新版人教版八年级下册数学全册教案（完整版）教学设计含教学反思

新版人教版八年级下册数学全册教案（完整版）教学设计含教学反思第十九章二次根式单元备课第19单元本单元所需课时数6课时目标1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.教材分析在学习平方根和整式的基础上，本章进一步研究二次根式的概念、性质和运算，目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力，同时为后面勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备．主要内容本章的主要内容是二次根式的概念、性质和运算.主要包括三节：第19.1节“二次根式及其性质”主要介绍二次根式的概念和性质；第19.2节“二次根式的乘法与除法”主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；第19.3节“二次根式的加法与减法”研究二次根式的加减运算法则，并在学习加、减、乘、除运算法则的基础上进行二次根式的混合运算.教学目标1.理解二次根式的概念，理解并掌握二次根式有意义的条件．2.理解二次根式的两个性质(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)，会运用二次根式的性质进行有关计算和化简．3.理解eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．4.利用逆向思维，得出eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．5.理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简．6.利用逆向思维，得出eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．7.会进行二次根式的加减法运算．8.掌握混合运算的法则，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算．课时分配19.1二次根式及其性质2课时19.2二次根式的乘法与除法2课时19.3二次根式的加法与减法2课时教与学建议1.注意代数学的整体性.2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程.3.加强运算技能训练，提高运算能力.19.1二次根式及其性质第1课时二次根式的概念课题二次根式的概念课型新授课教学内容教材第2-3页的内容教学目标1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由．2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．3.通过对二次根式的概念的探究，提高数学探究和归纳能力．4.经历观察、归纳、总结等数学活动，感受数学的严谨性和趣味性．教学重难点教学重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．教学难点：确定二次根式中字母的取值范围.教学过程复备栏1.创设情境，引入课题【问题1】用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m；(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为______；(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系式h＝5t2.若用含有h的式子表示t，则t＝________．师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价，帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象.教师追问：第（1）（2）题中得到eq\r(65)，a2+1的依据是什么？这两个式子有什么区别和联系？师生活动：由学生回答.依据是算术平方根的定义.区别是eq\r(65)分别表示具体数65的算术平方根，a2+1是字母a2+12.抽象概括，形成概念【问题2】（1）观察上面得到的式子eq\r(65)，a2+1，eq\r(\f(h,5))，它们有什么共同特征？(2)你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.并板书：它们表示一些正数的算术平方根.一般地，我们把形如（a≥0）形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号.二次根式也是代数式.教师追问1：4，0的算术平方根分别是什么？-4有没有算术平方根？教师追问2：被开方数需要满足什么条件？为什么要满足这样的条件？教师追问3：当x满足什么条件时，eq\r(x2)在实数范围内有意义？eq\r(x3)呢？师生活动：学生独立思考，教师引导学生回顾在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．x为任意实数时，x2都为非负数，eq\r(x2)都有意义．x≥0时，x3为非负数，eq\r(x3)有意义．【问题3】请同学们比较eq\r(a)与0的大小.师生活动：先让学生独立思考.学生的第一反应可能是eq\r(a)>0，部分学生能得出eq\r(a)≥0这一正确结论.教师引导学生根据概念，分a＞0和a=0两种情况进行讨论.归纳出eq\r(a)的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平方根eq\r(a)≥0.3.学以致用，应用新知考点1二次根式的概念【例1】下列各式中，一定是二次根式的有_______.分析：判断二次根式应关注两点：（1）有二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.考点2二次根式有意义的条件【例2】当x满足什么条件时，eq\r(x－2)在实数范围内有意义？解：由x－2≥0，得x≥2.当x≥2时，eq\r(x－2)在实数范围内有意义．【变式】求下列二次根式中字母在实数范围内取何值有意义：⑴；⑵；⑶；⑷.【例3】若eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是()A.x≥eq\f(1,2)B．x≤eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)D．x≠eq\f(1,2)答案：C师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式被开方数大于等于零再次进行强调．4.随堂训练，巩固新知（1）下列式子：eq\r(5)，，eq\r(a2)，eq\r(－7)，eq\r(\f(1,2))，其中属于二次根式的有()A.2个B．3个C．4个D．5个答案：C（2）已知eq\r(a)是二次根式，则a的值可以是()A.－2B．－1C．2D．－8答案：C（3）一个用电器的电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的电压为U，其关系式为P=，则U可以表示成()A.U=B.U=C.U=D.U=答案：C（4）使式子eq\f(1,\r(x－2))有意义的x的取值范围是．答案：x＞2（5）当a=5时，2a−13的值是答案：3（6）已知实数x，y满足y＝+-5，求x²+2xy+y²的值．解：根据二次根式的定义，得3－x≥0，x－3≥0，所以x＝3，y＝-5.