2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷（含解析版）（农垦、森工用）

2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷（农垦、森工用）一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．m2+m3＝2m5 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．÷＝2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差5．（3分）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A．14 B．11 C．10 D．96．（3分）已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣37．（3分）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG的面积为（）A．4 B．5 C．2 D．310．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二．将数据14.14万用科学记数法表示为．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形ABCD是正方形．14．（3分）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是．15．（3分）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．17．（3分）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为cm．18．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为．19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为cm2．20．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝2tan45°+1．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．23．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BOC的面积．24．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中共抽取名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？25．（8分）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示的折线AB﹣BC﹣CD﹣DE，结合图象回答下列问题：（1）甲、乙两地之间的距离是km；（2）求两车的速度分别是多少km/h？（3）求线段CD的函数关系式．直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km？26．（8分）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．27．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．（1）求点B的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷（农垦、森工用）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．m2+m3＝2m5 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．÷＝【分析】A选项利用合并同类项法则判断得出答案；B选项利用积的乘方运算法则计算得出答案；C选项利用完全平方公式计算得出答案；D选项利用二次根式除法运算法则计算得出答案．【解答】解：A．m2与m3，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故此选项不合题意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不合题意；D.÷＝，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项、积的乘方运算、完全平方公式、二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据主视图为正面所看到的图形，进而得出答案．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，注意主视图即为从正面所看到的图形．4．（3分）一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【解答】解：原数据3，4，4，4，5的平均数为×（3+4+4+4+5）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（3﹣4）2+（4﹣4）2×3+（5﹣4）2]＝0.4；新数据的3，4，4，5的平均数为×（3+4+5+4）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（3﹣4）2+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2]＝0.5；故选：D．【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．5．（3分）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A．14 B．11 C．10 D．9【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝144，解方程即可求解．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，即（1+x）2＝144，解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），故选：B．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．6．（3分）已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3【分析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出m的取值范围．【解答】解：根据题意解分式方程，得x═，∵2x﹣1≠0，∴x≠，即≠，解得m≠﹣3，∵x≥0，∴≥0，解得m≥﹣4，综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3，故选：B．【点评】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为0．7．（3分）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，进而可得出共有5种购买方案．【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，依题意得：15x+10y＝180，∴x＝12﹣y．又∵x，y均为正整数，∴或或或或，∴共有5种购买方案．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（）A． B． C． D．【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，由已知，BC＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝5，∵BE＝2DE，∴设DE＝x，则BE＝2x，∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，解得x1＝2，x2＝0（舍去），∴DE＝2，FD＝4，设OB＝a，则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），∵点D、C在双曲线上，∴k＝2×（a+4）＝5a，∴a＝，∴k＝5×＝，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．