2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型训练：函数的对称性（一）（含解析）

《函数的对称性》(一)

考查内容：主要涉及判断函数的对称性，由对称性求函数的解析式、函数

值和研究函数的单调性等

选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.函数/(x)=2x—工的图象关于()

X

A.＞轴对称B.直线y=一%对称

c.直线y=x对称D.坐标原点对称

2.已知定义在R上的函数y=/(x)满足条件/(》+^］=一/(X)，且函数

y=是奇函数，由下列四个命题中不正确的是()

A.函数y=/(x)是周期函数

B.函数y=/(x)的图象关于点2刀］对称

C.函数y=/(x)是偶函数

D.函数y=/(x)的图象关于直线x=［对称

3.已知函数/(x)=sin(x—l)+x—1,则下列结论正确的是()

A.〃尤)的图象关于直线％=1对称

B./(力的图象关于直线尤=—1对称

C.〃力的图象关于点(1,0)中心对称

D.”力的图象关于点(TO)中心对称

4.已知函数y=«r)是定义域为R的函数，则函数y=/(x+2)与y=/(4—x)的图象

()

A.关于x=l对称B.关于x=3对称

C.关于y=3对称D.关于(3,0)对称

5.函数/(x)=l—/占的图象的对称中心为()

A.（0,0）C.（0,1）D.（0,2）

2

6.对于函数/(》)=]不的图象，下列说法正确的是()

A.关于直线x=l对称B.关于直线y=x对称

C.关于点(1,0)对称D.关于点(0,1)对称

7.函数/(%)=—匚+二」+—对称中心为()

x+1x+2x+3

A.(-4,6)B.(-2,3)C.(T,3)D.(-2,6)

8.设函数y=/(x)的图像关于直线％=1对称.若用,1时，/(x)=(x+l)2—1,则

当x>l时，Ax)的解析式是().

A./(x)=(x+3)2-1B./(x)=(x-3>-1

C./(%)=(X-3)2+1D.f(x)=(x-l)2-l

9.已知函数”%)=广4+2,且满足〃5+x)=/(3—x),则/⑹=().

A.29B.11C.3D.5

10.若函数/(x)=(l—/)(尤2+依+b)的图像关于直线％=_2对称，则〃X)的最大

值为()

A.15B.16C.0D.20

H.设函数y=/(%)的图象与丁=2i的图象关于直线y=-x对称，且

/(-1)+/(-8)=-5,贝匹=()

A.1B.4C.-1D.-4

12.已知函数/(%)满足:/(2-%)=/(%),当

时，/(x)=|3s\若不等式/(x)26x+a恒成立，则实数a的

X-4,x€[2,+叼，''

取值范围是

A.a<-13B.a>13C.a>12D.a<-12

填空题

13.已知奇函数y=/(x)的图象关于直线x=—2对称，当xe[0,2]时，

〃x)=3x,则/(—9)=.

14.7'(x)是R上的奇函数且满足/(3—x)=/(3+x),若xe(0,3)时，

/(%)=x+lgx,则在(-6,-3)上的解析式是.

15.函数y=/(x)在[2,+co)上单调递增，且/(x)=/(4-x)恒成立，则关于x的不

等式/(x+3)>f(2x2+2)的解集为

16.已知定义在R上的奇函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称，当—1<X<0

时，"x)=TogJf),则方程/(力-；=0在(0,6)内的所有根之和为一

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知函数/(x)=-^―,xN—根的图象与y=g(x)的图象关于直线丁=x对称.

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)若/(x)=g(£),求实数机的值.

18.已知函数/(x)=|x-词和g(x)=f：2+c(m,c为常数)，且对任意xeR,都

有/(x+2)=/(—x)恒成立.

(1)求加的值；

⑵对任意的玉，X2G[-1,4],都有/&)—g(9)Wl成立，求实数c的取值范围.

19.已知函数/(x)=V-2ov+l.

(D若对任意的实数X都有〃l+x)=/(l—x)成立，求实数。的值；

(2)若/(尤)在区间[L+8)上为单调增函数，求实数。的取值范围；

(3)当时，求函数/(%)的最大值.

20.已知函数/'(x)和g(x)的图象关于原点对称，且/(x)=x2—2x.

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)解不等式g(式

21.已知函数〃龙)的图象与函数丸⑺=%+-的图象关于点4(0,1)对称.

(1)求函数/(%)的解析式；

⑵若g(X)=4(X)+G；,且g(x)在区间(0,4］上为减函数，求实数。的取值范围.

22.已知函数〃力与8(%)=》+工+2的图象关于点4。,2)对称.

X

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若函数/(x)=/(x)—c有两个不同零点，求实数c的取值范围；

(3)若函数五(月=/(%)+，)在(2,4)上是单调减函数，求实数〃的取值范围.

x-2

《函数的对称性》(一)解析

1.【解析】函数的定义域为(-8,。)(0,+8)，

因为f{-x)=-2x+-=-(2x--)=-/(x)，所以函数/(%)是奇函数，

XX

则/(X)的图象关于原点对称.故选：D

2.【解析】因为/、+0=-/(%)，所以/(x+3)=-/[x+'|]=/(x),即知函

数y=/(x)是一个周期为3的周期函数，A正确；由于函数丁=/、-是奇函

数，所以函数＞=/卜-皆的图象关于点(0,0)对称，而函数y=/(x)的图象是由

函数y=-的图象向左平移;个单位得到，即函数y=/(x)的图象关于点

[一]。]对称，即有/[-5+x]+/(—x)=°,又

+=+=所以/(x)=/(f)，即函数y=/(x)是偶函

数，B,C正确.故选：D.

