04 模块四　统计与概率 【正文】作业手册

模块四统计与概率限时集训(十二)微专题12计数原理[时间:45min]基础过关1.[2023·北京西城区一模]在x-2x5的展开式中,x的系数为 ()A.40 B.10C.-40 D.-102.[2023·北京东城区二模]某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊:在基础配方以外,从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊内,则不同的添加方案有 ()A.13种 B.14种C.15种 D.16种3.[2023·广东佛山二模]“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均开设物理学拔尖学生培养基地,某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,则每所学校至少有一位同学选择的不同方法共有 ()A.120种 B.180种C.240种 D.300种4.现用5种不同的颜色给如图所示的四个直角三角形和一个正方形区域涂色,要求相邻的区域不用同一种颜色,则不同的涂色方法有 ()A.180种 B.192种C.300种 D.420种5.[2023·浙江金华十校模拟]已知(x+1)(x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a3的值为 ()A.-1 B.0 C.1 D.26.已知直线l:xa+yb=1和圆C:x2+y2=50,若直线l与圆C的公共点均为整点(点的横、纵坐标均为整数),则满足条件的直线l有 (A.78条 B.66条C.60条 D.72条7.[2023·青岛二模]某教育局为振兴乡村教育,将5名教师安排到3所乡村学校支教,若每名教师仅去1所学校,每所学校至少安排1名教师,则不同的安排方案有 ()A.300种 B.210种C.180种 D.150种8.(多选题)若x2-12xn的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等A.n=9 B.展开式中各项系数的和为1C.展开式中的常数项为21D.展开式中各二项式系数的和为-19.(多选题)[2023·晋中二模](1+ax)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023,若a1=-6069,则下列结论中正确的有 ()A.a=3 B.a0+a1+a2+…+a2023=-22023C.a13+a232+…D.(1+ax)2023的展开式中第1012项的系数大于010.已知(2-x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a1+a2+…+a7=.

11.[2023·淄博三模]甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动,活动结束后,站成前后两排合影留念,每排3人,若每排同一个学校的两名志愿者不相邻,则不同的站法种数为.

能力提升12.[2023·江苏无锡四校联考]大约公元前300年,欧几里得在他所著的《几何原本》中证明了算术基本定理:每一个比1大的正整数要么本身是一个素数,要么可以写成一系列素数的乘积,如果不考虑这些素数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的,即任何一个大于1的自然数N(N不为素数)能唯一地写成N=p1a1·p2a2·…·pkak(其中pi是素数,ai是正整数,1≤i≤k,p1<p2<…<pk),将上式称为自然数N的标准分解式,且N的标准分解式中有a1+a2+…+ak个素数.从120A.6 B.13C.19 D.6013.[2023·福建福州质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一,登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手,其中有2名只会划左桨,2名只会划右桨,2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛,其中2名划左桨,2名划右桨,则不同的选派方法共有 ()A.15种 B.18种C.19种 D.36种14.(多选题)已知12+12xn=a0+a1(x-1)+…+an(x-1)n,n≥3,n∈N*,若a3≥ai(i=0,1,2,…,n),则A.6 B.8C.11 D.1315.[2023·湖南怀化二模]信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),每种学习机的相关数据均有人统计,则不同的安排方法有种.

16.已知1-x+ay5的展开式中含x3

限时集训(十三)微专题13统计与成对数据的统计分析[时间:45min]基础过关1.[2023·天津卷]调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据绘制的散点图如图②所示,其中相关系数r=0.8245,下列说法正确的是 ()A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈负相关C.花瓣长度和花萼长度呈正相关D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.82452.[2023·济南二模]某射击运动员连续射击5次,命中的环数(均为整数)形成的一组数据中,中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为 ()A.7.6 B.7.8C.8 D.8.23.[2023·湖南师大附中三模]某网店经销某商品,为了解该商品的月销量y(单位:千件)与售价x(单位:元/件)之间的关系,收集了5组数据如下表:x56789y864.53.53根据表中的数据可得y关于x的经验回归方程为y=-1.25x+13.75,则以下说法正确的是()A.x,y具有负相关关系,样本相关系数r=-1.25B.x每增加1个单位,y平均减少13.75个单位C.第二个样本点对应的残差e2=0.D.第三个样本点对应的残差e3=-0.4.如图是2012年至2021年期间全国城镇人口、乡村人口数量的折线图.根据该折线图,下列说法错误的是 ()A.城镇人口与年份具有正相关关系B.乡村人口与年份的样本相关系数r接近于1C.城镇人口逐年增长率大致相同D.可预测乡村人口仍呈现下降趋势5.[2023·山东菏泽二模]足球是一项大众喜爱的运动,为研究是否喜爱足球与性别之间的关联,随机抽取了若干人进行调查,抽取的女性人数是男性人数的2倍,男性中喜爱足球的人数占男性人数的56,女性中喜爱足球的人数占女性人数的13,若在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为是否喜爱足球与性别有关联,则被调查的男性人数至少为 (χ2=n(ad-α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.10 B.11C.12 D.136.(多选题)[2023·湖南岳阳质检]某学校为增强学生的国防意识,组织了一次国防知识竞赛,对100名学生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].为进一步了解学生的答题情况,采用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在[70,90)内的学生中抽取6人,再从这6人中先后抽取2人的成绩进行分析,则下列结论正确的是 ()A.频率分布直方图中的x=0.030B.估计这100名学生成绩的中位数是85C.估计这100名学生成绩的80%分位数是95D.从6人中先后抽取2人的成绩进行分析时,若先抽取的学生的成绩在[70,80)内,则后抽取的学生的成绩在[80,90)内的概率是47.(多选题)[2021·新高考全国Ⅰ卷]有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 ()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同8.小张、小李参加满分为50分的技能测试.小张的六次成绩从小到大依次为27,32,39,m,46,47;小李的六次成绩从小到大依次为30,31,34,41,42,45.若小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数,则m=.

