高考数学-计数原理(含22年真题讲解)

高考数学.计数原理（含22年真题讲解）

1.【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】

【分析】

利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】

因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种

排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,

有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：

3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

4432

2.[2022年北京】若（2x—I）=a4x+a3x+a2x+arx+a0,则g+a2+a4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】

【分析】

利用赋值法可求+a2+a4的值.

【详解】

令X=1,则+%+%=L

令X——1,则=（-3）4—81,

故&4+=号^=41.

故选：B.

3.【2022年新高考1卷】（1一9。+丫）8的展开式中/丫6的系数为（用

数字作答）.

【答案】-28

【解析】

【分析】

(1一9(x+y)8可化为(x+yK-?(x+y",结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】

88

因为(1一£)(x+y)=(x+y)-;(x+y>,

所以(1-9(X+y)8的展开式中含/y6的项为CM2y6—拉3y5=—28%2y6,

(l-^)(x+y)8的展开式中/y6的系数为一28

故答案为：-28

42345

4.[2022年浙江】已知多项式(x+2)(%—I)=a0+arx+a2x+a3x+a4x+a5x,

则,al+a2+a3+a4+a5=•

【答案】8-2

【解析】

【分析】

第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出与，再令x=l即可得

出答案.

【详解】

含/的项为：x'^4'x'(-1)3+2-^4,x2'(—I)2=~4x2+12x2=8x2,故a?=8；

令x=0,即2=即，

aaa

令x=1,即0=a0++a2+3+4+s,

Qj+。2+。3+。4+。5=-2,

故答案为：8；—2.

2()22年高考模拟试题

1.(2022•湖南•长沙县第一中学模拟预测)展开式中的常数项为()

A.60B.64C.-160D.240

【答案】A

【解析】

【分析】

先得到二项式的通项公式，再令x的指数为0得到项数，从而得到常数项大小.

【详解】

解：(4-彳]的二项展开式的通项公式为

6-r6-3r

rrr

Tr+]=C^x~-(-2)-x-=(-2)-C；-•令6—3r=0,解得r=2,

所以展开式的常数项为(-2)2=60.

故选：A.

2.(2022•江苏无锡•模拟预测)二项式(1+2X)2+(1+2XY++0+2x)，的展开式中，含/项

的二项式系数为()

A.84B.56C.35D.21

【答案】B

【解析】

【分析】

易知展开式中，含/项的二项式系数为c；+c；+c；+c；+c：+c；,再利用组合数的性质求

解.

【详解】

解：因为二项式为(1+2力2+(1+24++(1+2X)7,

所以其展开式中，含/项的:项式系数为：

c；+c；+c+c；+c：+c；,

=c：+c：+c；+c：+C，

=C+c；+c：+c；,

=c：+c：+c；,

=c；+c；,

<=56.

故选：B

3.（2022•湖南•邵阳市第二中学模拟预测）将5名志愿者分配到4个不同的社区进行抗疫，

每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.120种B.240种C.360种D.480种

【答案】B

【解析】

【分析】

将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1,再将这4组志愿者分配到4个不同

的社区，利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】

将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1,再将这4组志愿者分配到4个不同

的社区，

由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为C；A：=240.

故选：B.

4.（2022•吉林•三模（理））对于（：一2石）的展开式，下列说法不正确的是（）

A.有理项共5项B.二项式系数和为512

C.二项式系数最大的项是第4项和第5项D.各项系数和为-1

【答案】C

【解析】

【分析】

由二项式展开式的通项公式与二项式系数的性质求解判断.

【详解】

的展开式的通项公式为

三-9

*=叱1（2何=2rC；x2

当r=0,2,4,6,8时,展开式的项为有理项,

所以有理项有5项，A正确；

所有项的二项式系数和为29=512,B正确;

因为二项式的展开式共有10项，

所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误；

令x=l，所有项的系数和为（1—2）9=—1,D正确.

故选：C

5.（2022•全国•模拟预测（理））为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人

才，促进高校毕业生更高质量就业，教育部于2021年首次实施供需对接就业育人项目.某

市今年计划安排甲、乙、丙3所高校与5家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接1

所高校，且必有高校与用人单位对接.若甲高校对接1家用人单位，乙、丙两所高校分别至

少对接1家用人单位，则不同的对接方案共有（）

A.5（）种B.6（）种C.70种D.80种

【答案】C

【解析】

【分析】

将方案分为乙、丙高校各对接2家用人单位和乙、丙高校其中一所对接1家用人单位，另一

所对接3家用人单位两种情况，根据分组分配的方法可计算得到每种情况对应的方案数，加

和即可求得结果.

【详解】

若乙、丙高校各对接2家用人单位，则对接方案有C；C：=30种；

若乙、丙高校其中一所对接1家用人单位，另一所对接3家用人单位，则对接方案有

C；C；C；=40种；

综上所述：不同的对接方案共有30+40=70种.

