四川省甘孜市康北民族高级中学2022年高二数学理联考试题含解析

四川省甘孜市康北民族高级中学2022年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞0”的否命题是（）A．若x2﹣3x+2＜0，则x≥2 B．若x≤2，则x2﹣3x+2≤0C．若x2﹣3x+2＜0，则x≥2 D．若x2﹣3x+2≤0，则x≤2参考答案：B【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞0”的否命题是“若x≤2，则x2﹣3x+2≤0”，故选：B2.函数的单调增区间为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当r=1，2时，符合题意，排除B，A，C，即可得出结论．【解答】解：由题意，r=1时，直线过原点，方程x=0，与x轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除B．r=2时，直线过原点，方程y=0，与y轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除A，C．故选D．4.某校从高中1200名学生中抽取50名学生进行问卷调查，如果采用系统抽样的方法，将这1200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有15，则下列号码中被抽取到的还有（）A.255 B.125 C.75 D.35参考答案：A分析】根据系统抽样定义求出样本间隔，然后进行计算即可．【详解】根据系统抽样得样本间隔为，已知被抽取到的号码有15，则其他抽取的号码为，则当时，号码为.故选：A．【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．5.已知，,=3，则与的夹角是 (

)

A．150

B．120

C．60

D．30参考答案：B6.下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的必要不充分条件．C．命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定为：“?x∈R，x2+x﹣1≥0”．D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题．参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由复合命题的真假判断判断A；求解一元二次方程结合充分必要条件的判定方法判断B；写出特称命题的否定判断C；在△ABC中，A=B?a=b?sinA=sinB判断D．【解答】解：若p∨q为真命题，说明p、q中至少有一个为真命题，但p∧q不一定为真命题，故A错误；由x2﹣4x﹣5=0，得x=﹣1或x=5，则“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件，故B错误；命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定为：“?x∈R，x2+x﹣1≥0”，故C错误；若A=B，则sinA=sinB”的否命题为：若A≠B，则sinA≠sinB”，∵在△ABC中，A=B?a=b?sinA=sinB，故D正确．故选：D．7.设x、y满足约束条件，则的最大值为（

）A．6

B．12

C．16

D．18参考答案：D8.国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知随机变量服从二项分布，即~B(n,p)且E=24，D=18，则n、p的值为（

）

A．92，

B．94，

C．96，

D.96，参考答案：D略10.正四面体的各条棱比为，点在棱上移动，点在棱上移动，则点和点的最短距离是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调递增区间为____▲______．参考答案：（-1,0）略12.已知数列{an}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{an}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为．参考答案：4考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据题意，写出命题p与它的逆命题，否命题和逆否命题，再判定它们是否为真命题．解答：解：原命题p：“在等比数列{an}中，若公比q＞1，则数列{an}是递增数列”，例如，当数列为，﹣2，﹣4，﹣8，…，q=2，但是数列为递减数列，故原命题为假命题；逆命题是：“在等比数列{an}中，若数列{an}递增数列”，则“公比q＞1”，例如，当数列为，﹣1，﹣，﹣，…，q=，但是数列为递增数列，是假命题；否命题是：“在等比数列{an}中，若公比q≤1，则数列{an}不是递增数列，是假命题；逆否命题是：“在等比数列{an}中，若数列{an}不是递增数列”，则“公比q≤1”，是假命题；综上，命题p及其逆命题，否命题和逆否命题中，假命题有4个．故答案为：4点评：本题考查了四种命题的关系以及命题真假的判定问题，解题时应弄清楚四种命题的关系是什么，根据递增数列的定义判断命题的真假，是基础题13.设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为

。参考答案：1014.已知一个关于的二元线性方程组的增广矩阵是，则=_____。参考答案：6略15.已知偶函数在区间[－1,0]上单调递增，且满，给出下列判断：①；②f(x)在[0,2]上是减函数；③f(x)的图象关于直线对称；④函数f(x)在处取得最大值；⑤函数没有最小值其中判断正确的序号_______．参考答案：①②④【分析】依次判断个选项：根据和函数的奇偶性可得到：，从而可推导出，则①正确；根据得到的图象关于点对称；根据函数的奇偶性可知的图象关于点对称；根据对称性可判断出在上单调递减，则②正确，③错误；根据函数单调性和周期性可知④正确，⑤错误.【详解】①由得：又为偶函数

则

是以4为周期的周期函数令，则

，则①正确；②由可知的图象关于点对称又为偶函数，可知的图象关于点对称在上单调递增

在上单调递增为偶函数

在上单调递减，即为减函数，则②正确；③由②知，的图象关于点对称，则③错误；④由②知，在上单调递增，在上单调递减时，，即在处取得最大值又是周期为的周期函数

在处取得最大值，则④正确；⑤由④知，或处取得最小值，则⑤错误.本题正确结果：①②④【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性的判断，考查学生对于函数各个性质之间关系的掌握.16.

一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且过同一个顶点的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是

；参考答案：14π17.如图，在△ABC中，,,，则

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）设△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，，，，求的值．参考答案：19.

参考答案：解析：（1）取BC的中点D，连结AD、DD1，由直棱柱的性质得平面ABC，在等腰直角三角形ABC中，，

……6分

（2）连结AP，则，是二面角A—CD1—的平面角。

……9分在等腰三角形ABC中，AB=AC=6，则在直角三角形CDD1中，，在直角三角形PAD中，即二面角A—CD1—B的大小为

…………12分法二，如图，建立直角坐标系B（6，0，0，）C（0，6，0）A（0，0，0），B1（6，0，6），C1（0，6，6），A1（0，0，6），D1（3，3，6）

……2分

（1）

……6分

（2）取BC的中点D（3，3，0），则一个法向量，

…………8分设是平面的ACD1一个法向量，由取z=1，则，

…………10分而二面角是锐角，即二面角的平面角是

…………12分

20.（本小题满分12分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．参考答案：解：(1)

在点处的切线的斜率，切线的方程为.

(2)设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，

直线的方程为，切点坐标为．21.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t（1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与t关系；（2）在（1）的条件下求a的取值范围；（3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A﹣PD﹣Q的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间角．【分析】（1）利用直角三角形的勾股定理得到a，t的关系；（2）利用（1）的结论结合基本不等式求a的范围；（3）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．得到平面角∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角，结合直角三角形的余弦求之．【解答】解：（1）如图，连接AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．设，则CQ=a﹣t，在直角三角形MBQ中中，有AQ=．在Rt△CDQ中，有DQ=．

…（4分）在Rt△ADQ中，有AQ2+DQ2=AD2．即t2+4+（a﹣t）2+4=a2，即t2﹣at+4=0．（2）由（1）得a=t+≥4．故a的取值范围为[4，+∞）．（3）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．∴∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角．在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=，又MQ=2，进而NQ=．∴cos∠MNQ=．故二面角A﹣PD﹣Q的余弦值为．【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理以及二面角的平面角求法，关键在正确找出平面角，属于中档题．22.已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