则x²-2xy+y²=（x+y）²＝4.5.课堂小结，自我完善（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）形式的式子称为二次根式.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0.（3）二次根式的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平方根eq\r(a)≥0.6.布置作业教材P3练习1-3，P5习题19.1第1，3，5，6，7，10题板书设计二次根式的概念1.二次根式的概念：例题2.二次根式有意义的条件：练习教学反思1.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后从学生熟悉的实际问题出发，引导学生用已有的知识进行探究，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.19.1二次根式第2课时二次根式的性质课题二次根式的性质课型新授课教学内容教材第3-4页的内容教学目标1.理解二次根式的两个性质(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)；2.会运用二次根式的性质进行有关计算和化简；3.通过对eq\r(a2)的化简，了解分类讨论的思想；4.利用乘方与开方互为逆运算推导结论(eq\r(a))2＝a(a≥0)，感受数学知识的内在联系．教学重难点教学重点：二次根式的两个性质：(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝a(a≥0).教学难点：二次根式性质的运用与二次根式的化简.教学过程复备栏1.回顾旧知，情境导入【回顾1】eq\r(5)，eq\r(a)有意义吗？为什么？【回顾2】eq\r(5)表示的意义是什么？eq\r(a)表示的意义是什么？师生活动：学生回忆并回答，回顾二次根式的概念.【情境导入】如图是一幅正方形中式壁画，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？师生活动：引导学生思考，正方形的边长为eq\r(a)，用边长表示正方形的面积为（eq\r(a)）²，又面积为a，∴（eq\r(a)）²=a.教师追问:这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？2.活动探究，学习新知【问题1】根据算术平方根的意义填空：(eq\r(4))2＝________；(eq\r(2))2＝________；(eq\r(\f(1,3)))2＝________；(eq\r(0))2＝________．教师追问：观察上面几个式子有什么共同点？能够用含字母的式子归纳出来吗？师生活动：请学生口答结果，组织学生小组讨论思考，教师再予以评价与补充，最后一起归纳出二次根式的性质1.归纳：一般地，eq\x(（\r(a)）2＝a（a≥0）)【问题2】填空：eq\r(22)＝________；eq\r(0.012)＝________；eq\r(（\f(2,3)）2)＝________；eq\r(02)＝________．教师追问1：请学生计算出上面各式的答案，类比性质1的探究过程，尝试用字母a写出你的猜想．教师追问2：eq\r(（－4）2)＝________；eq\r(（－\f(1,7)）2)＝________．教师追问3：a的取值范围有什么要求？师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比思考，得出二次根式的性质2.总结：当a≥0时，eq\r(a2)＝a；当a<0时，eq\r(a2)＝－a.根据绝对值的意义可知：当a≥0时，|a|＝a；当a<0时，|a|＝－a.由此可知：eq\r(a2)＝|a|.由于eq\r(a)(a≥0)表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意义，eq\r(a)的平方等于a，因此我们就得到一个结论：eq\r(a2)＝a(a≥0)3.学以致用，应用新知考点1二次根式的性质：(eq\r(a))2＝a(a≥0)例2计算：(1)(eq\r(1.5))2；(2)(2eq\r(5))2.解：(1)原式＝1.5.(2)原式＝20.考点2二次根式的性质：eq\r(a2)＝a(a≥0)例3化简：(1)eq\r(16)；(2)eq\r(（－5）2).解：(1)原式＝4.(2)原式＝5.师生活动：教师对二次根式的两条性质之间的区别作出强调．(eq\r(a))2eq\r(a2)意义不同表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根从运算顺序看先开方，后平方先平方，后开方从取值范围看a≥0a取任何实数从运算结果看a|a|4.随堂训练，巩固新知（1）下列式子中，计算正确的是()A.eq\r(－5)＝－eq\r(5)B．－eq\r(3.6)＝－0.6C.eq\r(（－13）2)＝13D．(－eq\r(6))2＝36答案：C（2）若eq\r(（x－3）2)＝3－x，则x的取值范围是．答案：x≤3.（3）计算：①；②.答案：①3；②18.（4）说出下列各式的值：①；②；③；④.答案：①0.3；②；③-π；④.（5）若实数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简：eq\r(a2)－|b－c|．答案：－a＋b－c.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解，并让学生说出运用的是哪条性质．5.课堂小结，自我完善（1）二次根式的性质：(eq\r(a))2＝a(a≥0)；（2）二次根式的性质：eq\r(a2)＝a(a≥0)；（3）代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子.6.布置作业教材P5习题19.1第2，4，9题.板书设计二次根式的性质1.二次根式的性质：(eq\r(a))2＝a(a≥0)2.二次根式的性质：eq\r(a2)＝a(a≥0)3.代数式教学反思1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.教师在课堂教学中要注意引导学生进行探究学习，本节课，对学生探索求知作出了引导，鼓励学生自由发言，但小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们以后的学习和生活．19.2二次根式的乘法与除法第1课时二次根式的乘法课题二次根式的乘法课型新授课教学内容教材第6-7页的内容教学目标1.理解eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．2.利用逆向思维，得出eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．3.经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程．4.通过合作探究，激发学生积极参与数学学习的兴趣，培养合作交流能力．教学重难点教学重点：二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．教学难点：能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式．教学过程复备栏1.创设情境，引入新课【课堂引入】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝________，eq\r(4×9)＝________．