高中数学-3.2.13.2.2两角差的余弦函数-两角和与差的正弦、余弦函数课件-北师大必修4

§2两角和与差的三角函数2.1

两角差的余弦函数2.2

两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数名称

公式

简记

差的正弦

sin(α-β)=__________________________Sα-β

差的余弦

cos(α-β)=__________________________Cα-β

和的正弦

sin(α+β)=__________________________Sα+β

和的余弦

cos(α+β)=__________________________Cα+βsinαcos

β-cos

αsin

βcos

αcos

β+sin

αsin

βsinαcos

β+cos

αsin

βcos

αcos

β-sinαsin

β1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦，余弦公式中角α，β是任意的.()(2)存在实数α,β，使cos(α+β)=cos

α-cosβ成立.()(3)cos(α-β)=cos

αcosβ-sinαsinβ.()(4)sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立.()【解析】(1)正确.对于任意的α，β公式都成立.(2)正确.当α=β=时成立.(3)错误.cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsinβ.(4)错误.当α=0,β∈R，或者α∈R,β=0时成立.答案：(1)√(2)√

(3)×

(4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)cos65°cos35°+sin65°sin35°=________.(2)sin56°cos34°+cos56°sin34°=_________.(3)=__________.(4)=_________.【解析】(1)原式=cos(65°-35°)=cos30°=答案：(2)原式=sin(56°+34°)=sin90°=1.答案：1(3)原式====答案：(4)原式=答案：0【要点探究】知识点两角和与差的正弦、余弦公式1.公式的记忆(1)对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为：“余余正正，和差相反”.(2)对于两角和与差的正弦公式Sα±β可以简记为：“正余余正，和差相同”.2.公式的适用条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如中的“”相当于公式中的角“α”，“”相当于公式中的角“β”.因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角.3.公式的作用(1)正用：把sin(α±β),cos(α±β)从左向右展开.(2)逆用：公式的右边化简成左边的形式.当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用.(3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变用；二是角的变用，也称为角的拆分变换，如β=(α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β).【知识拓展】辅助角公式及其运用公式asin

α+bcosα=sin(α+φ)(或asinα+bcosα=cos(α-φ))将形如asin

α+bcos

α(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具.化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，更有利于函数的性质的研究.【微思考】(1)两角和与差的正弦、余弦公式与诱导公式有什么关系？提示：和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是

的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便.(2)逆用公式的关键是什么？提示：关键是利用相关三角变换公式使其满足公式右边的结构特征.【即时练】1.=()2.计算：cos165°=_________.3.计算：(1)sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α).(2)sin347°cos148°+sin77°cos58°.【解析】1.选B.===2.cos165°=cos(45°+120°)=cos45°cos120°-sin45°sin120°=答案：3.(1)sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α)=sin(α+30°)cos(-α)+cos(α+30°)sin(-α)=sin(α+30°-α)=sin30°=(2)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°)=sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin(13°+32°)=sin45°=

【题型示范】类型一给值(式)求值【典例1】(1)(2014·天津高一检测)若α是锐角,则cosα的值等于()(2)(2014·西安高一检测)已知α，β∈sin(α+β)=求的值.【解题探究】1.题(1)中如何用α-表示α？2.题(2)中角α+与已知α+β,β-两角有什么关系?【探究提示】1.α=2.【自主解答】(1)选A.因为α为锐角，即0＜α＜所以又因为所以所以==(2)因为α，β∈所以＜α+β＜2π,又因为所以cos(α+β)=所以=【延伸探究】若题(2)的条件不变，如何求cosα的值?【解析】由题(2)解析知又所以所以=【方法技巧】给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.如已知角

-α的相关三角函数值，那么要求角

+α的三角函数值，就可以利用变换得到.(3)角的拆分方法不唯一.如α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=[(α+β)+(α-β)],α=

[(β+α)-(β-α)]等.至于运用哪种拆分方法，要根据题目合理选择.【变式训练】(2014·广东高考)已知函数f(x)=且(1)求A的值.(2)若【解题指南】第(1)问属于给角求值问题，第(2)问则可利用两角和与差的正弦公式、诱导公式及同角三角函数的关系求解.【解析】(1)由可得(2)f(θ)+f(－θ)=则因为所以=【补偿训练】(2013·亳州高一检测)若sinα-sinβ=cos