故选：C.

6.（2022•黑龙江•大庆实验中学模拟预测（理））已知

72

（2x-3）=a0+t71（x-I）+tz,（x-l）++%（x-l）7,则%=（）

A.280B.35C.-35D.-280

【答案】A

【解析】

【分析】

将(2x—3)=%+4(x—1)+外(x—1)+化为

(2f—1)7=%+。/+。/++a/,利用展开式的通项求解即可.

【详解】

7

(2x-3)=a0+at(x-l)+a2(^-1)++%(x-l)，,

令x-l=f,则Af+1

・'.(2f—1)+厂++%〃，

⑵-I),展开式的通项为：J=C；⑵产(-1)',

令r=4,可得C；⑵丫=280儿所以为=280.

故选：A.

7.(2022•江苏•常州高级中学模拟预测)(x2-x+l)(x-l)5的展开式中/的系数为()

A.-25B.25C.-5D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意(V-X+1)(X—l)5=x2(x-l)5—Mx—l)5+(X—1)5,借助二项展开式通项得(X-1月的

展开式为兀=(-1)七：/*«=0,1,2,...,5,分析求解.

【详解】

0(x2-X+1)(X-1)5=f(x-l)5-x(x-l)5+(X-I)5

(x-l)5的展开式为心=仁/*(—1)*=(-1)七：产上火=0,1,2,...,5,

令女=3,得(一1)七12=-10炉,则/(-10/)=-10/,

令人=2,得(-ifc；%3=10V,则_(10马=-10d,

令k=l,得(―l)C；d=—5x“，

团(V—x+l)(x—1)5的展开式中/的系数为(一10)+(—10)+(—5)=—25.

故选：A.

8.(2022•全国•模拟预测)数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学

家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例

如正整数12=3?+俨+产+尸=22+22+23+0tT^25=a2+h2+c2+d2,其中a,b,c,d均

为自然数，则满足条件的有序数组（a,6,c,d）的个数是（）

A.28B.24C.20D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解

【详解】

显然。，b,c,d均为不超过5的自然数，下面进行讨论.

最大数为5的情况：

①25=5,+02+02+02,此时共有4=4种情况；

最大数为4的情况：

②25=不+3?+02+02，此时共有3=12种情况；

③25=4?+2?+2?+广，此时共有A：=12种情况.

当最大数为3时,32+32+22+22>25>32+32+22+故没有满足题意的情况.

综上，满足条件的有序数组（a,be"）的个数是4+12+12=28.

故选:A

9.（2022•福建省福州格致中学模拟预测）已知%=2"+1,则关于

（•¥-4）（工一生）（工一生）（》一。4）（工一。5）（工一46）的展开式，以下命题错误的是（）

A.展开式中系数为负数的项共有3项

B.展开式中系数为正数的项共有4项

C.含d的项的系数是T26

D.各项的系数之和为221

【答案】C

【解析】

【分析】

写出展开式各项的系数判断其正负即判断选项ABC的真假；求出各项的系数之和即可判断

选项D的真假.

【详解】

解:原式=(x-3)(x-5Xx-9)(x-17)(x-33)(x-65),所以f的系数为1,是正数:炉的系

数为一3-5-9-17-33-65=-132<0,x4的系数为

3x5+3x9+3x17+3x33+3x65+5x9++33x65>0,V的系数为

(-3)(-5)(-9)+(-3)(-5)(-17)++(-17)(-33)(-65)<0,(的系数为

3x5x9x17++9xl7x33x65>0,*的系数为

(—3)(—5)(—9)(—17)(—33)++(-5)(-9)(-17)(-33)(-65)<0,常数项为3x5x9xl7x33x65>0,

所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB

正确，选项C错误.

设/(x)=(x-3)(x-5)(x-9)(x-17)(x-33)(x-65),所以/⑴=2"⑵"33=2?1.所以

各项的系数之和为22'，所以选项D正确.

故选：C

10.(2022•辽宁•鞍山一中模拟预测)数列｛”"｝中，4=1,%=2勺+1,

C匕+仁%+©"+/1,+<3；%+(：况的值为()

A.761B.697C.518D.454

【答案】D

【解析】

【分析】

由%+1=2(%+1),结合等比数列的定义和通项公式可求出例=2"-1,结合二项式定理可

求出+C；/+Cja,+C；%+C；%+的值.

