2021年广西贺州市中考数学试卷（含解析版）

2021年广西贺州市中考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在试卷上作答无效）1．（3分）2的倒数是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．22．（3分）如图，下列两个角是同旁内角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠43．（3分）下列事件中属于必然事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180° B．打开电视机，正在播放新闻联播 C．随机买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）5．（3分）下列几何体中，左视图是圆的是（）A． B． C． D．6．（3分）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝37．（3分）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（）A．2x（x﹣1）2 B．2x（x+1）2 C．x（2x﹣1）2 D．x（2x+1）28．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（3分）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（）A． B． C． D．111．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤312．（3分）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝{，|a|，}，若A＝B，则b﹣a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效）13．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是．14．（3分）数据0.000000407用科学记数法表示为．15．（3分）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝．17．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为．18．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为．三、解答题：（本大题共8题、共66分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.在试卷上作答无效）19．（6分）计算：+（﹣1）0+|π﹣2|﹣tan30°．（6分）解不等式组：．21．（8分）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．（1）本次抽取的样本水稻秧苗为株；（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．22．（8分）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．23．（8分）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若AD＝4，求△BED的面积．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若∠B＝30°，求的值．26．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．

2021年广西贺州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在试卷上作答无效）1．（3分）2的倒数是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【分析】求一个数的倒数就是把这个数的分子分母交换位置即可，互为倒数的两个数的乘积为1．【解答】解：2的倒数，故选：C．【点评】本题考查实数的性质，做此类型的题目关键在于对实数相关概念（如倒数等）的理解．2．（3分）如图，下列两个角是同旁内角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．【解答】解：A、∠1与∠2是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；B、∠1与∠3是同旁内角，故本选项符合题意；C、∠1与∠4是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；D、∠2与∠4是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键．3．（3分）下列事件中属于必然事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180° B．打开电视机，正在播放新闻联播 C．随机买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上【分析】根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可．【解答】解：A．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，因此选项A符合题意；B．打开电视机，有可能播放新闻联播，也有可能不是，是个随机事件，因此选项B不符合题意；C．随机买一张电影票，座位号有可能是奇数号，也有可能是偶数号，是随机事件，因此选项C不符合题意；D．掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下，是随机事件，因此选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．5．（3分）下列几何体中，左视图是圆的是（）A． B． C． D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：A．球的左视图是圆，故本选项符合题意．；B．圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意；C．圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；D．圆台的左视图是等腰梯形，故本选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．6．（3分）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax+b过B（2，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝2，故选：C．【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．7．（3分）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（）A．2x（x﹣1）2 B．2x（x+1）2 C．x（2x﹣1）2 D．x（2x+1）2【分析】先提取公因式2x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝2x（x2﹣2x+1）＝2x（x﹣1）2．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】方程两边同时乘（x﹣3），将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，根据方程增根，得到x＝3，从而列出方程求出m的值．【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：m+4＝3x+2（x﹣3），解得：x＝m+2，∵方程有增根，∴x﹣3＝0，∴x＝3，∴m+2＝3，∴m＝5，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．9．（3分）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【分析】首先求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：连接AD，如图所示：∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∴AD＝AB•sin60°＝2×＝，∴阴影部分的面积＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算、三角函数、切线的性质、等边三角形的性质；由三角函数求出AD是解决问题的关键．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（）A． B． C． D．1【分析】连接OD，过点O作OF⊥BC于F，根据垂径定理得到BF＝EF，根据矩形的性质得到CF＝OD＝2，证明△AOD∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，计算即可．【解答】解：连接OD，过点O作OF⊥BC于F，则BF＝EF，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，OF⊥BC，∴OD∥BC，四边形ODCF为矩形，∴△AOD∽△ABC，CF＝OD＝2，∴＝，即＝，解得：BC＝，∴BF＝BC﹣CF＝﹣2＝，∴BE＝2BF＝，∴CE＝BC﹣BE＝﹣＝，故选：B．【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是能够利用切线的性质构造矩形．11．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【分析】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题．12．（3分）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝{，|a|，}，若A＝B，则b﹣a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．【解答】解：∵A＝B，a≠0，≠0，∴＝0，＝1，|a|＝a或＝0，＝a，|a|＝1，∴b＝0，a＝1（舍去）或b＝0，a＝﹣1，∴b﹣a＝0﹣（﹣1）＝1，故选：C．【点评】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出a，b的值．二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效）13．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．（3分）数据0.000000407用科学记数法表示为4.07×10﹣7．