9．（3分）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△EOG的面积为（）A．4 B．5 C．2 D．3【分析】由平行四边形ABFC的面积，算出△AEO的面积，再由△BFG∽△AOG，计算出△EOG面积．【解答】解：∵平行四边形ABFC的面积为48，∴，∵平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，∴OE是△ACF的中位线，∴OE＝FC，OE∥FC∥AB，∴＝，∴，∵BF∥AC，∴BF∥AO，∴△BFG∽△AOG，∴，∵OE∥AB，∴，∴，∴．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识点，掌握三角形中位线定理是解题的关键．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤【分析】由O是BD中点，点F是DE的中点，可得OF∥BE，OF＝BE，又CE＝4，得GF＝CE＝2，故①正确；由正方形ABCD，得△DBC是等腰直角三角形，△DOG是等腰直角三角形，可得OD＝OG，故②正确；Rt△DCE中，tan∠CDE＝，故③正确，根据∠CDF＝∠FDC≠45°，∠ACD＝∠BDC＝45°，得∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；求出△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，可得点D到CF的距离为，故⑤正确．【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴O是BD中点，∵点F是DE的中点，∴OF是△DBE的中位线，∴OF∥BE，OF＝BE，∵CE＝4，OF＝6，∴GF＝CE＝2，故①正确；BE＝2OF＝12，∵正方形ABCD中，∴△DBC是等腰直角三角形，而OF∥BE，∴△DOG是等腰直角三角形，∴OD＝OG，故②正确；∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，∴DC＝8，∠DCE＝90°，Rt△DCE中，tan∠CDE＝＝＝，故③正确，∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，∴CF＝DF＝DE，∴∠CDF＝∠FDC≠45°，∵∠ACD＝∠BDC＝45°，∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；Rt△DCE中，DE＝＝4，∴CF＝DE＝2，∵△CDE的面积为CE•DC＝×4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，∴△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，∴•x×2＝8，解得x＝，∴点D到CF的距离为，故⑤正确；∴正确的由①②③⑤，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、等腰直角三角形性质、锐角三角函数、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识，解题的关键是求出△DCF面积，用等面积法解决问题．二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二．将数据14.14万用科学记数法表示为1.414×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：14.14万＝141400＝1.414×105，故答案为：1.414×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠5．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．【解答】解：根据题意得x﹣5≠0，解得x≠5．故答案为x≠5．【点评】（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一），使矩形ABCD是正方形．【分析】根据正方形的判定方法添加即可．【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．14．（3分）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有4种，∴两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率为，故答案为：．【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．15．（3分）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是a＜6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可．【解答】解：解不等式2x﹣a＞0，得：x＞，解不等式3x﹣4＜5，得：x＜3，∵不等式组有解，∴＜3，解得a＜6，故答案为：a＜6．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为5cm．【分析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AOC是等边三角形．17．（3分）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为4cm．【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【解答】解：设母线长为lcm，则＝2π×1解得：l＝4．故答案为：4．【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为2．【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．【解答】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO，∴＝，∴＝，∴CD＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为（2+6）或（6﹣2）cm2．【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理可以求点AE，然后根据矩形的面积即可求得．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED＝3cm．在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2．∴22+AE2＝32，解得AE＝cm．∴AD＝AE+ED＝（+3）cm或AD＝ED﹣AE＝（3﹣）cm∴矩形ABCD的面积为为AD•AB＝（2+6）cm2或（6﹣2）cm2．故答案为（2+6）或（6﹣2）．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用等，解直角三角形求得AE是解题的关键．20．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝24038．【分析】由题意得△ADA1为等边三角形且边长为1、△A1D1A2为等边三角形且边长为2、△A2D2A3为等边三角形且边长为4、△A3D3A4为等边三角形且边长为8，…，△A2021D2021A2022为等边三角形且边长为22021，所以S1＝×12，S2＝×22，S3＝×42，…，Sn＝×22n﹣2，S2021＝×24040，计算出结果即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，∴∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，∴∠ADA1＝60°，∵DA1＝CD，∴AD＝DA1，∴△ADA1为等边三角形且边长为1，同理：△A1D1A2为等边三角形且边长为2，△A2D2A3为等边三角形且边长为4，△A3D3A4为等边三角形且边长为8，…，△A2021D2021A2022为等边三角形且边长为22021，∴S1＝×12，S2＝×22，S3＝×42，…，Sn＝×22n﹣2，∴S2021＝×24040＝24038，故答案为24038．【点评】本题考查了菱形的性质，图形的变化规律，等边三角形的面积和边长的关系，从图形变化的规律中发现等边三角形边长的变化规律是解决问题的关键．