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第2课时角平分线的应用北师大版八年级下册

现在要在京周公路，良乡西路和西潞北大街的中间修一个货站，要求到这三条路的距离相等，请你找一下建货站的地址。ABCP作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，P即为建货站的位置获取新知1.已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．三角形的三条角平分线相交于一点2.如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF.由上题的证明可知：PD=PE=PF.

三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等。归纳结论

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。1、直接应用定理求线段的长度：

已知：OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB

的距离为_____5AOEBPC2、直接应用定理求角的度数

已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°，∠B=40°，AD平分

∠CAB交BC于D点，DE⊥AB于E，则∠CAD=________25°3、角平分线与四边形组合已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD

∴CE＝CF，AE＝AF

（角平分线性质），∠CEB＝∠CFD＝90°

∵∠B+∠ADC＝180°,∠CDF+∠ADC＝180°

∴∠B＝∠CDF

∴△CBE≌△CDF

（AAS）

∴DF＝BE

∵AF＝AD+DF

∴AF＝AD+BE

∴AE＝AD+BE

EABCDF4、以角平分线为轴，构造全等三角形，证线段之差不等已知：如图，点P是∠BAC平分线上一点，P与A

不重合，AC﹥AB.求证：PC-PB﹤AC-AB证明：作PB′=PB，与AC交于点B′，易证△APB′≌△APB∴AC-AB=AC-AB′在△PB′C中，PC-PB′＜B′C=AC-AB′∴PC-

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