三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(江苏专用)专题15尺规作图专题(原卷版+解析)_第1页
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文档简介

专题15尺规作图专题题型1:根据尺规作图计算或证明1.(2023·江苏·中考真题)小明按照以下步骤画线段AB的三等分点:画法图形1.以A为端点画一条射线;2.用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE,连接BE;3.过点C、D分别画BE的平行线,交线段AB于点M、N,M、N就是线段AB的三等分点.

这一画图过程体现的数学依据是(

)A.两直线平行,同位角相等B.两条平行线之间的距离处处相等C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例2.(2023·江苏扬州·中考真题)如图,中,,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点E,作射线交于点D,则线段的长为.3.(2023·江苏镇江·中考真题)如图,扇形的半径为1,分别以点A、B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点P,,则的长(结果保留π).4.(2022·江苏苏州·中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,,,,分别以A,C为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为.5.(2022·江苏连云港·中考真题)如图,在中,.利用尺规在、上分别截取、,使;分别以、为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在内交于点;作射线交于点.若,则的长为.

题型2:按要求完成尺规作图6.(2023·江苏徐州·中考真题)两汉文化看徐州,桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到;玉壁,玉环为我国的传统玉器,通常为正中带圆孔的扇圆型器物,据《尔雅·释器》记载:“肉倍好,谓之璧;肉好若一,调之环.”如图1,“肉”指边(阴影部分),“好”指孔,其比例关系见图示,以考古发现看,这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系.(1)若图1中两个大圆的直径相等,则璧与环的“肉”的面积之比为;(2)利用圆规与无刻度的直尺,解决下列问题(保留作图痕迹,不写作法).①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图,试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”?②图3表示一件圆形玉坯,若将其加工成玉璧,且比例关系符合“肉倍好”,请画出内孔.7.(2023·江苏无锡·中考真题)如图,已知,点M是上的一个定点.

(1)尺规作图:请在图1中作,使得与射线相切于点M,同时与相切,切点记为N;(2)在(1)的条件下,若,则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________.8.(2023·江苏·中考真题)如图,、、、是直线上的四点,.

(1)求证:;(2)点、分别是、的内心.①用直尺和圆规作出点(保留作图痕迹,不要求写作法);②连接,则与的关系是________.9.(2023·江苏·中考真题)如图,在中,.(1)尺规作图:作,使得圆心在边上,过点且与边相切于点(请保留作图痕迹,标明相应的字母,不写作法);(2)在(1)的条件下,若,求与重叠部分的面积.10.(2023·江苏盐城·中考真题)如图,,,.(1)求证:;(2)用直尺和圆规作图:过点作,垂足为.(不写作法,保留作图痕迹)11.(2023·江苏宿迁·中考真题)如图,在中,,,.(1)求出对角线的长;(2)尺规作图:将四边形沿着经过点的某条直线翻折,使点落在边上的点处,请作出折痕.(不写作法,保留作图痕迹)12.(2022·江苏无锡·中考真题)如图,△ABC为锐角三角形.(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使∠DAC=∠ACB,且;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若,,,则四边形ABCD的面积为.(如需画草图,请使用试卷中的图2)

13.(2022·江苏常州·中考真题)(现有若干张相同的半圆形纸片,点是圆心,直径的长是,是半圆弧上的一点(点与点、不重合),连接、.(1)沿、剪下,则是______三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”);(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹,不要求写作法);(3)经过数次探索,小明猜想,对于半圆弧上的任意一点,一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.小明的猜想是否正确?请说明理由.14.(2022·江苏南通·中考真题)【阅读材料】老师的问题:已知:如图,.求作:菱形,使点C,D分别在上.小明的作法:(1)以A为圆心,长为半径画弧,交于点D;(2)以B为圆心,长为半径画弧,交于点C;(3)连接.四边形就是所求作的菱形,【解答问题】请根据材料中的信息,证明四边形是菱形.15.(2022·江苏淮安·中考真题)如图,已知线段和线段.(1)用直尺和圆规按下列要求作图.(请保留作图痕迹,并标明相应的字母,不写作法)①作线段的垂直平分线,交线段于点;②以线段为对角线,作矩形,使得,并且点在线段的上方.(2)当,时,求(1)中所作矩形的面积.16.(2022·江苏扬州·中考真题)【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积?【初步尝试】如图1,已知扇形,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线,使扇形的面积被这条直线平分;【问题联想】如图2,已知线段,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形;【问题再解】如图3,已知扇形,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧,使扇形的面积被这条圆弧平分.(友情提醒:以上作图均不写作法,但需保留作图痕迹)

