双曲线及其性质

10.2双曲线及其性质高考文数

(课标Ⅱ专用)考点一双曲线的定义与标准方程(2015课标Ⅱ,15,5分,0.383)已知双曲线过点(4,

),且渐近线方程为y=±

x,则该双曲线的标准方程为

.答案

-y2=1五年高考A组统一命题·课标卷题组解析根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,

),所以42-4×(

)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为

-y2=1.考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国Ⅱ,6,5分)双曲线

-

=1(a>0,b>0)的离心率为

,则其渐近线方程为

(

)A.y=±

x

B.y=±

x

C.y=±

x

D.y=±

x答案

A本题主要考查双曲线的几何性质.∵

=

=

=

,∴双曲线的渐近线方程为y=±

x.故选A.2.(2018课标全国Ⅲ,10,5分)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的离心率为

,则点(4,0)到C的渐近线的距离为

()A.

B.2

C.

D.2

答案

D本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式.∵e=

=

=

,且a>0,b>0,∴

=1,∴C的渐近线方程为y=±x,∴点(4,0)到C的渐近线的距离为

=2

.3.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)已知F是双曲线C:x2-

=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为

()A.

B.

C.

D.

答案

D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.

∵PF⊥x轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=

×3×1=

.故选D.4.(2014课标Ⅰ,4,5分,0.786)已知双曲线

-

=1(a>0)的离心率为2,则a=

()A.2

B.

C.

D.1答案

D由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此

=

=4,又a>0,所以a=1,故选D.5.(2017课标全国Ⅱ,5,5分)若a>1,则双曲线

-y2=1的离心率的取值范围是

()A.(

,+∞)

B.(

,2)

C.(1,

)

D.(1,2)答案

C本题考查双曲线的离心率,简单不等式的求解.由题意知e2=

=

=1+

,因为a>1,所以1<1+

<2,则1<e<

,故选C.方法总结处理离心率问题,总离不开a,b,c三者之间的关系,在双曲线问题中常利用e2=

=1+

求离心率.6.(2014大纲全国,11,5分)双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为

,则C的焦距等于

()A.2

B.2

C.4

D.4

答案

C由已知得e=

=2,所以a=

c,故b=

=

c,从而双曲线的渐近线方程为y=±

x=±

x,由焦点到渐近线的距离为

得

=

,解得c=2,故2c=4,故选C.7.(2017课标全国Ⅲ,14,5分)双曲线

-

=1(a>0)的一条渐近线方程为y=

x,则a=

.答案5解析由题意可得

=

,所以a=5.考点一双曲线的定义与标准方程1.(2018天津,7,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲

线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1

C.

-

=1

D.

-

=1B组自主命题·省（区、市）卷题组答案

A本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.∵双曲线

-

=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e2=1+

=4,∴

=3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2,不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a),∵

=3,∴渐近线方程为y=±

x,则点A与点B到直线

x-y=0的距离分别为d1=

=

a,d2=

=

a,又∵d1+d2=6,∴

a+

a=6,解得a=

,∴b2=9.∴双曲线的方程为

-

=1,故选A.方法归纳求双曲线标准方程的方法:(1)定义法:根据题目条件求出a,b的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条

件构造关于参数a,b的方程(组),解出a,b的值,即可求得方程.2.(2015安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是

()A.x2-

=1

B.

-y2=1

C.x2-

=1

D.

-y2=1答案

A

A选项中,渐近线方程为x2-

=0,即y=±2x.故选A.3.(2017天津,5,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1

C.

-y2=1

D.x2-

=1答案

D本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程.不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,

),所以

=

,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-

=1,故选D.方法总结求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造

关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系

式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.4.(2015天津,5,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1

C.

-y2=1

D.x2-

=1答案

D由题意知,双曲线的渐近线方程为y=±

x,即bx±ay=0,因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以

=

,由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|=

,所以b2=3,所以a2=1,故双曲线的方程为x2-

=1,故选D.5.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线

-

=1的焦距是

.答案2

解析由

-

=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=

,所以2c=2

.6.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-

=1(b>0)的一个焦点,则b=

.答案

解析由双曲线方程x2-

=1可得c2=1+b2,由题意可知c=2,故b2=3,而b>0,所以b=

.7.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-

=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是

.答案(2

,8)解析△PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图).

