-∖-2b

所以K=ι,

即⅛1,

所以2α+b=（2α+b）（湾）=5+系+答5+2噌⅞=9,

当且仅冷=张

即a=b=3时取等号，

所以D正确，故选BD.

14.（多选）（2022•全国名校大联考）若实数X,y满足2*+2>+∣=l,m=x+y,〃=（；）'

十旷,则（）

A.xV0且yV—1