9.在某次调查中,采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为40的样本,经过初步处理,所得数据如下表.样本容量平均数方差A103.52B305.51根据这些数据可计算出总样本的方差为.

10.[2023·湖南郴州九校联考]已知某种商品的直播平台支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:x234678y7.511.5m31.536.543.5根据上表可得y关于x的经验回归方程为y=6x+a,由于操作不慎,导致一个数据丢失,但可以知道点(x,y)在函数y=x2的图象上,据此可以得到m的值为;当直播平台支出为12万元时,预测销售额为万元.

11.[2023·济南二模]根据国家统计局统计,我国2018年至2022年的新生儿数量如下:年份编号x12345年份20182019202020212022新生儿数量y(单位:万人)1523146512001062956(1)由表中数据可以看出,可用线性回归模型拟合新生儿数量y与年份编号x的关系,请用样本相关系数r(精确到0.01)加以说明;(2)建立y关于x的经验回归方程,并预测我国2023年的新生儿数量.参考公式及数据:样本相关系数r=∑i∑i=15yi=6206,∑i=15xiy∑i=15能力提升12.[2023·安徽江淮十校联考]华容道是古老的中国民间益智游戏,以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.(1)小明一周训练中每天破解华容道的用时如下表所示,现用y=bx+a作为y关于x的经验回归方程,求出该经验回归方程.第x天1234567用时y(单位:秒)105844939352315(2)小明和小华比赛破解华容道,首局比赛小明获得胜利的概率是0.6,在后面的比赛中,若小明前一局胜利,则他后一局胜利的概率为0.7,若小明前一局失利,则他后一局胜利的概率为0.5,比赛实行“五局三胜”制,求小明最终获得胜利的概率.附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑i=1n(ui-参考数据:∑i=17xi2=140,∑i=113.飞盘运动是一项入门简单,又具有极强趣味性和社交性的体育运动,目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为研究年轻人是否喜爱飞盘运动与性别之间的关联,对该地区的年轻人进行了简单随机抽样调查,得到如下2×2列联表:单位:人性别是否喜爱飞盘运动合计不喜爱喜爱男61622女42428合计104050(1)在上述喜爱飞盘运动的年轻人中按照性别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人进行访谈,记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和数学期望.(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为是否喜爱飞盘运动与性别有关联?如果把上述2×2列联表中所有数据都扩大为原来的10倍,在相同的检验标准下,再用独立性检验推断是否喜爱飞盘运动与性别之间的关联性,结论还一样吗?请解释其中的原因.附:χ2=n(ad-α0.10.010.001xα2.7066.63510.828