当P在P1点处时,∠F1P1F2=90°,

=

|F1F2|·|

|=

|P1F1|·|P1F2|.由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,得|P1F1|·|P1F2|=6,此时|PF1|+|PF2|=2

.当P在P2点处时,∠P2F2F1=90°,∴

=2,易知

=3,此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,∴当△PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|∈(2

,8).评析找到点P的两个特殊位置是解决本题的关键.考点二双曲线的几何性质1.(2018浙江,2,4分)双曲线

-y2=1的焦点坐标是

()A.(-

,0),(

,0)

B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-

),(0,

)

D.(0,-2),(0,2)答案

B本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.∵a2=3,b2=1,∴c=

=2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).易错警示求双曲线焦点坐标的易错点(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.2.(2015湖南,6,5分)若双曲线

-

=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D双曲线

-

=1的两条渐近线方程为y=±

x,则点(3,-4)在直线y=-

x上,即-4=-

,所以4a=3b,即

=

,所以e=

=

.故选D.3.(2015四川,7,5分)过双曲线x2-

=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=

()A.

B.2

C.6

D.4

答案

D由x2-

=1得c=

=

=2,渐近线方程为y=±

x.不妨令点A在x轴上方,由题意可得A(2,2

),B(2,-2

),∴|AB|=4

,故选D.4.(2015重庆,9,5分)设双曲线

-

=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为

()A.±

B.±

C.±1

D.±

答案

C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐

标分别为

,

,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),

所以

=

,

=

,因为A1B⊥A2C,所以

·

=0,即(c+a)(c-a)-

·

=0,即c2-a2-

=0,所以b2-

=0,故

=1,即

=1,又双曲线的渐近线的斜率为±

,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.5.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线

-

=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为

c,则其离心率的值是

.答案2解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为

=

c,∴b=

c,∴b2=

c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e=

=2.6.(2018北京,12,5分)若双曲线

-

=1(a>0)的离心率为

,则a=

.答案4解析本题主要考查双曲线的标准方程和性质.由题意知c=

,∴e=

=

=

,又a>0,∴a=4.方法总结求双曲线的离心率的常用方法:(1)求得a,c的值,直接代入e=

求解.(2)列出关于a,b,c的齐次方程,然后根据c2=a2+b2消去b,从而转化为关于e的方程,进而求解.7.(2017北京,10,5分)若双曲线x2-

=1的离心率为

,则实数m=

.答案2解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.∵e=

=

=

=

,∴m=2.8.(2016山东,14,5分)已知双曲线E:

-

=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是

.答案2解析由已知得|AB|=|CD|=

,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以

=6c,2b2=3ac,

=3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-

(舍去).评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|建立关于离心率e的方程是求解关键.考点一双曲线的定义与标准方程1.(2014天津,6,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1C组教师专用题组答案

A由题意知,双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,所以

=2,即b2=4a2,又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点,所以该焦点的坐标为(-5,0),所以c=5,即a2+b2=25,联立得

解得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为

-

=1,故选A.2.(2014广东,8,5分)若实数k满足0<k<5,则曲线

-

=1与曲线

-

=1的

()A.实半轴长相等

B.虚半轴长相等C.离心率相等

D.焦距相等答案

D若0<k<5,则5-k>0,16-k>0,故方程

-

=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为

,焦距2c=2

,离心率e=

;方程

-

=1表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为

,虚半轴的长为

,焦距2c=2

,离心率e=

.可知两曲线的焦距相等.故选D.评析本题考查双曲线的标准方程及几何性质,考查学生运用基本知识求解及计算的能力.利

用k的范围判断出曲线类型是解题关键.3.(2014北京,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(-

,0),(

,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为

.答案

x2-y2=1解析由双曲线的焦点坐标知c=

,且焦点在x轴上,由顶点坐标知a=1,由c2=a2+b2得b2=1.所以双曲线C的方程为x2-y2=1.评析本题考查双曲线的标准方程、几何性质,考查学生的运算求解能力.考点二双曲线的几何性质1.(2013课标Ⅰ,4,5分,0.809)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的离心率为

,则C的渐近线方程为

()A.y=±

x

B.y=±

xC.y=±

x

D.y=±x答案

C由双曲线的离心率e=

=

可知,

=

,而双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±

x,故选C.2.(2014湖北,8,5分)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两

点的直线与双曲线

-

=1的公共点的个数为

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

A由题意知a≠b,∴直线AB的方程为:y-a2=

(x-a),即y=(b+a)x-ab.又∵a,b是方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,∴a+b=-

,ab=0,∴y=-

x,又y=-

x是双曲线

-

=1的一条渐近线,∴所求的公共点的个数为0,故选A.评析

本题考查一元二次方程的根、直线与双曲线的位置关系,得出直线AB是双曲线的一条

渐近线是解决本题的关键.3.(2012课标全国,10,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交

于A,B两点,|AB|=4

,则C的实轴长为

()A.