17.(2022·江苏镇江·中考真题)操作探究题(1)已知是半圆的直径,(是正整数,且不是3的倍数)是半圆的一个圆心角.操作:如图1,分别将半圆的圆心角(取1、4、5、10)所对的弧三等分(要求:仅用圆规作图,不写作法,保留作图痕迹);交流:当时,可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗?探究:你认为当满足什么条件时,就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分?说说你的理由.(2)如图2,的圆周角.为了将这个圆的圆周14等分,请作出它的一条14等分弧(要求:仅用圆规作图,不写作法,保留作图痕迹).18.(2022·江苏泰州·中考真题)已知:△ABC中,D为BC边上的一点.(1)如图①,过点D作DE∥AB交AC边于点E,若AB=5,BD=9,DC=6,求DE的长;(2)在图②,用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F,使∠DFA=∠A;(保留作图痕迹,不要求写作法)(3)如图③,点F在AC边上,连接BF、DF,若∠DFA=∠A,△FBC的面积等于,以FD为半径作⊙F,试判断直线BC与⊙F的位置关系,并说明理由.

19.(2022·江苏宿迁·中考真题)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点、、、、均为格点.【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图①的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、,相交于点并给出部分说理过程,请你补充完整:解:在网格中取格点,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中,在Rt△CDE中,,所以.所以∠=∠.因为∠∠=∠=90°,所以∠+∠=90°,所以∠=90°,即⊥.(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心,为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点P,使=,写出作法,并给出证明:(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦上找出一点P.使=·,写出作法,不用证明.

20.(2021·江苏南京·中考真题)如图,已知P是外一点.用两种不同的方法过点P作的一条切线.要求:(1)用直尺和圆规作图;(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.21.(2021·江苏常州·中考真题)如图,B、F、C、E是直线l上的四点,.(1)求证:;(2)将沿直线l翻折得到.①用直尺和圆规在图中作出(保留作图痕迹,不要求写作法);②连接,则直线与l的位置关系是__________.

22.(2021·江苏淮安·中考真题)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点A、B、C都在格点上(两条网格线的交点叫格点).请仅用无刻度的直尺按下列要求画图,并保留画图痕迹(不要求写画法).(1)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B1,点C的对应点为C1,画出△AB1C1;(2)连接CC1,△ACC1的面积为;(3)在线段CC1上画一点D,使得△ACD的面积是△ACC1面积的.

23.(2021·江苏泰州·中考真题)(1)如图①,O为AB的中点,直线l1、l2分别经过点O、B,且l1∥l2,以点O为圆心,OA长为半径画弧交直线l2于点C,连接AC.求证:直线l1垂直平分AC;(2)如图②,平面内直线l1∥l2∥l3∥l4,且相邻两直线间距离相等,点P、Q分别在直线l1、l4上,连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D,使线段PD最短.(两种工具分别只限使用一次,并保留作图痕迹)

专题15尺规作图专题题型1:根据尺规作图计算或证明1.(2023·江苏·中考真题)小明按照以下步骤画线段AB的三等分点:画法图形1.以A为端点画一条射线;2.用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE,连接BE;3.过点C、D分别画BE的平行线,交线段AB于点M、N,M、N就是线段AB的三等分点.

