11 微专题9　球的截面性质与切接问题 【正文】教师

微专题9球的截面性质与切接问题[备选理由]例1考查几何体体积问题及球的截面性质,体现了建模思想和数学在实际问题中的应用;例2考查圆柱、三棱柱以及外接球问题,也考查了球的截面性质,考查较为综合;例3考查四棱锥、三棱锥以及其外接球的综合问题,通过给出四棱锥的条件得到三棱锥的一些信息,图形较为复杂,需要一定的空间想象能力和几何转化能力;例4考查正四面体及其外接球问题,也考查了与球有关的截面上的交线问题,体现了立体几何与平面几何的转化.1[配例3使用][2023·河北邯郸二模]如图①,球缺是指一个球被平面截下的一部分,截得的圆面叫作球缺的底面,垂直于截面的直径被截下的一段叫作球缺的高.已知球缺的体积V=π3(3R-h)h2,其中R是球的半径,h是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件,其左、右两部分为相同的圆柱,中间部分为球切除两个相同的球缺后剩余的部分,制作尺寸如图②所示(单位:cm).则该机械插件中间部分的体积约为(π≈3) (C) ① ②A.62326cm3 B.62328cm3C.62352cm3 D.62356cm3[解析]过球心和圆柱的底面圆的圆心作该几何体的截面,可得截面图如图所示,由已知可得AB=14cm,设D为AB的中点,则AD=7cm,设球的球心为O,连接OA,OD,由已知可得2×(OD+AE)=58,又AE=5cm,所以OD=24cm,易知△ODA是以OA为斜边的直角三角形,所以OA=OD2+AD2=25(cm),即球的半径R=25cm,所以以O为球心,OA为半径的球的体积V1=43πR3=625003π(cm3),又π≈3,所以V1≈62500cm3.因为球的半径R=25cm,OD=24cm,所以被切除的球缺的高h=1cm,所以一个球缺的体积V2=π3(3R-h)h2≈74(cm3),所以该机械插件中间部分的体积约为62500-74×2[配例1、例3使用][2023·山西九师联盟质检]如图,棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面分别内接于圆柱OO1的上、下底面,则圆柱OO1的侧面积与其外接球的表面积的比值为

237[解析]设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a,所以△ABC外接圆的半径r=2a2sin60°=23a3,所以圆柱OO1外接球的半径R=2a22+23a32=213a,故圆柱OO1外接球的表面积为4π×213a2=28π3a2.又圆柱OO1的侧面积为3[配例1使用][2023·德州三模]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,点E为BC上靠近B的三等分点,则三棱锥P-ADE外接球的表面积为 (A)A.11π B.12πC.14π D.16π[解析]由题意可得BE=1,EC=2,AE=AB2+BE2=5,DE=DC2+CE2=22,所以在三角形AED中,由等面积法可得12AD·AB=12AE·EDsin∠AED⇒sin∠AED=AD·ABAE·ED=3×25×22=310.设三角形AED的外接圆半径为r,圆心为O',则由正弦定理得2r=AD过O作OH⊥PA,垂足为H,连接PO,O'A,O'O,OA,易知四边形OO'AH为矩形,则OH=O'A=r,PO2=R2=OA2,即r2+(1-h)2=h2+r2,因此h=12,则R=112,故三棱锥P-ADE外接球的表面积为4πR2=11π.故选A.4[配例1、例3使用]在棱长为6的正四面体ABCD中,已知点O为该四面体的外接球的球心,则以O为球心,302为半径的球面与该四面体的表面的交线长度为26π.

[解析]如图①,取CD的中点M,△BCD的中心O1,连接AM,BM,AO1,OB,易知点O在AO1上,AM⊥CD,BM⊥CD,AO1⊥平面BCD,所以AO1⊥BO1,AM=BM=33,BO1=23,则AO1=26.因为OB2=OO12+BO12=(AO1-AO)2+BO12=(AO1-BO)2+BO12,所以AO=326,则OO1=126.设P为球面与面BCD的交线上一点,连接OP,PO1,则OP2=OO12+PO12,即3022=1262+PO12,所以PO1=6.所以点P在以O1为圆心,6为半径的圆上,如图②,设此圆与△BCD的边CD的一个交点为P1,与边DB的一个交点为P2,且点P1,P2靠近点D,过O1作O1M⊥CD于M,O1M1⊥BD于M1,连接O1P1,O1P2,由O1M=3,O1P1=6,得∠MO1P1=π4,同理∠P2O1M1=π4,又∠MO1M1=2π3,所以∠P1O1 ① ②[点睛]多面体的面所在