限时集训(十四)微专题14概率[时间:45min]基础过关1.[2023·湖北随州模拟]据某地的一份资料报道,在该地居住的居民患肺癌的概率为0.1%,居民中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率为0.4%,则不吸烟者患肺癌的概率为 ()A.0.025% B.0.032%C.0.048% D.0.02%2.[2023·湖北十一校联考]在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中,任取2个不同的数,则这2个数之和仍为素数的概率是 ()A.328 B.C.17 D.3.[2023·济南一模]某市计划开展“学两会,争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名男性和5名女性,并从中随机选取4人组成代表队参赛,则在代表队中既有男性又有女性的条件下,男性甲被选中的概率为 ()A.12 B.C.713 D.4.[2023·河北唐山三模]假设有两箱零件,第一箱内装有5件零件,其中有2件次品;第二箱内装有10件零件,其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱,然后从该箱中随机取1个零件,若取到的是次品,则这件次品是从第一箱中取出的概率为 ()A.13 B.C.720 D.5.[2023·保定二模]三位同学参加体育测试,每人要从100m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ()A.112 B.13 C.512 6.在一次概率相关的研究性活动中,老师在每个箱子中装了10个小球,其中9个是白球,1个是黑球,用两种方法让同学们来摸球.方法一:在20箱中各任意摸出1个小球;方法二:在10箱中各任意摸出2个小球.将方法一、二至少能摸出1个黑球的概率分别记为P1和P2,则 ()A.P1<P2 B.P1=P2C.P1>P2 D.以上三种情况都有可能7.(多选题)[2023·新高考C9联盟联考]已知A,B是两个事件,且0<P(B)<1,则事件A,B相互独立的充分条件可以是 ()A.P(AB)=0B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A|B)=P(A|B)D.[P(AB)]2+[P(AB)]2+[P(AB)]2+[P(AB)]2=18.(多选题)[2023·济南二模]袋中有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次,每次取1个球,记A=“第一次取出的球所标数字是奇数”,B=“第二次取出的球所标数字是偶数”,C=“两次取出的球所标数字之和是奇数”,D=“两次取出的球所标数字之和是偶数”,则 ()A.P(B)=12B.P(C)=1C.A与D相互独立 D.C与D互为对立事件9.银行储蓄卡的密码由6位数字组成,某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字,但记得密码的最后1位数字是偶数,则在第一次没有按对的条件下第二次按对的概率是.

10.[2023·湖北十堰调研]甲、乙两位同学玩游戏:给定实数a1=3,按下列方法操作一次产生一个新的实数,由甲掷一枚质地均匀的骰子,若朝上的点数为1,2,3,则a2=2a1-4,若朝上的点数为4,则a2=a1,若朝上的点数为5,6,则a2=a1+2.对实数a2重复上述操作,得到新的实数a3,若a3>a1,则甲获胜,否则乙获胜.那么甲获胜的概率为.

11.[2023·福州质检]学校有A,B两家餐厅,周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐.第1天午餐选择A餐厅的概率是13,如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为35;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为(1)记周同学前两天去A餐厅的总天数为X,求X的数学期望.(2)如果周同学第2天去B餐厅,那么第1天去哪个餐厅的可能性更大?请说明理由.能力提升12.(多选题)甲箱中有4个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有3个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱,分别用事件A1,A2和A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球;再从乙箱中随机取出1个球,用事件B表示从乙箱中取出的球是红球.下列结论正确的是 ()A.事件B与事件Ai(i=1,2,3)相互独立 B.P(A1B)=8C.P(B)=13D.P(A2|B)=613.[2023·三明三模]某校为丰富学生的课外活动,加强学生体质健康,拟举行羽毛球团体赛,比赛采取3局2胜制,每局都是单打模式,每队有5名队员,比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的,每局比赛结果互不影响.经过小组赛后,最终甲、乙两队进入最后的决赛,根据前期比赛的数据统计,甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为34,甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注:(1)求甲队最终以2∶1获胜且种子选手M上场的概率;(2)已知甲队最终以2∶1获胜,求种子选手M上场的概率.