这一画图过程体现的数学依据是(

)A.两直线平行,同位角相等B.两条平行线之间的距离处处相等C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例【答案】D【分析】根据两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例,即可求解.【详解】解:由步骤2可得:C、D为线段AE的三等分点步骤3中过点C、D分别画BE的平行线,由两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例得:M、N就是线段AB的三等分点故选:D2.(2023·江苏扬州·中考真题)如图,中,,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点E,作射线交于点D,则线段的长为.【答案】【分析】利用角平分线的性质构造辅助线,将的面积分解成的面积和面积和,转化成以为未知数的方程求出.【详解】如图:过点作于点,

,由题意得:平分,,,,,,,;故答案为:.3.(2023·江苏镇江·中考真题)如图,扇形的半径为1,分别以点A、B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点P,,则的长(结果保留π).【答案】/【分析】先求解,再利用弧长公式计算即可.【详解】解:由作图知:垂直平分,∵,∴,∵扇形的半径是1,∴的长.故答案为:.4.(2022·江苏苏州·中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,,,,分别以A,C为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为.【答案】10【分析】根据作图可得,且平分,设与的交点为,证明四边形为菱形,根据平行线分线段成比例可得为的中线,然后勾股定理求得,根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长,进而根据菱形的性质即可求解.【详解】解:如图,设与的交点为,根据作图可得,且平分,,四边形是平行四边形,,,又,,,,,四边形是平行四边形,垂直平分,,四边形是菱形,,,,,为的中点,中,,,,,四边形AECF的周长为.故答案为:.5.(2022·江苏连云港·中考真题)如图,在中,.利用尺规在、上分别截取、,使;分别以、为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在内交于点;作射线交于点.若,则的长为.【答案】【分析】如图所示,过点H作HM⊥BC于M,由作图方法可知,BH平分∠ABC,即可证明∠CBH=∠CHB,得到,从而求出HM,CM的长,进而求出BM的长,即可利用勾股定理求出BH的长.【详解】解:如图所示,过点H作HM⊥BC于M,由作图方法可知,BH平分∠ABC,∴∠ABH=∠CBH,∵四边形ABCD是平行四边形,∴,∴∠CHB=∠ABH,∠C=180°-∠ABC=30°,∴∠CBH=∠CHB,∴,∴,∴,∴,∴,故答案为:.题型2:按要求完成尺规作图6.(2023·江苏徐州·中考真题)两汉文化看徐州,桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到;玉壁,玉环为我国的传统玉器,通常为正中带圆孔的扇圆型器物,据《尔雅·释器》记载:“肉倍好,谓之璧;肉好若一,调之环.”如图1,“肉”指边(阴影部分),“好”指孔,其比例关系见图示,以考古发现看,这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系.(1)若图1中两个大圆的直径相等,则璧与环的“肉”的面积之比为;(2)利用圆规与无刻度的直尺,解决下列问题(保留作图痕迹,不写作法).①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图,试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”?②图3表示一件圆形玉坯,若将其加工成玉璧,且比例关系符合“肉倍好”,请画出内孔.【答案】(1)(2)①符合,图见详解;②图见详解【分析】(1)根据圆环面积可进行求解;(2)①先确定该圆环的圆心,然后利用圆规确定其比例关系即可;②先确定好圆的圆心,然后根据平行线所截线段成比例可进行作图.【详解】(1)解:由图1可知:璧的“肉”的面积为;环的“肉”的面积为,∴它们的面积之比为;故答案为;(2)解:①在该圆环任意画两条相交的线,且交点在外圆的圆上,且与外圆的交点分别为A、B、C,则分别以A、B为圆心,大于长为半径画弧,交于两点,连接这两点,同理可画出线段的垂直平分线,线段的垂直平分线的交点即为圆心O,过圆心O画一条直径,以O为圆心,内圆半径为半径画弧,看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为的关系;②按照①中作出圆的圆心O,过圆心画一条直径,过点A作一条射线,然后以A为圆心,适当长为半径画弧,把射线三等分,交点分别为C、D、E,连接,然后分别过点C、D作的平行线,交于点F、G,进而以为直径画圆,则问题得解;如图所示:

7.(2023·江苏无锡·中考真题)如图,已知,点M是上的一个定点.

(1)尺规作图:请在图1中作,使得与射线相切于点M,同时与相切,切点记为N;(2)在(1)的条件下,若,则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)先作的平分线,再过M点作的垂线交于点O,接着过O点作于N点,然后以O点为圆心,为半径作圆,则满足条件;(2)先利用切线的性质得到,,根据切线长定理得到,则,再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出,然后根据扇形的面积公式,利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算.【详解】(1)解:如图,为所作;

;(2)解:∵和为的切线,∴,,,∴,∴,在中,,∴,∴的劣弧与所围成图形的面积.故答案为:.8.(2023·江苏·中考真题)如图,、、、是直线上的四点,.