【详解】

解：因为%+1=24+2=2(4,+1),又q=l,

所以｛%+1｝以2为首项，2为公比的等比数列，所以4+1=2x2"'=2",所以%=2"-1,

则++Cg%+C；“4+C；%+C；“6

=C"x2+Cix22+C5x23+C1x24+C>25+C^x26-(C®+Cj+C^+C^+C*+C^)

XC°X2+C^X22+C^X23+C>24+C*X23+C^X26

=2x(C；x2"+C；X2,+C；X22+C^X23+C^X24+C^X25)

=2x(1+2)5=486,

C°+C；+C；+C；+c；+C；=2$=32,

所以Cjfl,+C'5a2+Cj«3+Cj«4+Cj«5+C)6=486-32=454,

故选：D

11.(2022・湖北•华中师大一附中模拟预测)某地区安排4B,C,D,E,F六名党员志愿者

同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且4

B两人安排在同一个社区，C,。两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为()

A.72B.84C.90D.96

【答案】B

【解析】

【分析】

分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种

分配方式再分A8两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去•个社区，进行求解，最后相

加即为结果.

【详解】

第一种分配方式为每个社区各两人，则CE-组，DF一组，或CF-组，DE一组，由2种分

组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有2A；=12种；

第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，

当A8两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或。为一

组，有C；C；种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有C；C：A；=12种分配方法；

当A8加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或。，则有C；种选择，再将剩余3人分为

两组，有C；C；种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有C；C；C；A；=36种分配方

法;

若选择的不是C或。，即从E或F中选择1人和A8一起，有C；种分配方法，再将CD和剩

余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有2C；A；=24

种分配方法，

综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式

故选：B

12.（2022•内蒙古•海拉尔第二中学模拟预测（理））《数术记遗》是《算经十书》中的一部,

相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两

仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算

和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、

了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法

只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（）

种.

A.108B.136

C.126D.240

【答案】C

【解析】

【分析】

对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果.

【详解】

分以下两种情况讨论：

①若甲只收集种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、内、T

三人，

此时，不同的收集方案种数为3C；A；=108种；

②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算

法分配给乙、丙、丁三人，

此时，不同的收集方案种数为C；A；=18种.

综上所述，不同的收集方案种数为108+18=126种.

故选：C.

13.（2022•广东佛山•模拟预测）"五经"是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春

秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了"五经"知识讲座，每经排

1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有种.

【答案】72

【解析】

【分析】

由于《诗经》、《春秋》分开排，先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，然后再把《诗经》、

《春秋》插入到4个空位中即可得到答案

【详解】

先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有A；种排法

再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有A：种排法

所以满足条件的情形共有A；A：=72种.

故答案为：72

14.（2022•上海市光明中学模拟预测）已知二项式（丁-3丫，则其展开式中/的系数为

【答案】-540

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】

由题意可知，卜,|J的展开式的通项公式为=C；x（x2frx^-|J=（-3）rxC；xx'2-3r,

令12—3厂=3,解得/*=3.

所以二项式一;『展开式中F的系数为（_3）,螺=（-27*20=-540.

故答案为：-540.

15.（2022•吉林・三模（理））为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、

辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以"蔬菜包”的形

式发给市民.若一个“蔬菜包"中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两

种，则可以组成种不同的"蔬菜包”.

【答案】27

【解析】

【分析】

运用加法分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可.

【详解】

当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为C，C；=3：

当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为C；（C；.C；+C；C；）=2（3x3+3xl）=24,

所以可以组成种不同"蔬菜包"种数为3+24=27,

故答案为：27

16.（2022•湖南•模拟预测）（2-巧（》+1）5的展开式的中X”的系数是.

【答案】5

【解析】

【分析】

由（2T3）（X+1）5=2（X+1）、X3（X+］）5,则分别求出（工十炉中的一与》的系数即可求解.

【详解】

（2-X3）（X+1）5=2（X+1）5-X3（X+1）5,所以展开式中x，的系数是2©-4C；=5.

故答案为：5

17.（2022・江苏无锡•模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出

第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名

次排列情况共有种.

【答案】54

【解析】

【分析】

根据甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分类求解.

【详解】

解：因为甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，

当甲是第5名时，则乙可以为第2,3,4名，有3种情况,

剩下的3人全排列有A；=6种，

此时，由分步计数原理得共有3x6=18种情况；

当甲不是第5名时，则甲乙排在第2,3,4名，有A；=6种情况，

剩下的3人全排列有A；=6种，

此时，由分步计数原理得共有6x6=36种情况；

综上：甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有18+36=54

种情况，

故答案为：54

18.（2022•山东泰安・模拟预测）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过："美的线型和其他一切美

的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎

无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现,

20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的

联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左

右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9

个（11,22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是.

守

3菩

*蒙

,

茶壶回文诗塞%

4褶

G>£*

+桑

武

4戈

软

【清】黄伯权【倒读】M会

”

大,

•

戊

分

«D伯

薄月遥名•雾.

【答案】30

【解析】

【分析】

所有四位数的回文数中要能被3整除，这四个数的和是3的偶数倍数，分类讨论即可.

【详解】

要能被3整除，则四个数的和是3