2023年考研数学二真题

2023年全国硕士硕士入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一种选项

是符合题目要求的.

1-COSy/x

(1)若函数=｛一晟—")在x=0连续，则

b,x<0

(A)ab=—(B)ab=--(C)ab=0(0)ab=2

22

(2)设二阶可到函数/(x)满足/⑴=/(-1)=1,/(0)=—1且/"(x)>0,则

(A)£/(X)6t¥>0

(B)Jf(x)dx<0

,0pl

(C)JJ(x)公〉｝/(尤)公

(D)£f(x)dx<£f(x)dx

(3)设数列｛%,,｝收敛，则

(A)当初limsinx,=0,limx=0

rt-KOH-♦CCzz

(B)当+小/)=0时，则limx.=0

Y〃一

(C)当lim(x+x2)=0,lim=0

“—>8"n〃一>8

(D)当初lim(x+sinx〃)=0,limx=0

rt—>00zzW—>00M

(4)微分方程y〃-4y'+8y=/'(i+cos2x)的特解可设为y&二

(A)Ae2x+e~\Bcos2x+Csin2x)

(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2\Bcos2x+Csin2x)

(D)Ajce2x4-xe2x(Bcos2x+Csin2x)

(5)设/(x)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y),都有曳工3>0,如3则

oxdy

(A)/(O,O)>/(1,1)

(B)/(O,O)</(1,1)

(C)/(O,D>/(1,O)

(D)/(O,1)</(1,O)

(6)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处,图中，实线表达甲的速度

曲线□=%(/)(单位:m/s)虚线表达乙的速度曲线u=三块阴影部分面积的数值依

次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为*)(单位:S),则

(A)Z0=10(B)15<?O<20(C)r()=25(D)?o>25

000

(7)设A为三阶矩阵，「=(%,%，%)为可逆矩阵，使得尸7尸=o10则

002

A(at,a2,a3)=

(A)ax+a2

(B)%+2%

(C)a2+%

(D)。]+2%

'20O-'21O-■]0o'

(8)已知矩阵4=021,B=020,c=020,则

001001000

(A)A与C相同，B与C相同

(B)A与C相同，B与C不相同

(C)A与C不相同，B与C相同

(D)A与C不相同，B与C不相同

二、填空题：9~14题，每题4分，共24分.

(9)曲线y=x(1+arcsin2x)的斜渐近线方程为

(10)设函数y=y(x)由参数方程I"='+e’拟定，则_________

［y=sintdx'…

(12)设函数/'(x,y)具有一阶连续偏导数，且

df(x,y)=yeydx+x(1+y)f(0,0)=0,则f(x,y)=

(13)

’41_2、f

(14)设矩阵/12a的一种特征向量为1,则@=

31

2/

三、解答题：15~23小题,共94分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.

(15)(本题满分10分)

求lim

(16)(本题满分10分)

2阶连续性偏导数，y=/■(e，,cosx),求电d2y

设函数f(“,/)具有

\7Axo'dV

>=o*=0

(17)(本题满分10分)

求lim^"^kn(1+k-\

18气nIn)

(18)(本题满分10分)

已知函数y(x)由方程二+y3-+3y-2=0拟定，求y(x)的极值

(19)(本题满分10分)

/(x)在［0,1］上具有2阶导数，/⑴>0,1呼号<0,证明

(1)方程/(x)=0在区间(0,1)至少存在一种根

(2)方程/(x)+/"(x)+[/'(x)『=O在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根

(20)(本题满分11分)

己知平面区域〃={(x,y],2+/<2叶，计算二重积分JJ(x+I)?dxdy

D

(21)(本题满分11分)

3

设y(x)是区间(0,万)内的可导函数，且y(l)=0,点尸是曲线L:y=y(x)上的任意一

点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,匕,)，法线与x轴相交于点(X.,0),若X°=yp

,求L上点的坐标(x,y)满足的方程。

(22)(本题满分11分)

三阶行列式A=(',%,%)有3个不同的特征值，且%=4+2a2