浙江省宁波市余姚中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

浙江省宁波市余姚中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线(，)中，为右焦点，为左顶点，点且，则此双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：D2.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为（）A． B．r C．r D．r参考答案：D【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；扇形面积公式．【分析】假设梯形的上底长，将高用上底表示，从而表示出面积，利用导数求函数的最值．【解答】解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，∵h=，∴S=（r+x）?，S′=，令S′=0，得x=，（x=﹣r舍），则h=r．当x∈（0，）时，S′＞0；当x∈（，r）时，S′＜0．∴当x=时，S取极大值．∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．故选：D3.设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（） A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2x，|F1F2|=x， 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=x， ∴C的离心率为：e==． 故选D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题． 4.直线l1与l2方程分别为y=x，2x﹣y﹣3=0．则两直线交点坐标为(

)A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（3，3）参考答案：D【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】把两直线方程联立方程组，这个方程组的解就是两直线的交点坐标．【解答】解：∵直线l1与l2方程分别为y=x，2x﹣y﹣3=0，解方程组，得x=3，y=3，∴两直线交点坐标为（3，3）．故选：D．【点评】本题考查两直线的交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二元一次方程组的性质的合理运用．5.曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；I2：直线的倾斜角．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线的斜率，进而利用斜率和倾斜角之间的关系求切线的倾斜角．【解答】解：因为f（x）=，所以，所以函数在点（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=﹣1，由k=tanα=﹣1，解得，即切线的倾斜角为．故选D．6.已知实数a、b满足“a＞b”，则下列不等式中正确的是

（

）A．|a|＞|b|

B．a3＞b3

C．a2＞b2

D．＞1参考答案：B7.若＋(1＋i)2＝a＋bi(a，b∈R)，则a+b＝

（

）

A.2

B.－2

C.2＋2

D.2－2参考答案：C8.双曲线x2﹣4y2=1的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线化为标准方程，结合双曲线离心率的定义进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1，则焦点在x轴上，且a=1，b2=，则c2=a2+b2=1+=，即c==，则离心率e==，故选：C9.若变量满足约束条件，则的最大值为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B考点：简单的线性规划问题．10.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）A．144种 B．150种 C．196种 D．256种参考答案：B【考点】分类加法计数原理．【分析】由题设条件知，可以把学生分成两类：311，221，所以共有种报考方法．【解答】解，把学生分成两类：311，221，根据分组公式共有=150种报考方法，故选B．【点评】本题考查分类加法计数原理，解题时要认真审题，注意平均分组和不平均分组的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、、是函数的三个极值点,且,有下列四个关于函数的结论:①；②；③；④恒成立,其中正确的序号为

．参考答案：②③④12.已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=． 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】压轴题． 【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=t，b=t，设直线AB方程为x=sy+t，由此可知． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵=3，∴y1=﹣3y2， ∵e=，设a=2t，c=t，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 设直线AB方程为x=sy+t， 代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0， ∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，﹣2y2=﹣，﹣3=﹣， 解得s2=，k=． 故答案：． 【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 13.函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取得极值，则a的值为．参考答案：略14.等比数列{an}中，a1+a3=5，a2+a4=4，则a4+a6=．参考答案：【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得公比的值，而a4+a6=（a2+a4）?q2，计算即可．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a2+a4=（a1+a3）?q=4，解得q=，故a4+a6=（a2+a4）?q2=4×（）2=故答案为：【点评】本题考查等比数列的通项公式，整体代入是解决问题的关键，属基础题．15.已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是．参考答案：[0，）【考点】函数的值域；分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x≥1时，f（x）=2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）=（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）=的值域为R，∴1﹣2ax+3a必须到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．16.恒大足球队主力阵容、替补阵容各有名编号为的球员进行足球点球练习，每人点球次，射中的次数如下表：队员￥编号1号2号3号4号主力4534替补5425

则以上两组数据的方差中较小的方差

．参考答案：17.若对任意的自然数n,,则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如右图所示,已知直四棱柱的底面是菱形，且，为的中点，为线段的中点。(1)求证：直线平面

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2)求证：直线平面

(3)求平面与平面所成二面角的大小。

参考答案：解法一:（1）设AC与BD交于点O，因为点M、F分别为、的中点，所以，又，————3分（2）因为底面为菱形且，所以四边形与全等，又点F为中点，所以，在等腰△中，因为，所以，可得，所以（线面垂直判定定理）————7分（3）延长，连接AQ，则AQ为平面与平面ABCD的交线.所以FB为△的中位线,则QB=BC,设底面菱形边长为a,可得AB=QB=a,又

所以

那么△ABQ为等边三角形.取AQ中点N,连接BN、FN，则为所求二面角的平面角或其补角.在△FNB中,

————11分

即平面与平面ABCD所成二面角的平面角或—12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解法二:设，因为分别为的中点，∴∥又由直四棱柱知，∴在棱形ABCD中，，∴OB、OC、OM两两垂直，故可以O为原点，OB、OC、OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示。————2分若设，则B，，，，

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)由F、M分别为中点可知,M(0，0，1)∴(1，0，0)＝，又因为MF和OB不共线，∴∥OB又因为,OB平面ABCD，∴MF∥平面ABCD————5分(2)，而（1，0，0）为平面yOz（亦即平面）的法向量∴直线MF⊥平面————8分(3)为平面ABCD的法向量，设为平面的一个法向量，则，由，，得：令y=1，得z=，此时设平面与平面ABCD所成二面角的大小为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

则所以或，即平面与平面ABCD所成二面角的大小为或————12分19.（本小题满分12分）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和。参考答案：(1)设数列的公差为，由和成等比数列，得，

解得，或，当时，，与成等比数列矛盾，舍去.，即数列的通项公式(2)=，20.在平面中，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.（Ⅰ）在区域中任取一个点，若所取的点落在区域中，称试验成功，求实验成功的概率；（Ⅱ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域中任取1个“整点”，求这些“整点”恰好落在区域中的概率.参考答案：解：（1）..……6分;

（几何概型）（2）.……12.

（古典概型）（请酌情