(2)eq\r(16)×eq\r(25)＝________，eq\r(16×25)＝________．(3)eq\r(25)×eq\r(36)＝________，eq\r(25×36)＝________．师生活动：教师出示问题，引导学生观察运算结果，并小组讨论，引导学生发现式子有什么规律．学生计算、观察、分小组讨论，体会结果的特点.2.发现探究，学习新知【问题1】参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空，并用计算器加以验证．教师追问：你能找出二次根式乘法运算的规律了吗？尝试写出含字母的二次根式等式？师生活动：学生独立思考后再小组内交流想法，最后全班分享，教师帮助完善和补充，得出法则．结论：一般地，二次根式的乘法法则是eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0).【问题2】把eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)反过来，仍然成立吗？学生分组讨论，师生共同总结，得出积的算术平方根的性质eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0).教师追问1：a，b的取值有什么特点？教师追问2：为什么要满足这样的关系？教师追问3：积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？总结：积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．注意：(1)公式中的非负数的条件；(2)在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解(或因数分解)；(3)eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)可推广为：eq\r(a)·eq\r(b)·eq\r(c)＝eq\r(abc)(a≥0，b≥0，c≥0).3.学以致用，应用新知考点1利用二次根式的乘法法则进行运算【例1】计算：（1）eq\r(3)×eq\r(5)；（2）eq\r(\f(1,3))×eq\r(27).解：（1）原式＝eq\r(15).（2）原式＝3.考点2积的算术平方根的性质【例2】化简：（1）eq\r(16×81)；（2）eq\r(4a2b3).解：（1）原式＝36.（2）原式＝2|ab|eq\r(b).考点3二次根式的乘法运算【例3】计算：(1)eq\r(14)×eq\r(7)；(2)3eq\r(5)×2eq\r(10)；(3)eq\r(3x)·eq\r(\f(1,3)xy).解：(1)原式＝7eq\r(2).(2)原式＝30eq\r(2).(3)原式＝xeq\r(y).师生活动：教师引导、点拨、巡视，指定不同学生到黑板做题，对有困难的同学适时给予指导，完成后师生共同评析．通过例2的学习，告诉学生在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，再将能开得尽方的因数或因式开出来.通过例3的学习，提醒学生注意，在被开方数相乘的时候可先考虑因数分解或因式分解.4.随堂训练，巩固新知（1）下列各等式成立的是()A.4eq\r(5)×2eq\r(5)＝8eq\r(5)B．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(5)C.4eq\r(3)×3eq\r(2)＝7eq\r(5)D．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(6)答案：D（2）计算：①eq\r(2)×eq\r(5)；②eq\r(3)×eq\r(12)；③2eq\r(xy)·eq\r(\f(1,x)).解：①原式＝eq\r(10).②原式＝6.③原式＝2eq\r(y).（3）化简：①eq\r(49)×eq\r(121)；②eq\f(1,5)eq\r(125)；③eq\r(4y)；④eq\r(2xy2)·eq\r(8xy).解：①原式＝77.②原式＝.③原式＝2eq\r(y).④原式＝4xy.（4）一个长方形的长和宽分别是eq\r(10)cm和2eq\r(2)cm，则这个长方形的面积为cm2.答案：4eq\r(5)师生活动：学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，帮助学生加深理解，对优秀者应予以表扬鼓舞，让学生体验成功的快乐.5.课堂小结，自我完善（1）二次根式的乘法法则：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；推广：eq\r(a)·eq\r(b)·eq\r(c)＝eq\r(abc)(a≥0，b≥0，c≥0).（2）积的算术平方根：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0).6.布置作业教材P7练习第1，2题；教材P10习题16.2第1题.板书设计二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则2.积的算术平方根教学反思1.新课导入时教师要注重学生自主探索能力的培养.在指导教学过程中，激发和鼓励学生的学习探究;提问有序、有提示、有鼓励、有启发，问在有疑之处.2.二次根式的乘法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而降低学习的难度，提高学习的效率.3.整个教学过程始终要把学生摆在第一位，真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为-个再探索、再发现的过程.19.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法课题二次根式的除法课型新授课教学内容教材第8-10页的内容教学目标1.理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简．2.利用逆向思维，得出eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．3.掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题．4.通过合作探究，激发求知欲，了解类比思想．教学重难点教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．教学难点：能利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式．教学过程1.创设情境，引入新课【课堂引入】师:同学们还记得二次根式的乘法法则吗?生:eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0).师:我们是怎样得到二次根式的乘法法则的?生:从特殊的几个算式中归纳出来的.师:接下来，我们用类似的方法来研究二次根式的除法.2.发现探究，学习新知【问题1】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)eq\f(\r(4),\r(9))＝________，eq\r(\f(4,9))＝________；(2)eq\f(\r(16),\r(25))＝________，eq\r(\f(16,25))＝________；(3)eq\f(\r(36),\r(49))＝________，eq\r(\f(36,49))＝________．