(1)求证:;(2)点、分别是、的内心.①用直尺和圆规作出点(保留作图痕迹,不要求写作法);②连接,则与的关系是________.【答案】(1)见解析(2)①见解析

②【分析】(1)可证得,结合,即可证明结论.(2)①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点,因此只需作出任意两个角的角平分线,其交点即为所求.②因为,所以可看作由平移得到,点,点为对应点,点,点为对应点,据此即可求得答案.【详解】(1)∵,,,∴.在和中∴.(2)①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点,作,的角平分线,其交点即为点.

②因为,所以可看作由平移得到,点,点为对应点,点,点为对应点,根据平移的性质可知.故答案为:.9.(2023·江苏·中考真题)如图,在中,.(1)尺规作图:作,使得圆心在边上,过点且与边相切于点(请保留作图痕迹,标明相应的字母,不写作法);(2)在(1)的条件下,若,求与重叠部分的面积.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)作的角平分线交于点,过点作,交于点,以为圆心,为半径作,即可;(2)根据含30度角的直角三角形的性质,求得圆的半径,设交于点,连接,可得是等边三角形,进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和,即可求解.【详解】(1)解:如图所示,即为所求;

(2)解:∵,是的切线,∴,∴,则,解得:,如图所示,设交于点,连接,

∵,∴是等边三角形,如图所示,过点作于点,

∴∴在中,,∴,∴,则,∴与重叠部分的面积为.10.(2023·江苏盐城·中考真题)如图,,,.(1)求证:;(2)用直尺和圆规作图:过点作,垂足为.(不写作法,保留作图痕迹)【分析】(1)根据边角边证明即可证明结论成立;(2)根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可.【详解】(1)证明:∵,,,∴,∴;(2)解:所作图形如图,.

11.(2023·江苏宿迁·中考真题)如图,在中,,,.(1)求出对角线的长;(2)尺规作图:将四边形沿着经过点的某条直线翻折,使点落在边上的点处,请作出折痕.(不写作法,保留作图痕迹)【答案】(1)(2)作图见解析【分析】(1)连接,过作于,如图所示,由勾股定理先求出,在中再由勾股定理,;(2)连接,根据轴对称性质,过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案.【详解】(1)解:连接,过作于,如图所示:

在中,,,,,,在中,,,,则;(2)解:如图所示:

