天津天慈中学 高二数学理上学期摸底试题含解析

天津天慈中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个(

)A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形参考答案：A【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题；转化思想．【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()

A．－12

B．－6

C．6

D．12参考答案：D略3.将十进制下的数72转化为八进制下的数（）A．011 B．101 C．110 D．111参考答案：C【考点】进位制．【分析】根据十进制转化为八进制的方法，把十进制数除8取余转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：72÷8=9…09÷8=1…11÷8=0…1∴72化成8进制是110（8），故选：C．4.不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.在1、2、3、4共四个数中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略6.不等式组表示的平面区域的面积为

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C7.已知集合A={1，2，3}，B={1，2，4}，则A∩B等于（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{1，2} D．{1，2，3，4}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∩B={1，2}．故选：C．8.对于实数和，定义运算，运算原理如右图所示，则式子的值为（

）A．8

B．10 C．12

D．参考答案：C略9.参数方程（为参数）表示的曲线是（

）

A．一条射线

B．一条直线

C．两条直线

D．两条射线参考答案：D10.口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，则n的值为()A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合A={0,2}，B={－1,2,4}，则A∪B=

．参考答案：{－1,0,2,4}由并集的运算可得：.

12.已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式是__________．参考答案：【分析】根据所给的图象,得到三角函数的振幅,根据函数的图象过点的坐标，代入解析式求出φ，ω,得到函数的解析式【详解】根据图象可以看出A＝2，图像过（0,1）∴2sinφ=1,故φ∵函数的图象过点（，0）所以=2k,k∈Z,故,k∈Z由题即故当k=-1,∴函数的解析式是．故答案为【点睛】本题考查三角函数的解析式,三角函数基本性质，熟记五点作图法是解题关键，是中档题．13.若复数,则

=__________参考答案：分析：先化简复数z,再求，再求

的值.详解：由题得，所以故答案为：.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)复数的共轭复数.14.曲线在点(1,0)处的切线方程为__________．参考答案：【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.15.设，则

参考答案：略16.已知样本数据3，2，1，a的平均数为2，则样本的标准差是．参考答案：【考点】极差、方差与标准差．【分析】先根据平均值求得a，再利用方差、标准差的定义，求得样本的标准差．【解答】解：样本数据3，2，1，a的平均数为2=，∴a=2，样本的方差S2=[1+0+1+0]=，∴标准差为，故答案为：．17.在直角三角形ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆经过A、B点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为_________。

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若的最大值为0,求实数a的取值范围.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】(1)本题首先可通过函数的解析式写出函数的导函数，然后可以根据函数方程的根的数目以及大小进行分类讨论，分为、、、四个区域，即可得出结果；(2)本题首先可以根据函数的解析式写出函数的解析式并写出函数的导函数，然后利用导函数性质判断函数的单调性，即可得出结果。【详解】(1)，，方程的，当时方程有两根、，①当时，无解或者仅有一解，在上单调递减；②当时，有两解，在上单调递减,在上单调递增；③当时,在上单调递减,在上单调递增；④当时,在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时,在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；当时,在上单调递减，在上单调递增。(2)，，①当时，，为增函数，无最大值；②当时，在上为减函数，在上为增函数，无最大值；③当时，在上为减函数，有最大值，满足题意，综上所述，。【点睛】本题考查导函数的相关性质，主要考查利用导函数求函数单调性以及最值，考查导函数与二次函数性质的综合运用，考查推理能力，是难题。19.已知函数是定义域为[－1,1]上的奇函数，且(1）求f(x)的解析式.(2)用定义证明：f(x)在[－1,1]上是增函数.（3）若实数t满足，求实数t的范围.参考答案：(1)；(2)见证明；(3).【分析】(1)首先根据函数是定义域在上的奇函数可计算出的值，然后根据可计算出的值，即可得出结果；(2)可根据增函数的定义，通过设并计算的值得出结果；(3)可通过奇函数的相关性质将转化为，然后列出算式即可得出结果。【详解】(1)因为函数是定义域在上的奇函数,所以，，因为，所以，。(2)在任取，设，即，则，因为，所以，，即当时，，在是增函数。(3)由题意可知，所以，即，解得。【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查奇函数的相关性质以及增函数的证明，奇函数有，可以通过增函数的定义来证明函数是增函数，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题。20.（本小题满分14分）已知圆锥曲线是参数）和定点，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点。（1）求经过点F2且垂直于直线AF1的直线的参数方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程。参考答案：解：（1）圆锥曲线化为普通方程，所以F1（-1，0），F2（1，0），则直线AF1的斜率，……………3分于是经过点F2垂直于直线AF1的直线的斜率，直线的倾斜角是120°，所以直线的参数方程是（t为参数），即（t为参数）．………7分

（2）直线AF2的斜率，倾斜角是150°，设是直线AF2上任一点，

则，，………………12分所以直线AF2的极坐标方程：

………14分略21.(本小题满分14分)已知，i是虚数单位.(1)若z为纯虚数，求a的值；(2)若复数z在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1），………………2分因为为纯虚数，所以，且，解得或；……6分（2）在复平面上对应的点在第四象限，当且仅当：，

…………10分解得：，…………13分所以的取值范围是.…………14分

22.已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，F是PD的中点，E是线段AB上的点．（1）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC．（2）当AE：BE=2：1时，求二面角E﹣PC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PC中点G，连结FG，EG，推导出四边形AEGF是平行四边形，从而AF∥EG，由此能证明AF∥平面PEC．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取PC中点G，连结FG，EG，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，F是PD的中点，E是线段AB的中点，∴FGDC，AEDC，∴FGAE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，∵EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC．

解：（2）以A为原点，AB为x