师生活动：教师出示问题，引导学生观察运算结果，总结规律．教师追问1：参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空，并用计算器加以验证．教师追问2：你找出二次根式除法运算的规律了吗？师生活动：请学生总结上述规律，类比二次根式的乘法法则，尝试写出二次根式除法法则的关系式.结论：一般地，二次根式的除法法则是eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0).【应用举例】例4计算：(1)eq\f(\r(24),\r(3))；(2)eq\r(\f(3,2))÷eq\r(\f(1,18)).解：(1)原式＝eq\r(8)＝eq\r(4×2)＝2eq\r(2).(2)原式＝eq\r(\f(3,2)×18)＝eq\r(27)＝3eq\r(3).【问题2】把eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)反过来，仍然成立吗？学生分组讨论，师生共同总结，得出商的算术平方根的性质eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0).教师追问1：你能理解这个二次根式除法的逆运算吗？教师追问2：类比积的算术平方根的性质，你能说说商的算术平方根的性质有什么作用吗？师生活动：教师组织学生独立思考后，再请同学分享想法，全班共同点评．总结：商的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．注意：(1)当a＜0，b＜0时，虽然eq\r(\f(a,b))有意义，但是eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(－a),\r(－b))，而不等于eq\f(\r(a),\r(b)).(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，再做计算．【应用举例】例5化简：(1)eq\r(\f(3,100))；(2)y3x2.解：(1)原式＝eq\f(\r(3),\r(100))＝eq\f(\r(3),10).(2)原式＝y3x2＝y师生活动：学生独立思考作答，教师提示解题过程中考虑如何逆用二次根式的除法法则，体会逆用法则的意义．3.学以致用，应用新知例6设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=eq\r(10)，b=eq\r(3)，求a.解：因为S＝ab，所以a＝eq\f(S,b)＝103=103=10×33×3＝3032＝303师生活动：学生独立完成为主，有困难的可以小组讨论，同学互助完成，教师再检查点评．【问题3】观察上面各小题的最后结果，总结二次根式的运算结果应该成为什么样的形式才不用继续化简?师生活动：学生分组讨论，共同总结.最简二次根式的特征:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．例7计算：(1)eq\f(\r(3),\r(5))；(2)eq\f(3\r(2),\r(27))；(3)eq\f(\r(8),\r(2a)).解：(1)原式＝eq\r(\f(3,5))＝eq\r(\f(3×5,5×5))＝eq\r(\f(15,52))＝eq\f(\r(15),\r(52))＝eq\f(\r(15),5).(2)原式＝eq\f(3\r(2),\r(32)×\r(3))＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(2)×\r(3),\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(6),3).(3)原式＝eq\f(\r(8)·\r(2a),\r(2a)·\r(2a))＝eq\f(4\r(a),2a)＝eq\f(2\r(a),a).师生活动：学生板书演示，小组评价，教师补充引导注意事项．4.随堂训练，巩固新知（1）下列根式中，不是最简二次根式的是()A.eq\r(10)B．eq\r(8)C．eq\r(6)D．eq\r(5)答案：B（2）计算：①eq\f(\r(0.76),\r(0.19))；②eq\f(\r(12ab),\r(3a)).答案：①2；②2eq\r(b)．（3）化简：①eq\r(1\f(15,49))；②eq\r(\f(25a4,9b2))(b>0).答案：①eq\f(8,7)；②eq\f(5a2,3b).（3）若二次根式eq\r(3a＋5)是最简二次根式，求正整数a的最小值．答案：2.（4）计算：①eq\r(27)÷eq\r(18)×eq\r(2)；②eq\r(\f(1,2))÷(－eq\r(12))×3eq\r(24).答案：①eq\r(3)；②－3.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．5.课堂小结，自我完善师生共同回顾：（1）=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）及其应用；（2）最简二次根式的意义.6.布置作业教材P10练习第1，2，3题；教材P10习题19.2第2，4题.板书设计二次根式的除法1.二次根式的除法法则2.商的算术平方根3.最简二次根式教学反思1.创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣.2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功.19.3二次根式的加法与减法第1课时二次根式的加减课题二次根式的加减课型新授课教学内容教材第13-14页的内容教学目标1.通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加减法运算．2.会二次根式的加减，能通过加减法运算解决实际问题．3.通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想．4.经历探究二次根式加减法法则的过程，激发学习热情，体验成功的快乐．教学重难点教学重点：二次根式的加减运算.教学难点：正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用．教学过程复备栏1.创设情境，提出问题【问题1】你能类比合并同类项化简3eq\r(2)+eq\r(2)吗？师生活动：教师引导学生回忆合并同类项的方法，并说明算理（分配律）.3eq\r(2)+eq\r(2)=（3+1）eq\r(2)=4eq\r(2).教师追问1：这里的两个二次根式有什么共同特征？你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？师生活动：教师引导学生分析，得出共同特征是二次根式的被开方数相同.这样的二次根式加减，与合并同类项类似，可以利用分配律对它们进行合并.教师追问2：由3eq\r(2)+eq\r(2)的运算过程，你能想到怎样计算27＋12了吗？师生活动：由学生独立完成解答，再全班交流.2.合作探究，形成知识【问题2】如何计算27＋12？27＋12=33+23=（3+2）3=53师生活动：教师引导学生得到“先化简，再合并”的运算步骤：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来，包含前面的符号，被开方数和根指数不变；(2)当二次根式的系数是带分数时，必须将其化成假分数；(3)化简后，被开方数不相同的根式不能合并．3.