12.(2022·江苏无锡·中考真题)如图,△ABC为锐角三角形.(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使∠DAC=∠ACB,且;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若,,,则四边形ABCD的面积为.(如需画草图,请使用试卷中的图2)【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)先作∠DAC=∠ACB,再利用垂直平分线的性质作,即可找出点D;(2)由题意可知四边形ABCD是梯形,利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长,求出梯形的面积即可.【详解】(1)解:如图,∴点D为所求点.(2)解:过点A作AE垂直于BC,垂足为E,∵,,∴,∵,∴,,∴,∵∠DAC=∠ACB,∴,四边形ABCD是梯形,∴,∴四边形AECD是矩形,∴,∴四边形ABCD的面积为,故答案为:.13.(2022·江苏常州·中考真题)(现有若干张相同的半圆形纸片,点是圆心,直径的长是,是半圆弧上的一点(点与点、不重合),连接、.(1)沿、剪下,则是______三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”);(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹,不要求写作法);(3)经过数次探索,小明猜想,对于半圆弧上的任意一点,一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形.小明的猜想是否正确?请说明理由.【答案】(1)直角(2)见详解(3)小明的猜想正确,理由见详解【分析】(1)AB是圆的直径,根据圆周角定理可知∠ACB=90°,即可作答;(2)以A为圆心,AO为半径画弧交⊙O于点E,再以E为圆心,EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA,G、H点分别与A、O点重合,即可;(3)当点C靠近点A时,设,,可证,推出,分别以M,N为圆心,MN为半径作弧交AB于点P,Q,可得,进而可证四边形MNQP是菱形;当点C靠近点B时,同理可证.【详解】(1)解:如图,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB是直角,即△ABC是直角三角形,故答案为:直角;(2)解:以A为圆心,AO为半径画弧交⊙O于点E,再以E为圆心,EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA,G、H点分别与A、O点重合,即可,作图如下:由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6,即四边形EFHG是边长为6cm的菱形;(3)解:小明的猜想正确,理由如下:如图,当点C靠近点A时,设,,∴,∴,∴,∴.分别以M,N为圆心,MN为半径作弧交AB于点P,Q,作于点D,于点E,∴.∵,,,∴,在和中,,∴,∴,∴,又∵,∴四边形MNQP是平行四边形,又∵,∴四边形MNQP是菱形;同理,如图,当点C靠近点B时,采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形,故小明的猜想正确.14.(2022·江苏南通·中考真题)【阅读材料】老师的问题:已知:如图,.求作:菱形,使点C,D分别在上.小明的作法:(1)以A为圆心,长为半径画弧,交于点D;(2)以B为圆心,长为半径画弧,交于点C;(3)连接.四边形就是所求作的菱形,【解答问题】请根据材料中的信息,证明四边形是菱形.【答案】见解析【分析】由作图可知AD=AB=BC,然后根据可得四边形ABCD是平行四边形,再由AD=AB可得结论.【详解】解:由作图可知AD=AB=BC,∵,即,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AD=AB,∴平行四边形ABCD是菱形.15.(2022·江苏淮安·中考真题)如图,已知线段和线段.(1)用直尺和圆规按下列要求作图.(请保留作图痕迹,并标明相应的字母,不写作法)①作线段的垂直平分线,交线段于点;②以线段为对角线,作矩形,使得,并且点在线段的上方.(2)当,时,求(1)中所作矩形的面积.【答案】(1)①见解析;②见解析(2)矩形的面积为【分析】(1)①分别以点A,为圆心,以大于为半径画弧,两弧分别交于点,,作直线与线段交于点O,则所在直线为线段的垂直平分线;②以点O为圆心,的长为半径画弧,再以点A为圆心,线段a的长为半径画弧,两弧在线段上方交于点B,同理,以点O为圆心,的长为半径画弧,再以点C为圆心,线段a的长为半径画弧,两弧在线段下方交于点D,连接,即可得矩形.(2)根据矩形的性质可知道,根据勾股定理可求出的长度,由此即可求出矩形的面积.【详解】(1)解:①线段的垂直平分线,如图所示,②如图,矩形ABCD即为所求.(2)解:如图所示,∵在矩形中,,,,∴在中,,∴矩形的面积是,故答案是:.16.(2022·江苏扬州·中考真题)【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积?【初步尝试】如图1,已知扇形,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线,使扇形的面积被这条直线平分;【问题联想】如图2,已知线段,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形;【问题再解】如图3,已知扇形,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧,使扇形的面积被这条圆弧平分.(友情提醒:以上作图均不写作法,但需保留作图痕迹)【答案】见解析【分析】【初步尝试】如图1,作∠AOB的角平分线所在直线即为所求;【问题联想】如图2,先作MN的线段垂直平分线交MN于点O,再以O为圆心MO为半径作圆,与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点;【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N,再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M,然后以O为圆心,OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求.