B.2

C.4

D.8答案

C如图,由题意可得A(-4,2

).设双曲线方程为x2-y2=a2(a>0),∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.

4.(2016北京,12,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(

,0),则a=

;b=

.答案1;2解析由题可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=±

x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,∴

=2,即b=2a.又∵该双曲线的一个焦点为(

,0),∴c=

.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.思路分析利用所给条件得c=

,b=2a,a2+b2=c2,然后解方程即可.评析本题考查双曲线的标准方程、渐近线和焦点的相关知识,属中档题.5.(2014山东,15,5分)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为

.答案

x±y=0解析

c2=a2+b2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知,双曲线过点

,即

-

=1.②由|FA|=c,得c2=a2+

,③由①③得p2=4b2.④将④代入②,得

=2.∴

=2,即

=1,故双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.评析本题考查抛物线、双曲线的标准方程及几何意义,考查学生的运算求解能力.6.(2015山东,15,5分)过双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为

.答案2+

解析如图,F1,F2为双曲线C的左,右焦点,将点P的横坐标2a代入

-

=1中,得y2=3b2,不妨令点P的坐标为(2a,-

b),此时

=

=

,得到c=(2+

)a,即双曲线C的离心率e=

=2+

.

考点一双曲线的定义与标准方程1.(2017吉林长春二模)双曲线C的渐近线方程为y=±

x,一个焦点为F(0,-

),点A(

,0),点P为双曲线上第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为

()A.8

B.10

C.4+3

D.3+3

三年模拟A组2016—2018年高考模拟·基础题组答案

B由已知得双曲线方程为

-

=1,设双曲线的上焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3,因为P点在第一象限,所以|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3,

故△PAF的周长的最小值为10.故选B.2.(2018海南二模)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)过点(

,

),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是

()A.

-y2=1

B.

-

=1C.x2-

=1

D.

-

=1答案

C由双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)过点(

,

),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得

解得

∴双曲线C的标准方程是x2-

=1.故选C.3.(2018陕西西安八校第一次联考)P是双曲线

-

=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=6,则|PF2|=

()A.9

B.2

C.10

D.2或10答案

D∵双曲线的方程为

-

=1,∴b2=9,即b=3.又∵双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,∴

=

,即a=2,∴||PF1|-|PF2||=4,∵|PF1|=6,∴|6-|PF2||=4,即|PF2|=2或10.故选D.4.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左,右顶点,点M在双曲线右支上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为

()A.x2-

=1

B.x2-y2=1C.x2-

=1

D.x2-

=1答案

B如图,由点M在双曲线右支上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠

ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.

在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=

a,即M(2a,

a),代入双曲线方程得4-

=1,即b2=a2.∵点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左,右顶点,∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1,故选B.答案

B如图,由点M在双曲线右支上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠

ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.

在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=

a,即M(2a,

a),代入双曲线方程得4-

=1,即b2=a2.∵点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左,右顶点,∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1,故选B.5.(2017辽宁葫芦岛二模(5月))已知双曲线过点(2,3),其一条渐近线方程为y=

x,则双曲线的标准方程是

()A.

-

=1

B.

-

=1C.x2-

=1

D.

-

=1答案

C因为双曲线的一条渐近线方程为y=

x,所以可以设双曲线方程为

-x2=λ(λ≠0),又双曲线过点(2,3),所以

-22=λ,解得λ=-1,则双曲线的标准方程为x2-

=1,故选C.6.(2017重庆一中5月月考)已知A(-2,0),B(2,0),若在斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满足:

|MA|-|MB|=2

,|NA|-|NB|=2

,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为

()A.-2

B.-

C.

D.2答案

D根据条件可知点M,N在以A,B为焦点的双曲线上,且2c=4,2a=2

,那么双曲线方程是

-y2=1,设M(x1,y1),N(x2,y2),则

两式相减得

-(y1+y2)(y1-y2)=0,易知x1≠x2,两边同时除以x1-x2,可得

-2k=0,解得k=2,故选D.考点二双曲线的几何性质1.(2018重庆九校联盟第一次联考)双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,且交y轴于B,若A为BF的中点,则双曲线的离心率为()A.

B.

C.2

D.