学以致用，应用新知考点1二次根式的加减运算【例1】计算：eq\r(80)－eq\r(45)；(2)eq\r(9a)＋eq\r(25a)；(3)2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(48).解：(1)原式＝4eq\r(5)－3eq\r(5)＝eq\r(5).原式＝3eq\r(a)＋5eq\r(a)＝8eq\r(a).(3)原式＝4eq\r(3)－2eq\r(3)＋12eq\r(3)＝14eq\r(3).【例2】计算：(1)(eq\r(12)＋eq\r(20))＋2(eq\r(3)－eq\r(5))；（2）12（3−2）-34解：(1)原式＝2eq\r(3)＋2eq\r(5)＋2eq\r(3)－2eq\r(5)＝4eq\r(3)．(1)原式＝123−12师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．【例3】现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？师生活动：出示问题，教师引导学生认真读题，分析题意．教师追问1：两个正方形木块的边长分别是多少？教师追问2：能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示这个条件吗？师生活动：引导学生分析出“长够、宽也够”的条件，并把条件表示为数学式子：eq\r(8)＋eq\r(18)≤7.5，eq\r(8)≤5，eq\r(18)≤5.从而把问题转化为判断eq\r(8)＋eq\r(18)与7.5的大小关系.解：大正方形木板的边长为eq\r(18)dm，因为eq\r(18)<5，所以这块木板够宽.两个正方形木板的边长的和为(eq\r(8)+eq\r(18)）dm，而eq\r(8)+eq\r(18)=2eq\r(2)+3eq\r(2)=（2+3）eq\r(2)=5eq\r(2).由eq\r(2)<1.5可知5eq\r(2)<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm²和18dm²的正方形木板。师生活动：学生分组讨论，学生可能会想到直接取近似值.教师可以引导学生分析其中存在的问题（例如，两次取近似值影响精确度），并寻求解决问题的方法，即先化简再求近似值，从而出本节课的学习任务.4.随堂训练，巩固新知（1）下列根式中可以与eq\r(5)合并的是()A.eq\r(10)B．eq\r(20)C．eq\r(15)D．eq\r(25)答案：B（2）下列计算正确的是()A.5eq\r(3)－4eq\r(3)＝1B．eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C.eq\r(8)－eq\r(2)＝eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)＝5eq\r(2)答案：C（3）三角形的三边长分别为eq\r(20)cm，eq\r(40)cm，eq\r(45)cm，则这个三角形的周长为cm.答案：5eq\r(5)＋2eq\r(10)（4）计算：①-；②.答案：①.②.（5）计算：①5eq\r(8)－2eq\r(27)＋eq\r(18)；②2eq\r(18)－eq\r(50)＋eq\f(1,3)eq\r(45).答案：①13eq\r(2)－6eq\r(3).②eq\r(2)＋eq\r(5).师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．5.课堂小结，自我完善回答下面的问题，说说你对二次根式加减运算的认识：（1）二次根式加减运算的一般步骤是什么？每一个步骤的依据是什么？（2）在二次根式的加减中，有哪些地方容易出现错误？怎样避免？6.布置作业教材P14练习第1.2，3题；教材P16习题19.3第1，2，4题.板书设计二次根式的加减1.被开方数相同的最简二次根式2.二次根式的加减教学反思1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.2.在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．19.3二次根式的加法与减法第2课时二次根式的混合运算课题二次根式的混合运算课型新授课教学内容教材第15页的内容教学目标1.掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算．2.熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用．3.通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，体会类比思想．教学重难点教学重点：混合运算的法则、三级运算的顺序及运算律的合理使用．教学难点：灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便．教学过程复备栏1.创设情境，引入新课如果梯形的上、下底边长分别为2cm，4cm，高为cm，那么它的面积是多少?下面的计算正确吗？师生活动：教师出示问题，倾听学生的交流，指导学生探究，从而列出正确的式子.2.发现探究，学习新知针对上面的问题，在教师的引导下，学生列出算式：(2+4)×.【问题1】怎样计算(2+4)×?教师追问：你能联想到我们以前学过的整式运算中的哪一种运算？师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生回忆学习过的整式乘法中的分配律，类比单项式乘多项式尝试计算，并全班交流，得出结论.总结:有理数乘法的运算律同样适用于二次根式的混合运算.【问题2】你能根据多项式乘多项式的方法计算下面的式子吗？(eq\r(3)－2eq\r(2))(2eq\r(3)－eq\r(2)).教师追问：你能说出整式的乘法公式吗？你能根据公式计算下列式子吗？①(eq\r(3)－2eq\r(2))(eq\r(3)＋2eq\r(2))；②(eq\r(3)－2eq\r(2))2.师生活动：学生分小组进行交流讨论，教师巡视指导，注意提醒学生2eq\r(2)平方时，要把外面的2和eq\r(2)都平方．最后请学生类比有理数混合运算的顺序，说出二次根式混合运算的顺序．归纳：(1)先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的；(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．3.学以致用，应用新知考点1二次根式的混合运算【例4】计算：(1)(eq\r(8)＋eq\r(3))×eq\r(6)；(2)(4eq\r(2)－3eq\r(6))÷2eq\r(2).解：(1)原式＝4eq\r(3)＋3eq\r(2).(2)原式＝2－eq\f(3,2)eq\r(3).考点2乘法公式在二次根式混合运算中的应用【例5】计算：(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3)).解：(1)原式＝－13－2eq\r(2).(2)原式＝2.师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注关注学生对运算法则的运用是否正确，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．4.随堂训练，巩固新知（1）计算eq\r(2)(eq\r(3)－eq\r(12))的结果为()A.eq\r(6)B．－eq\r(6)C．eq\r(6)－6D．6－eq\r(6)答案：B（2）（天津中考）计算(+)(-)的结果等于.