【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000407＝4.07×10﹣7．故答案为：4.07×10﹣7．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15．（3分）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，∴两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝45°．【分析】由CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，得△CDG是等腰三角形，∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°，再由E，F分别为BC，DA的中点，BC＝2GC，得DF＝DG，CE＝CG，得∠DGF和∠CEG的度数，∠EGF＝∠DGC﹣∠DGF﹣EGC，即可求解．【解答】解：∵CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°，∴∠FDG＝∠FDC+∠CDG＝90°+45°＝135°，∵E，F分别为BC，DA的中点，BC＝2GC，∴DF＝DG，CE＝CG，∴∠DGF＝∠∠DFG＝（180°﹣∠FDG）＝×45°＝22.5°，同理，可得∠CEG＝∠CGE＝（180°﹣∠ECG）＝，∴∠EGF＝∠DGC﹣∠DGF﹣EGC＝90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°．故答案为：45°．【点评】本题考查了等腰直角三角形和矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形两腰相等两底角都是45°的性质是解题的关键．17．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为（﹣2，4﹣2）．【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，∴AO＝BO＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，在△PCB和△OPA中，，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝＝2，∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2，∵PD＝BD＝2，∴P（﹣2，4﹣2），故答案为（﹣2，4﹣2）．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．18．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为．【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，根据已知求出A、E、F、D、O的坐标，从而得AE、BF解析式，可求G坐标，即可得到OG的长度．【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵四边形ABCD是正方形，边长为6，∴AB＝BC＝6，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵BC＝3BE，BE＝CF，∴BE＝CF＝2，∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），设直线AE解析式为y＝ax+b，则，解得，∴直线AE解析式为y＝﹣3x+6，设直线BF解析式为y＝cx，则2＝6c，解得c＝，∴直线BF解析式为y＝x，由得，∴G（，），∵O为BD中点，∴O（3，3），∴OG＝＝，故答案为：．【点评】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出O和G的坐标．三、解答题：（本大题共8题、共66分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.在试卷上作答无效）19．（6分）计算：+（﹣1）0+|π﹣2|﹣tan30°．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+1+π﹣2﹣×＝2+1+π﹣2﹣1＝π．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20．（6分）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＜1，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．（1）本次抽取的样本水稻秧苗为500株；（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．【分析】（1）根据苗高为15cm的秧苗的株数和所占的百分比求出总株数即可；（2）分别求出苗高为14cm、17cm的秧苗的株数，从而补全统计图；（3）用总株数乘以苗高大于或等于15cm的株数所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：80÷16%＝500（株）；故答案为：500；（2）苗高为14cm的秧苗的株数有500×20%＝100（株），苗高为17cm的秧苗的株数有500﹣40﹣100﹣80﹣160＝120（株），补全统计图如下：（3）90000×＝64800（株），答：估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数有64800株．【点评】此题考查了折线统计图和扇形统计图的综合，解题的关键是根据苗高为15cm的秧苗的株数和所占的百分比求出总株数．22．（8分）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．【分析】延长CB交AD于点D，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义求出AD，BD，进而求出DC，在Rt△ADC中，由勾股定理得即可求出AC．【解答】解：延长CB交AD于点D，则∠ADB＝90°，由题意可知∠DAB＝45°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，∴∠ABD＝∠DAB，∴AD＝BD，在Rt△ABD中，∵AB＝60海里，sin∠DAB＝，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝60×＝60（海里），∵BC＝20海里，∴DC＝60+20＝80（海里），在Rt△ADC中，由勾股定理得，AC＝＝＝100（海里），答：AC的距离为100海里．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键．23．（8分）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？【分析】（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，根据“李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份用水量为14m3，缴纳水费51.4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）求出用水量为12m3时的水费，由该值小于64.4元可得出用水量超过12m3，设用水量为am3，利用应缴纳水费＝用水量为12m3时的水费+6.5×超过12m3的部分，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意得：，解得：．答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，∴用水量超过12m3．设用水量为am3，依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，解得：a＝16．答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若AD＝4，求△BED的面积．【分析】（1）根据已知条件证得DE是∠BDC的平分线，得到∠EDB＝∠EDC，进而证得∠ABD＝∠EDB，得到AB∥DE，根据平行四边形的判定证得四边形ABED是平行四边形，再证得AB＝AD，可得四边形ABED是菱形；（2）根据平行线的性质证得∠ADC＝90°，进而推出∠EDC＝30°，由三角函数的定义求出CD，根据三角形的面积公式即可求出△BED的面积．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴EC⊥DC，∵EF⊥BD，EF＝EC，∴DE是∠BDC的平分线，∴∠EDB＝∠EDC，∵∠ADB＝∠BDC，∴∠ADB＝∠EDB，∵∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EDB，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，∴DE＝BE＝AD＝4，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝30°，∴CD＝DE•cos30°＝4×＝2，∴S△BED＝BE•CD＝×4×2＝4．【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，由角平分线的性质结合已知条件推出∠ABD＝∠EDB是解决问题的关键．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若∠B＝30°，求的值．【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OEB＝90°，进而得到OE∥AC，根据平行线的性质得到∠OEA＝∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA＝∠OAE，根据角平分线的定义证明结论；（2）根据圆周角定理得到∠AED＝90°，证明△DAE∽△EAC，根据相似三角形的性质得到＝，根据余弦的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°，∵∠C＝90°，∴OE∥AC，∴∠OEA＝∠EAC，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC；（2）解：∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠OAE＝∠EAC，∠C＝90°，∴△DAE∽△EAC，∴＝，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAE＝∠BAC＝30°，∵cos∠DAE＝，cos30°＝，∴＝＝．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，根据圆