限时集训(十五)微专题15随机变量及其分布[时间:60min]基础过关1.[2023·湖南常德模拟]为提高全民身体素质,加强体育运动意识,某校体育部从全校学生中随机抽取了男生、女生各100人进行问卷调查,以研究学生参加体育运动的积极性与性别之间的关联,得到如下2×2列联表:单位:人性别参加体育运动的积极性合计经常运动偶尔运动或不运动男7030100女6040100合计13070200(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为该校学生参加体育运动的积极性与性别有关联?(2)视频率为概率,现从该校所有女生中随机抽取3人,记被抽取的3人中偶尔运动或不运动的人数为X,求X的分布列、期望和方差.附:χ2=n(ad-α0.10.050.01xα2.7063.8416.6352.[2023·山东淄博三模]有一大批产品等待验收,验收方案如下:方案一,从中任取6件产品检验,次品件数大于1拒收;方案二,依次从中取4件产品检验,若取到次品,则停止抽取,拒收,直到第4次抽取后仍无次品,通过验收.(1)若本批产品的次品率为20%,选择方案二,求抽取次数X的均值;(2)若本批产品的次品率为p(0<p<1),比较选择哪种方案更容易通过验收.3.小明参加学校组织的知识竞赛,一路过关斩将,与小李一同进入冠亚军争夺赛.根据以往比赛经验,每局比赛小明先答题获胜的概率为12,后答题获胜的概率为23.现有两种比赛规则供选择:①三局两胜制,即先获胜两局者赢得比赛;②五局三胜制,即先获胜三局者赢得比赛.每局比赛只有胜败两种结果,抽签决定谁先答题,谁先答题可选择赛制规则,接下来的一局轮换先答题.(1)若采用三局两胜制,设每局比赛获胜者得2分,败者得-1分,X表示比赛结束时小明的总得分,求X的分布列和数学期望.(2)小明选择哪种比赛规则获得冠军的可能性更大?请说明理由.4.[2023·浙江金华十校模拟]甲、乙两位足球爱好者为了提高球技,两人轮流进行点球训练(每人各踢一次为1轮),在相同的条件下,每轮甲、乙两人在同一位置,一人踢球另一人扑球,甲先踢,每人踢一次球,两人有一人进球另一人不进球,进球者得1分,不进球者得-1分,两人都进球或都不进球,两人均得0分.设甲、乙每次踢球命中空门的概率均为12,甲扑到乙踢出球的概率为12,乙扑到甲踢出球的概率为13(1)经过1轮踢球,记甲的得分为X,求X的分布列及数学期望;(2)求经过3轮踢球后,甲得分高于乙得分的概率.能力提升5.随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断提高,新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的A型汽车有混合动力汽车和纯电动汽车两种类型,总日产量达120台,其中有30台混合动力汽车,90台纯电动汽车.(1)若从每日生产的120台A型汽车中随机抽检2台汽车,分别就有放回抽检与不放回抽检,求抽检混合动力汽车的台数的分布列及数学期望;(2)若从每日生产的120台A型汽车中随机抽取10台作为一个样本,用Y表示样本中混合动力汽车的台数,分别就有放回抽取和不放回抽取,用样本中混合动力汽车的台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例,求误差不超过0.15的概率,并比较在相同的误差限制下,采用哪种抽取方式估计的结果更可靠.参考数据:(概率值精确到0.00001)Y二项分布概率值超几何分布概率值00.056310.0492910.187710.1825420.281570.2905130.250280.2613440.146000.1470150.058400.0539660.016220.0130770.003090.0020680.000390.0002090.000030.00002100.000000.00000总计1.000001.000006.[2023·湖南雅礼中学二模]某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与该产品的产量x(千件)有关,经统计得到如下数据:x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据,绘制了散点图如图所示.观察散点图,现考虑用反比例函数模型y=a+bx和指数函数模型y=cedx分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的非线性经验回归方程为y=95.97e-0.2x,lny与x的样本相关系数r1≈-0.93.参考数据其中u∑i=18uuu∑∑i=18∑0e-2183.40.340.1151.5336022385.561.40.135(1)用反比例函数模型求y关于x的非线性经验回归方程.(2)用样本相关系数(精确到0.01)判断上述两个模型哪一个拟合效果更好,并用其预测产量为10千件时每件产品的非原料成本.(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研数据,若该产品单价定为100元,则签订9千件订单的概率为0.8,签订10千件订单的概率为0.2;若该产品单价定为90元,则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元,根据(2)的结果,企业要想获得更高利润,产品单价应定为100元还是90元?请说明理由.附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑i=1nuivi-nu

提能特训(三)高分提能三概率、变量分布与其他知识的综合问题[时间:45min]基础过关1.[2023·曲靖模拟]2023年1月至4月,某市辖区内长期没有下雨,4月份处于严重干旱状态,广大市民必须加强节约用水意识,家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水,该市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费,其收费标准如下:一户居民每月用水量不超过15吨时,收费价格为3.5元/吨;超过15吨但不超过20吨时,超出15吨部分的收费价格为4.75元/吨;超过20吨时属于严重超标,超出20吨部分的收费价格为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行月用水量调查,该生活区的某单元某楼层内居住着3户居民,每户居民月用水量严重超标的概率均为p(0<p<1)且相互独立,这3户居民中至少有2户居民月用水量严重超标的概率为f(p),则当f(p)=12时,p=()A.12 B.13 C.23 2.(多选题)[2023·安徽淮北二模]已知棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币,若掷出正面,则棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到跳到第99站(胜利大本营)或第100站(欢乐大本营)时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn(n∈N),则 ()A.P1=12B.P3=3C.Pn+1=12Pn+12Pn-1(1≤n≤D.P100=23.(多选题)[2023·济南二模]设随机变量X的分布列如下:X123…20222023Pa1a2a3…a2022a2023则下列说法正确的是 ()A.当{an}为等差数列时,a2+a2022=2B.数列{an}的通项公式可能为an=2022C.当数列{an}满足an=12n(n=1,2,…,2022)时,a2023D.当数列{an}满足P(X≤k)=k2ak(k=1,2,…,2023)时,a2023=14.[2023·广东佛山二模]有n个编号分别为1,2,…,n的盒子,第1个盒子中有2个白球和1个黑球,其余盒子中均有1个白球和1个黑球,现从第1个盒子中任取1个球放入第2个盒子,再从第2个盒子中任取1个球放入第3个盒子,以此类推,则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第n个盒子