答案：3（3）计算：(eq\r(2)＋eq\r(3))2－eq\r(24)＝．答案：5（4）计算：①eq\r(12)÷eq\r(3)－eq\r(6)×2eq\r(3)；②eq\r(48)÷(－eq\r(3))－eq\r(\f(1,2))×eq\r(12)＋eq\r(24).答案：①2－6eq\r(2).②eq\r(6)－4.（5）已知x=2-，求(7+4)x2+(2+)x+的值.答案:2+师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．5.课堂小结，自我完善（1）二次根式的四则运算：先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．（2）运用乘法公式和运算律进行计算：在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．6.布置作业教材P15练习第1，2题；教材P16复习题16.3第3，5，7，10题.板书设计二次根式的混合运算1.二次根式混合运算的顺序2.乘法公式在二次根式混合运算中的应用教学反思情境导入，小组讨论，利用以前的知识探究新知识，体会二次根式的运算与整式的整式运算的联系，有利于学生对知识的系统把握.教学中要以练习为主，让学生在实例中理解，并及时进行巩固练习和应用新知.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.第二十章勾股定理单元备课第20单元本单元所需课时数5课时课程要求探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.教材分析本章所研究的勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的.它是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础，在生产生活中用途很广．主要内容本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.主要包括两节：第20.1节“勾股定理及其应用”主要内容是对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及勾股定理的简单应用；第20.2节“勾股定理的逆定理”通过探索、证明得到了勾股定理的逆定理，并进行应用.教学目标1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.3.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感;通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的自信心.课时分配20.1勾股定理3课时20.2勾股定理的逆定理2课时教与学建议1.重视提高学生分析问题、解决问题的能力.2.围绕证明勾股定理培养学是数学学习的自信心.3.通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感.20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理课题勾股定理课型新授课教学内容教材第22-26页的内容教学目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.2.能用勾股定理进行简单的计算.教学重难点教学重点：探索并证明勾股定理.教学难点：勾股定理的探究和证明.教学过程复备栏创设情境，引入新课国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.如图所示是本届大会会徽的图案.（1）你见过这个图案吗?（2）它由哪些我们学习过的基本图形组成？（3）这个图案有什么特别的含义？师生活动：教师出示图片，引导学生发现图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形全等的关系，指出这个图案是由我国汉代的赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲.2.发现探究，学习新知【问题1】毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500多年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.(1)现在请你也观察一下地面的图案(右图)，你能找出图中正方形A，B，C的面积之间的关系吗?(2)正方形A，B，C所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系?师生活动：学生观察图片，分组交流讨论.学生通过直接数等腰直角三角形的个数或者用割补的方法可以得到正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积.教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出:等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.总结：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.【问题2】等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有类似的结论呢？师生活动：教师出示右图，进行追问.教师追问1：图中每个小方格的面积均为1，请你分别计算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积．A的面积B的面积C的面积4913A′的面积B′的面积C′的面积92534教师追问2：正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形的面积并完成填表．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认知水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积．学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积．或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积．学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：A的面积＋B的面积＝C的面积．A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．教师追问3：正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？师生活动：在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方．【问题3】通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？师生活动：师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.【问题4】以上这些直角三角形的边长都是具体的数值.一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c（右图），刚刚提出的猜想还正确吗？如何验证？师生活动：学生通过独立思考，用a，b表示c的面积.如图1，用“割”的方法可得c2=ab×4+(a-b)2；如图2，用“补”的方法可得c2=(b+a)2-ab×4.经过整理都可以得到a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【问题5】历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究，下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理.师生活动：教师展示图形，并介绍:这个图案是3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究.3.学以致用，应用新知考点1勾股定理的简单应用【例1】在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，则c＝；(2)已知c＝25，b＝15，则a＝；(3)已知c＝19，a＝13，则b＝；(结果保留根号)(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝．答案：5208eq\r(3)12【例2】图中所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，求图中最大正方形的面积.答案：584考点2勾股定理的验证【例3】你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流.解：S梯形＝（a+b）·（a+b）·＝（a2+b2+2ab）·，又S梯形＝ab+ab+c2=（2ab+c2），所以a2+b2＝c2.