2024届河南省普通高中招生全国统一考试青桐鸣大联考数学及答案

2024届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合AA．22，Bxx，则AB的真子集个数为（）B．3C．4D．72．已知i为虚数单位，复数z满足ziix1，则z1（A．2C．5B．13．已知单位向量a，b的夹角为，则5ab（）D．2π）3A．9B．91C．10D．3104．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间tt表示从花朵完全绽放t时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：yb2（b11凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：220.3A．3分钟）B．30分钟C．33分钟D．35分钟5．已知某圆台的体积为π，其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π，则该圆台的高为（）A．6B．7C．8D．9p6．已知抛物线C:y22pxp0，过点2,0且斜率为1的直线l交C于M，N两点，且32，则C的准线方程为（A．x1B．x2）C．x3D．x4n7．已知数列a是单调递增数列，am2n1n2，nN*，则实数m的取值范围为（）n3A．B．1,2D．2,3C．,28．已知离散型随机变量X的分布列如下，则DX的最大值为（）XP012ababa132389A．B．C．D．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（A．这五名同学成绩的平均数为78）B．这五名同学成绩的中位数为74D．这五名同学成绩的方差为32C．这五名同学成绩的上四分位数为80b1210．已知正实数a，b满足ab2，则的可能取值为（）A．2B．12C．21D．411．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A1,0，B1,0，12，点M的轨迹为，则（）A．为中心对称图形B．M到直线xay20(aR)距离的最大值为5C．若线段上的所有点均在中，则最大为3πD．使MBO成立的M点有4个4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．1112．(2x)8的展开式中含的项的系数为______．2x2213．已知tan，则tan3______．214．三个相似的圆锥的体积分别为V，V，V，侧面积分别为S，S，S，且VVV，123123123aSSS，则实数a的最大值为______．123四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）已知函数fxaln(xxsinx．ππ在点,f（1）若a0，求曲线yfx处的切线方程；22（2）若a1，研究函数fx在x1,0上的单调性和零点个数．1615分）2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下2×2列联表．对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学女同学合计4020（1）完善以上的2×2列联表，并判断根据小概率值0.01的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．nadbc2附：2，其中nabcd．abcdacbd0.12.7060.050.013.8416.6351715分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，且1CD1，△PCD为等边三角形，平面PAB平面PCD直线l．2（1）证明：l∥平面ABCD；π（2）若l与平面的夹角为，求四棱锥PABCD的体积．61817分）已知椭圆C:3x22y22ab0)的左、右顶点分别为A、B，且AB4，点在椭圆C上．ab2（1）求椭圆C的标准方程；kk（2）若E，F为椭圆C上异于A，B的两个不同动点，且直线AE与BF的斜率满足3，证明：直线EF恒过定点．1917分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123b12babcabcabcabcabcabc．3123231312321213132123ijk若abx1z，则称ab为空间向量a与b的叉乘，其中axiyjzk（x,y,zR111111112y2z2bxiyjzk（x,y,zRi,j,k为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以i,j,k的方向222222为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．（1）①若A2,1，B，求OAOB；②证明：OAOB0．12（2）记△的面积为△，证明：△OA．2△（3）证明：OA的几何意义表示以为底面、OA为高的三棱锥体积的6倍．数学参考答案1．B【解析】由题意可得AB，故AB的真子集的个数为213．故选B．121i1ii)22．A【解析】因为ziiz1，则z1i1i，所以zi，故i)z11i12(2．故选A．22π25ab25a260abb61601191．故3．B【解析】由题意得35ab91，故选B．1121tt1014．C【解析】由题意得b，则b，令202，即21010，解得t33．故选C．102022r1,5．D【解析】设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，则由题意可得R24解得2π(rR)6,rR13，则Vh21222)π，解得h9．故选D．p26．