答案

A由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为

,故双曲线C的离心率e=

=

,故选A.2.(2018海南第二次联考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则C的离心率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B双曲线C的渐近线方程为by±ax=0,结合图形易知与圆相切的只可能是by-ax=0,则

=1,得3a=4b,所以9a2=16b2=16(c2-a2),则e2=

,故e=

.故选B.3.(2018内蒙古呼和浩特第一次质量普查)已知F2、F1是双曲线

-

=1(a>0,b>0)的上、下两个焦点,过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的

渐近线方程为

()A.y=±

x

B.y=±

xC.y=±

x

D.y=±

x答案

D根据双曲线的定义,可得|BF1|-|BF2|=2a,∵△ABF2为等边三角形,∴|BF2|=|AB|,∴|BF1|-

|AB|=|AF1|=2a,又∵|AF2|-|AF1|=2a,∴|AF2|=|AF1|+2a=4a,∵在△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,∠F1AF

2=120°,

=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×

=28a2,亦即c2=7a2,则b=

=

=

a,由此可得双曲线C的渐近线方程为y=±

x.故选D.4.(2017吉林第三次调研)已知点F(2,0)是双曲线3x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则此双曲线的离

心率为

()A.

B.

C.2

D.4答案

C将双曲线3x2-my2=3m(m>0)化为标准方程可得

-

=1,故c2=m+3,即m+3=4,得m=1,故双曲线的离心率为e=

=2,故选C.5.(2017辽宁凌源二中等三校联考)已知双曲线C:

-

=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则双曲线C的渐近线方程为

()A.4x±3y=12

B.4x±

y=0C.16x±9y=0

D.4x±3y=0答案

D由题得c=5,则a2=c2-16=9,即a=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±

x,即4x±3y=0,故选D.6.(2017新疆乌鲁木齐三模)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线上,且AF2⊥x轴,若△AF1F2的内切圆半径为(

-1)a,则双曲线离心率为

()A.

B.2

C.

+1

D.2

答案

A∵|AF1|-|AF2|=2a,∴Rt△AF1F2的内切圆半径为

=

=c-a,故c-a=(

-1)a⇒c=

a,∴离心率e=

,故选A.7.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)双曲线

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上一点,且 · =0,若∠PF1F2∈

,则双曲线离心率的取值范围是

(

)A.[2,

+1]

B.[2,2

+1]C.[

,2]

D.[

,

+1]答案

D由题设知∠F1PF2=90°,设∠PF1F2=θ,则|PF1|=2ccosθ,|PF2|=2csinθ,由双曲线的定义

可得2ccosθ-2csinθ=2a,即

=

,由于θ∈

,所以2θ∈

,sin2θ∈

,此时

=

∈

=

,所以e∈[

,

+1],故选D.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:30分钟分值:50分)一、选择题(每题5分,共40分)1.(2018陕西咸阳二模)双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x-y+1=0平行,则它的离心率为

()A.2

B.3

C.

D.

答案

C双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±

x.因为一条渐近线与直线x-y+1=0平行,所以

=1.则它的离心率e=

=

=

=

.故选C.2.(2018宁夏银川4月质量检测)已知F1,F2分别为双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左,右焦点,P是抛物线y

2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为

()A.x=-4

B.x=-3

C.x=-2

D.x=-1答案

C由题得双曲线的方程为

-

=1,所以c2=a2+3a2=4a2,所以c=2a.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得

所以|PF2|=6-a.联立双曲线的方程和抛物线的方程得3x2-8ax-3a2=0,所以x=-

(舍)或x=3a.由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2,故选C.3.(2018新疆乌鲁木齐地区二诊)过等轴双曲线的焦点F作它的一条渐近线的平行线分别交另

一条渐近线以及双曲线于M,N两点,则

()A.|FN|=|NM|B.|FN|>|NM|C.|FN|<|NM|D.|FN|,|NM|的大小关系不确定答案

A不妨设双曲线方程为x2-y2=a2,焦点F(c,0),则过点F且平行于渐近线x+y=0的直线的

方程为y=-x+c.由

可得yM=

.由

可得yN=

.又a2+b2=c2且a=b,∴yN=

=

=

yM,∴点N是线段FM的中点,故|FN|=|NM|,故选A.4.(2017辽宁沈阳东北育才学校八模)已知双曲线与椭圆

+

=1的焦点相同,且它们的离心率的乘积等于

,则此双曲线的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1答案

B由题意设双曲线方程为

-

=1(b>0,a>0),由已知可得c=4,

×

=

⇒a=2,∴b2=12,∴双曲线的方程为

-

=1,选B.5.(2017甘肃兰州一中冲刺模拟)M为双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)右支上一点,A、F分别为双曲线的左顶点和右焦点,且△MAF为等边三角形,则双曲线C的离心率为

()A.4

B.2

C.

-1

D.6答案

A由题意知A(-a,0),F(c,0),M

,将M点坐标代入双曲线方程并化简