故直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.考点3利用勾股定理求两点间距离【例4】如图，在平面直角坐标系中，有两点的坐标分别为(2，0)和(0，3)，则这两点之间的距离是.答案：4.随堂训练，巩固新知5.课堂小结，自我完善(1)勾股定理;(2)勾股定理的证明方法.6.布置作业教材P25练习第1，2,3题；教材P30习题20.1第1，7，13,14题.板书设计勾股定理1.勾股定理2.勾股定理的验证教学反思整节课以“问题情境—分析探究—得出猜想—实践验证—总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变..本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.20.1勾股定理及其应用第2课时勾股定理的实际应用课题勾股定理的实际应用课型新授课教学内容教材第26页的内容教学目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想．2.会从实际问题中抽象出直角三角形模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去．教学重难点教学重点：运用勾股定理解决实际问题．教学难点：勾股定理的灵活运用．教学过程复备栏1.回顾旧知，引入新课【问题1】上节课我们学习了勾股定理，勾股定理的内容是什么？【问题2】公式a2+b2=c2的变形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.则(1)c＝eq\r(a2＋b2)；(2)a＝eq\r(c2－b2)；(3)b＝eq\r(c2－a2)．师生活动:教师提出问题，学生抢答，教师补充、完善，指出在直角三角形中，已知两边，求第三边，可应用勾股定理求解.2.思考探究，学习新知【问题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？教师追问1：木板横着能否通过？教师追问2：木板竖着能否通过？教师追问3：在长方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一条线段最长？师生活动：教师引导学生从实际的角度去考虑，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过：(1)木板的宽是2.2m，大于1m，所以横着不能通过；(2)木板的宽是2.2m，大于2m，所以竖着不能通过；(3)AC＞BC＞AB.小组讨论、交流、补充、展示.注意过程要书写规范：解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.AC＝eq\r(5)≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．总结:木板进门问题的解决需要综合考虑木板的长、宽和门的长、宽、对角线.【问题2】如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？师生活动：引导学生分析，利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即求BD的长，而BD=OD-OB，从而需要根据勾股定理先计算OD，OB的长度.解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，所以OB==1.在Rt△COD中，根据勾股定理，得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，所以OD=≈1.77，所以BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.总结：梯子靠在竖直的墙上，构成直角三角形，当梯子移动的时候又构成另一个直角三角形，利用勾股定理可以直接求线段长度.3.学以致用，应用新知考点1直接利用勾股定理求边长【例1】如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前的高度是 ()A.8mB.10mC.16mD.18m答案：C【例2】长方体盒内长、宽、高分别为3cm，2.4cm和1.8cm，盒内可放的棍子最长为cm.

答案：考点2利用勾股定理建立方程解决实际问题【例3】有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿长与门高.解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺.根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2，即x2+16=x2+2x+1，解得x=7.5.x+1=8.5.故门高为7.5尺，竹竿长为8.5尺.4.随堂训练，巩固新知（1）小刘将一架长2.5米的木梯斜靠在一面竖直的墙上，木梯的顶端与地面的距离为2.4米，则梯脚与墙脚的距离应为 ()A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米解析：由题意知，木梯、地面、墙刚好形成一个直角三角形，木梯为斜边，利用勾股定理求解即可.梯脚与墙脚的距离为=0.7(米).故选A.（2）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，感应门自动打开，则AD＝米．答案：1.5（3）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”其意思为今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)，如图.设门高AB为x尺.根据题意，可列方程为.

答案：(x-6.8)2+x2=1025.课堂小结，自我完善运用勾股定理解决实际应用问题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，谈谈你的收获与体会.6.布置作业教材P27练习第1，2,3题；教材P30-32习题20.1第2,5,9,10,题.板书设计勾股定理的实际应用1.木板进门问题2.梯子问题教学反思在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题.就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成.在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此外，还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.20.1勾股定理及其应用第3课时利用勾股定理作图、计算课题利用勾股定理作图、计算课型新授课教学内容教材第28-29页的内容教学目标1.了解利用勾股定理证明HL定理．2.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步感受数轴上的点与实数的一一对应关系．3.会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，进一步体会数形结合思想与转化思想．教学重难点教学重点：运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算．教学难点：理解实数与数轴的一一对应关系，在较复杂的图形中利用勾股定理进行计算．教学过程1.创设情境，引入新课数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示，，，，…的点吗？现在我们利用勾股定理来探究一下这个问题.2.发现探究，学习新知【问题1】在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证、证明.教师应引导学生关注画图的过程，思考哪些元素相等.已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，难以找到锐角对应相等，只能找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC=AB2-AC2，B'C'=证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，根据勾股定理，得BC=AB2-A又AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).【问题2】怎样在数轴上画出表示13的点?师生活动：教师帮助学生逐步分析.教师追问1：你能画出长度为2的线段吗?怎样画？3呢?5呢?师生活动：教材第28页的图20.1-11，学生们独立动手画图，先按照图20.1-11的方法画出长为2，3，4，5，…的线段，按照同样的方法在数轴上画出表示13的点.教师追问2：继续思考有没有其他方法呢?师生活动：教师帮助学生分析，将13写成两个正整数a，b的平方和的形式，即13=a2+b2，而13=4+9，令a2=4，b2=9，则a=2，b=3，所以长为13的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边.教师追问3：在数轴上怎样作出这个三角形呢？