α-cosβ=则cos(α-β)的值是()【解析】选B.因为sinα-sinβ=cos

α-cosβ所以(sinα-sinβ)2+(cosα-cosβ)2=所以2-2(cosαcos

β+sin

αsinβ)=2-所以cos

αcos

β+sin

αsinβ=即cos(α-β)=类型二知值求角【典例2】(1)(2014·汉中高一检测)已知α，β均为锐角，sinα=cosβ=则α-β的值为__________.(2)已知cos(α-β)=cos(α+β)=且α-β∈α+β∈求cos2α，cos2β及角β的值.【解题探究】1.题(1)中求α-β的值的思路是什么？2.题(2)中，如何用已知角表示待求角？【探究提示】1.先求出sin(α-β)或cos(α-β)，再由条件确定α-β的范围，从而求得α-β.2.2α=(α-β)+(α+β)，2β=(α+β)-(α-β).【自主解答】(1)因为α，β均为锐角，所以因为sinα＜sinβ,所以α＜β，所以-＜α-β＜0,所以sin(α-β)=sinαcos

β-cos

αsinβ=所以α-β=-.答案：-(2)由α-β∈且cos(α-β)=得sin(α-β)=由α+β∈且cos(α+β)=得sin(α+β)=所以cos2α=cos［(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)cos2β=cos

［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)又因为所以2β=π，则β=.【方法技巧】1.知值求角的步骤(1)首先考虑界定角的范围.根据条件确定所求角的范围.有时需要根据已知条件把角度的范围缩小.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.如角的范围是［0，π］时取余弦更方便些；而角的范围是时，则取正弦更方便.(3)求角.结合三角函数值及角的范围求角.2.知值求角的注意点一是要结合角的范围选择合适的三角函数.二是要注意尽量用已知角表示待求角.【变式训练】若sinα=cos(α+β)=且α，β是锐角，则β=__________.【【解题】指南】利用同角三角函数的基本关系，求出cosα=sin(α+β)=由cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cos

α+sin(α+β)sinα,进而求出结果.【解析】由sinα=cos(α+β)=且α，β是锐角，求得cosα=sin(α+β)=所以cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=，所以β=.答案:【补偿训练】已知a=(cos

α,sinβ)，b=(cos

β,sinα),0＜β＜α＜

，且a·b=，求证：α=+β.【证明】a·b=cos

αcos

β+sin

αsinβ=cos(α-β)=,又0＜β＜α＜

，所以0＜α-β＜

,所以α-β=，即α=+β.类型三辅助角公式的应用【典例3】(1)的值是()(2)(2014·济南高一检测)函数f(x)=(1+tanx)·cosx的最小正周期为()【解题探究】1.如何将asin

α+bcosα转变为一个角的三角函数式？2.求f(x)的最小正周期的关键是什么？【解题提示】1.方法是提取

，增设辅助角，逆用Sα±β与Cα±β公式，特别注意角的范围对三角函数值的影响，如acos

α+bsinα=sin(α+φ)，其中tanφ=2.关键是利用三角变换公式将f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式.【自主解答】(1)选A.=(2)选A.f(x)===所以最小正周期T==2π.【延伸探究】若题(2)中函数f(x)变为“f(x)=”，则最小正周期如何？【解析】f(x)===所以最小正周期【方法技巧】asin

x+bcosx的化简步骤(1)提常数，即把asin

x+bcosx提出

得到(2)定角度，由我们不妨设cosθ=则得到(cosθsinx+sinθcosx).(3)化简，逆用两角和的正弦公式可得asinx+bcosx=sin(x+θ).【变式训练】化简：(tan10°－)·＝_______.【解题指南】把

化成tan60°，同时化切为弦.【解析】(tan10°－)·＝(tan10°－tan60°)·＝＝＝答案：-2【补偿训练】(2013·蚌埠高一检测)已知函数f(x)=+1-(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.【解析】(1)由f(x)===所以最小正周期T==π.(2)当f(x)取最大值时，有2x-=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z).故当函数f(x)取得最大值时x的集合为{x|x=kπ+(k∈Z)}.【易错误区】求角过程中因选择三角函数不当或用错公式而致误

【典例】(2014·西安