【详解】【初步尝试】如图所示,作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求;【问题联想】如图,先作MN的线段垂直平分线交MN于点O,再以O为圆心MO为半径作圆,与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点;【问题再解】如图,先作OB的线段垂直平分线交OB于点N,再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M,然后以O为圆心,OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求.17.(2022·江苏镇江·中考真题)操作探究题(1)已知是半圆的直径,(是正整数,且不是3的倍数)是半圆的一个圆心角.操作:如图1,分别将半圆的圆心角(取1、4、5、10)所对的弧三等分(要求:仅用圆规作图,不写作法,保留作图痕迹);交流:当时,可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗?探究:你认为当满足什么条件时,就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分?说说你的理由.(2)如图2,的圆周角.为了将这个圆的圆周14等分,请作出它的一条14等分弧(要求:仅用圆规作图,不写作法,保留作图痕迹).【答案】(1)作图见解析;交流:,或;探究:正整数(不是3的倍数),理由见解析(2)作图见解析【分析】(1)由操作可知,如果可以用与的线性表示,那么该圆弧就可以被三等分(2)将圆周14等分就是把所对的圆周角所对弧三等分即可,给出一种算法:【详解】(1)操作:交流:,或;探究:设,解得(为非负整数).或设,解得(为正整数).所以对于正整数(不是3的倍数),都可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分;(2)18.(2022·江苏泰州·中考真题)已知:△ABC中,D为BC边上的一点.(1)如图①,过点D作DE∥AB交AC边于点E,若AB=5,BD=9,DC=6,求DE的长;(2)在图②,用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F,使∠DFA=∠A;(保留作图痕迹,不要求写作法)(3)如图③,点F在AC边上,连接BF、DF,若∠DFA=∠A,△FBC的面积等于,以FD为半径作⊙F,试判断直线BC与⊙F的位置关系,并说明理由.【分析】(1)由题意易得,则有,然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解;(2)作DT∥AC交AB于点T,作∠TDF=∠ATD,射线DF交AC于点F,则点F即为所求;(3)作BR∥CF交FD的延长线于点R,连接CR,证明四边形ABRF是等腰梯形,推出AB=FR,由CF∥BR,推出,推出CD⊥DF,然后问题可求解.【详解】(1)解:∵DE∥AB,∴,∴,∵AB=5,BD=9,DC=6,∴,∴;(2)解:作DT∥AC交AB于点T,作∠TDF=∠ATD,射线DF交AC于点F,则点F即为所求;如图所示:点F即为所求,(3)解:直线BC与⊙F相切,理由如下:作BR∥CF交FD的延长线于点R,连接CR,如图,∵∠DFA=∠A,∴四边形ABRF是等腰梯形,∴,∵△FBC的面积等于,∴,∴CD⊥DF,∵FD是⊙F的半径,∴直线BC与⊙F相切.19.(2022·江苏宿迁·中考真题)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点、、、、均为格点.【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图①的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、,相交于点并给出部分说理过程,请你补充完整:解:在网格中取格点,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中,在Rt△CDE中,,所以.所以∠=∠.因为∠∠=∠=90°,所以∠+∠=90°,所以∠=90°,即⊥.(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心,为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点P,使=,写出作法,并给出证明:(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦上找出一点P.使=·,写出作法,不用证明.【答案】(1);见解析(2)见解析【分析】(1)取格点,作射线交于点P,则根据垂径定理可知,点P即为所求作;(2)取格点I,连接MI交AB于点P,点P即为所求作.利用正切函数证得∠FMI=∠MNA,利用圆周角定理证得∠B=∠MNA,再推出△PAM∽△MAB,即可证明结论.【详解】(1)解:【操作探究】在网格中取格点,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中,在Rt△CDE中,,所以.所以∠=∠.因为∠∠=∠=90°,所以∠+∠=90°,所以∠=90°,即⊥.故答案为:;取格点,作射线交于点P,点P即为所求作;(2)解:取格点I,连接MI交AB于点P,点P即为所求作;证明:作直径AN,连接BM、MN,在Rt△FMI中,,在Rt△MNA中,,所以.∴∠FMI=∠MNA,∵∠B=∠MNA,∴∠AMP=∠B,∵∠PAM=∠MAB,∴△PAM∽△MAB,∴,∴=·.20.(2021·江苏南京·中考真题)如图,已知P是外一点.用两种不同的方法过点P作的一条切线.要求:(1)用直尺和圆规作图;(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.【答案】答案见解析.【分析】方法一:作出OP的垂直平分线,交OP于点A,再以点A为圆心,PA长为半径画弧,交于点Q,连结PQ,PQ即为所求.方法二:根据等腰三角形的性质三线合一作的切线,作射线,交于点,以为圆心,为半径作,以为圆心,的长为半径画弧交于点,连接,交于点,则是等腰三角形,,则,即为所求.【详解】解:作法:连结PO,分别以P、O为圆心,大于PO的长度为半径画弧,交于两点,连结两点交PO于点A;以点A为圆心,PA长为半径画弧,交于点Q,连结PQ,PQ即为所求.作法:作射线,交于点,以为圆心,为半径作,以为圆心,的长为半径画弧交于点,连接,交于点,则是等腰三角形,,则,即为所求.21.(2021·江苏常州·中考真题)如图,B、F、C、

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