D【解析】设Mx,y，Nx,y，直线l:yx，2112p2得xyx,p22联立3px0，4y22px,p2则0，xx3p，又l经过C的焦点,0，12则xxp3pp32，解得p8，故C的准线方程为x4．故选D．127．C【解析】由题意可得am(2nn2，由于数列a为单调递增数列，即nN*，nn2n12nn1nm(2n1(n2m(2nn2m2n2n10，整理得m，令2n12n2n32n112n3n，则n1n0，nN*，易得数列b单调递减，故b是数2n12n2n1n1232列b的最大项，则m的取值范围为,，故选C．n132a1，故a8．C【解析】PX0PX1PX，121211易得0b，0b，则b，3333331313132ab2ab1b，DXbb)bb2，又因为故EXb)2bb22311332899b,，所以D(X),．故选C．68727680849．CD【解析】A选项，这五名同学成绩的平均数为76，A错误；5B选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B错误；C选项，575%3.75，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C正确；122222D选项，五名同学成绩的方差为正确．故选CD．(6876)(7276)(7676)76)76)32，D5b21b21b211b110．BD【解析】由题意可得1，ab(2bbbb2)2bb2b1tt12令b1t，则1t2，bb，且t22,3，故22t2t22ttt1t13tb1b12322,，所以12,．故选BD．bb2ab11．ABC【解析】由题可得，故点M在以A为圆心、半径分别为1，2的两圆之间（包含边1,2为内径为1，外径为2的圆环，A正确；直线xay20过定点(0)，故M到直线xay20的距离最大时为M与点(0)的距离，则d325，B正确；当恰与圆(x2y21相切时，最大，此时直线与y轴重合，故OM3，C正确；πMBO，则直线BM：yx或yx1，直线yx1与直线yx有无数点在4上，故符合的M点有无数个，故D错误．故选ABC．1r1(2x)8的展开式的通项为r1Cr828r(xr，故令r4可得含项的系数为212．1120【解析】22xC4824(41120．52222tan13．【解析】由tan，可得tan1tan22，22tantan1tantan522故tan3)．32h,h,h3．母线与轴线的夹角为，14．【解析】设三个圆锥的高分别为121πVπ(htan)2htan2h3，由VVV，得h3123，3则12333同理由aSSS可得ah21222，12332231h则a3h61(22332)3a，则a．233h16(233)23312h1x21x33221x6x1x2令fx，令fx0，解得x0,1；令，x，得f(x)1x33fx0，解得x，故fx在0,1上单调递增，在上单调递减，所以fxf12，2，故a2．151）当a0时，fx故a33xsinx，πππ则fx1，sinxxx，则f2，f22ππ在点,f处的切线方程为yx．所以曲线yfx221x1（2）当a1时，fxx1xsinx，则f(x)sinxxx，1x1当x0时，0，sinx0，xx0，则fx0，故fx在x1,0上单调递增．1,0上的零点个数为1．又因为f00，所以fx在x161）完善2×2列联表如下：公众号：高中试卷君对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计50男同学女同学合计40307010203050100100(40201030)50503070210021则24.7626.635，故根据小概率值0.01的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关．70（2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为0.7，100设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X，所以随机变量X~B0.7，故EX300.721，DX300.710.76.3．171）证明：由题可知AB∥CD，平面PCD，CD平面PCD，AB∥平面PCD．又平面PAB，平面PAB平面PCDll∥AB．又l平面ABCD，平面ABCD，l∥平面ABCD．（2）以D为原点，平面ABCD内垂直于的直线为x轴，所在直线为y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，13设等腰梯形ABCD的高为aa0，则D0,0,0，Aa,,0，Ba,,0，C2,0，22P3，1naxy设nx,y,z为平面的法向量，则即2ny3z13令y1得n,为平面的一个法向量．2a3又l∥AB，则可得直线l的一个平行向量m设为l与平面的夹角，0，由sinn,m1n116，解得a．281163216P32)．328181）由题意可得AB42a，则a2，313又点在C上，所以1，解得b1，224bx2y1．2故椭圆C的标准方程为4（2）证明：由（1）可得，A2,0，B2,0，易知直线AE与直线BF的斜率一定存在且不为0，设直线AE的方程为ytx2t0)，直线BF的方程为ytx2．ytx2,得t1xtxt40，由2222x2y2424t22tt22tt所以xx，故xE，则yE，故E,．AE22222t1t1t1t1t1ytx2,t42得t1xtxt40，所以xx，由2222x22BFt1y242tt22tt2t故xF，则yF，故F,．21t21t1t122若直线EF过定点，则根据椭圆的对称性可知直线EF所过定点必在x轴上，设定点为Px,0．0t1tt1t22则kk，2t2t2200t21t21tt即，2xt2t2xt2t22000所以6t23xt21t22xt21，02化简可得x4t0，故04，即直线EF过定点4,0．0191）①因为A2,1，B，ijk则1212i．01k01iijk1j0112②证明：设Ax,y,z，Bx,y,z