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝2tan45°+1．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值求出a，代入计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝2tan45°+1＝2×1+1＝3时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值、特殊角的三角函数值，把a化为是解题的关键．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可．（2）根据旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．（3）利用弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，B1（﹣4，﹣3）．（2）如图，△A2B2O即为所求，B2（3，4）．（3）点B旋转到点B2所经过的路径长＝＝．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．23．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BOC的面积．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C的坐标，然后再根据点B的坐标，即可得到OC和OB的长，再根据三角形面积公式，即可求得△BOC的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴△BOC的面积是＝＝．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．24．（7分）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中共抽取100名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？【分析】（1）根据A所占的百分比，根据频数、频率、总数之间的关系即可求出本次调查中共抽取的学生数；（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出B、C等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；（3）根据（2）中的结果计算出B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）求出A、B等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．【解答】解：（1）26÷26%＝100（名），故答案为：100；（2）D等级所占的百分比为：10÷100×100%＝10%，则B等级所占的百分比为：1﹣26%﹣20%﹣10%﹣4%＝40%，故B、C等级的学生分别为：100×40%＝40（名），100×20%＝20（名），补全条形图如下，（3）B等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×40%＝144°；（4）1200×＝792（名），答：估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．25．（8分）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示的折线AB﹣BC﹣CD﹣DE，结合图象回答下列问题：（1）甲、乙两地之间的距离是180km；（2）求两车的速度分别是多少km/h？（3）求线段CD的函数关系式．直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km？【分析】（1）由一次函数的图象可以直接得出结论为180km；（2）设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为（x+20）千米/小时，根据题意可得两车行驶1小时相遇，据此列方程解答即可；（3）先求出点D的横坐标，再运用待定系数法就可以直接求出线段CD的函数关系式，然后根据“货车与轿车相距20km”列方程解答即可．【解答】解：（1）由函数图象得，甲、乙两地之间的距离是180km，故答案为：180；（2）设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为（x+20）千米/小时，根据题意，得：x+（x+20）＝180，解得x＝80，答：货车的速度为80千米/小时，轿车的速度为100千米/小时；（3）设点D的横坐标为x，则：80（x﹣1.5）+100（x﹣1.5）＝144，解得x＝2.3，故点D的坐标为（2.3，144），设线段CD的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则：，解得，∴y＝180x﹣270；当180x﹣270＝20时，解得x＝；设AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则：，解得，∴线段AB的解析式为：y＝﹣180x+180，当﹣180x+180＝20时，解得x＝，∴货车出发小时或小时，与轿车相距20km【点评】本题考查了一次函数的运用，待定法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时认真分析读懂函数图象的意义是关键．26．（8分）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【分析】（1）证明CD＝BD，EF＝BD，可得结论．（2）如图②中，结论：EF＝CD．取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．证明△AFT≌△ETF（SAS），推出EF＝AT，可得结论．如图③中，结论：EF＝CD．取AD的中点O，连接OF，OE．证明△EOF∽△DAC，可得＝＝，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵EA＝ED，∠EAD＝45°，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠AED＝90°，∵BF＝FD，∴EF＝DB，∵∠CAB＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝45°，∵∠ABC＝∠AED＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AC＝AB，∴AD垂直平分线段BC，∴DC＝DB，∴EF＝CD．（2）解：如图②中，结论：EF＝CD．理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．∵∠CAD＝90°，CT＝DT，∴AT＝CT＝DT，∵EA＝ED，∴ET垂直平分线段AD，∴AO＝OD，∵∠AED＝90°，∴OE＝OA＝OD，∵CT＝TD，BF＝DF，∴BC∥FT，∴∠ABC＝∠OFT＝45°，∵∠TOF＝90°，∴∠OTF＝∠OFT＝45°，∴OT＝OF，∴AF＝ET，∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，∴△AFT≌△ETF（SAS），∴EF＝AT，∴EF＝CD．如图③中，结论：EF＝CD．理由：取AD的中点O，连接OF，OE．∵EA＝ED，∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵AO＝OD，∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，∴tan∠AEO＝＝，∴＝，∵∠ABC＝∠AED＝30°，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵AO＝OD，BF＝FD，∴OF＝AB，∴＝，∴＝，∵OF∥AB，∴∠DOF＝∠DAB，∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，∴∠EOF＝∠DAC，∴△EOF∽△DAC，∴＝＝，∴EF＝CD．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．27．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？【分析】（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y