师生活动：教师指导学生画出图形，并在数轴上画出表示13的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3;(2)过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2;(3)连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点.总结:在数轴上表示无理数时，将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步，利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方，注意一般拆分的两条线段的长是正整数；第二步，以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步，以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.学以致用，应用新知考点1利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点【例1】在数轴上画出表示eq\r(17)的点(不写作法，但要保留画图痕迹).解：如图所示，点A即为所求．考点2勾股定理与网格【例2】如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，A，B都在格点上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交最上方的网格线于点D，则ED的长为 .答案：5考点3勾股定理与图形的计算【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，BD＝eq\r(BC2－CD2)＝6.设AC＝AB＝x，则AD＝x－6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝eq\f(25,3).∴AC＝eq\f(25,3).考点4利用勾股定理最短路径问题【例4】如图，有一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm.(1)请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？(2)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．解：(1)连接BD，∵AD＝12dm，AB＝4dm，∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(160＋32)＝13(dm).∵13dm>12.5dm，∴长为12.5dm的铁棒能放进去．(2)如图1所示，CD＝eq\r(（12＋4）2＋32)＝eq\r(265)(dm).如图2所示，CD＝eq\r(（3＋4）2＋122)＝eq\r(193)(dm).如图3所示，CD＝eq\r(（12＋3）2＋42)＝eq\r(241)(dm).∵eq\r(265)>eq\r(241)>eq\r(193)，∴爬行的最短路程是eq\r(193)dm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图3))4.随堂训练，巩固新知（1）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.eq\r(5)＋1B．eq\r(5)－1C．－eq\r(5)＋1D．－eq\r(5)－1答案：B（2）在数轴上作出表示-的点.解：∵＝=，∴是以3，1为直角边的直角三角形斜边的长.如下图：（3）在长方形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．答案：eq\f(29,5)cm.（4）如图，有一个圆柱，高为15cm，底面半径为8πcm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，求爬行的最短路程答案：17cm.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.怎样数轴上表示一个无理数？6.布置作业教材P29练习1-3；教材P30习题20.1第3，4，6，8，11，12题.板书设计利用勾股定理作图、计算1.利用勾股定理证明HL定理2.在数轴上画出表示无理数的点教学反思授课过程中应找到各个环节之间的衔接点，使之过渡自然流畅.在教学过程中，学生接触的新题型较多，大多有一定难度，应精选典型题目，同时有效发挥学生的主体作用，引导学生积极参与，达到较好的学习效果.20.2勾股定理的逆定理及其应用课题勾股定理的逆定理及其应用课型新授课教学内容教材第34-37页的内容教学目标1.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程．2.会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用．3.会认识并判别勾股数．4.利用勾股定理的逆定理解决问题.教学重难点教学重点：勾股定理的逆定理及其应用．教学难点：勾股定理的逆定理的证明．教学过程1.创设情境，引入新课【问题1】前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗?师生活动:师生共同回忆勾股定理，请同学指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系.教师追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.反过来，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我们一起来研究这个问题.【问题2】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗？师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论．2.发现探究，学习新知【实验操作】(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:cm）画出三角形:①2.5，6，6.5;②6，8，10.（2）量一量:用量角器测量上述各三角形的最大角的度数.（3）想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想.师生活动：教师指导学生按要求画出三角形，并计算三边的数量关系，如2.52＋62=6.52，62+82=102.接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°.在此基础上用《几何画板》软件展示具有a2+b2=c2的三条线段(长度可变，数量关系不变)，并以这三条线段为边作三角形，通过度量发现在最大角都为90，并提出猜想，得到命题2:如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【问题3】命题1和命题2有怎样的联系？教师追问：如何证明命题2？师生活动：学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过多媒体资源（或板书）显示图形、已知及求证.已知:如图，△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.求证:△ABC是直角三角形.【问题4】要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°.由命题的已知条件，能直接证明吗?教师追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办?师生活动:教师启发，如果能证明△ABC与一个以a，b为直角边长的Rt△A'BC'全等，那么就证明了△ABC是直角三角形.为此，我们可以先构造Rt△A'B'C'.如图，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(B′C′＝BC＝a，,A′C′＝AC＝b，,A′B′＝AB＝c，))∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.这个定理称为勾股定理的逆定理．3.学以致用，应用新知考点1利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．师生活动：学生说出问题(1)的判断思路，教师板书详细解答过程，部分学生板演问题(2).教师纠正学生出现的问题，最后介绍勾股数的概念.在活动中教师应重点关注:(1)学生的解题过程是否规范.(2)是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较.(3)是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个条件:①以三个数为边长的三角形是直角三角形;②三个数必须是正整数.考点2勾股定理逆定理的实际应用【例2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，