3.【解析】对于A选项，/(O)=-sinl-l,/(2)=sinl+l,〃2)w/(0),

所以，函数y=/(x)的图象不关于直线x=l对称，A选项错误；

对于B选项，/(-2)=-sin3-3,则/(—2)w/(O),

所以，函数y=/(尤)的图象不关于直线x=—1对称，B选项错误；

对于C选项，/(2-x)=sin[(2-%)-1]+(2-x)-1=sin(1-%)+1-%=-f(%),

所以，函数y=/(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，C选项正确；

对于D选项，/(-2)^-/(0),所以，函数y=/(x)的图象不关于点(—1,0)成中心

对称，D选项错误.故选：C.

4.【解析】设？(%,%)为y=/(x+2)图象上任意一点，

则%=〃Xo+2)=/(4-(2,%)),

所以点。(2-尤。,%)在函数y=〃4-x)的图象上，

而「(七,%)与。(2-%,%)关于直线1=1对称，

所以函数y=/(x+2)与y=/(4-x)的图象关于直线％=1对称.故选：A

5.【解析】由题意知，f(x)=l——丝二=2—令g(x)=_e'+e1

易知g(x)为奇函数，其图象的对称中心为(0,0),再由平移的知识可知，"X)的图

象的对称中心为(0,2),故选：D.

21-x

6.【解析】V/(x)=---1+1=-!P—^+1,

7e*+lex+1

令g(x)=Ml(xe©，贝禽㈠卜三^三—8⑴，

.•.g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，

将g(X)图象向上平移1个单位长度可得“X)图象，

所以/(X)图象关于(0,1)对称.故选：D

7•【解析】设g(x)=--1-----—(x*±l),

x-1Xx+1

贝Ug(-%)=-------------------=-^—+—+—^—=-g(x),所以函数g(x)为奇

—X—1—X—X+1X—1XX+1

函数，图象关于原点对称，易知=式+」~?]=g(x+2)+3,

1x+1x+2x+3J

所以函数/(x)的对称中心为(—2,3).故选：B

8.【解析】当先＞1时,在/(X)上任取一点尸(x,y),

P(x,y)关于直线x=1对称的点P'(2—x,y)在f(x)=(x+1)2-1±,

所以y=(2—x+l)2—1,即y=(x—3)2—1,故选：B.

9.【解析】因为/(5+x)=/(3—x),所以/(%)的图象关于x=4对称，

而/(%)=3心4+2关于x=a对称，所以。=4,/(6)=3M+2=11.

故选：B.

10.【解析】；函数/(x)=(l—必)卜2+依+6)的图像关于直线I=_2对称，

•••=3)=0且/⑴=/(-5)=0,

」一(一3月[(一3)2+”一3)+可=0ra=8

[1—(―5)][(—5)+人(—5)+可=0也=15

因此，/(x)=—%4—8x3—14-x"+8%+15,

求导数得f(x)=-4x3-24f—28x+8,

令/'(x)=0,解得玉=_2—石,々=—2，&=_2+6,

当xe(—oo,-2—百)时，/'(x)>0；

当6,-2)时，/'(x)<0；

当xe(—2,-2+百)时，/(%)>0;

当彳6(_2+括,+00)时，yf(x)<0；

•••〃龙)在区间(-8,-2_逐)、卜2,-2+^/^)上是增函数，

在区间卜2-V^,-2)、卜2+6\+co)上是减函数，

又/(-2-75)=/(-2+V5)=16,••"(£)的最大值为16.故选：B

11.【解析】设y=/(x)上任意一点？(羽丁)，则尸'(一%—x)在y=2以图象上，

即2->+“=_%,.•.y=a_log2(-x),即/(x)=a_log2(—x),

/(—l)+/(—8)=—5,得a-log21+a-log28=-5,2a—3——5,:.a=—1.

故选：C.

12•【解析】由"2—x)=/(x),可知函数/(九)图像关于直线x=l对称，作出函数

/(九)示意图，如图所示.显然，当M2时，/(%)=X2-4,f(x)=2x,由题意，

切线斜率为6,所以2%=6,解得％=3,

所以在切点(3,5)的切线方程为y—5=6(x-3)，即y=6x-13,

由/(x)»6x+a恒成立，可得y=/(x)图像与y=6x—13的图像相切或恒在

y=6x-13图像的上方，故所求。的范围为aW—13,故选A项.

13.【解析】由题意奇函数y=/(x)的图象关于直线1=—2对称，

贝U/(x)=/(T—》)=一/(f)则得

/(x+8)=/(x)n/(-9)=/(-1)=-f(1)=-3.

14.【解析】因为Ax)是R上的奇函数且满足/(3-x)=/(3+x),

所以力3+(x+3)]=/[3—(%+3)],即/(X+6)=/(-%)=-于(X).

设xe(-6,-3),所以x+6e(0,3)./(x+6)=x+6+lg(x+6)=一于(x),

所以/(x)=-x-6-lg(x+6).

15.【解析】/(x)=/(4—幻恒成立，.•.函数关于x=2对称，

---函数丁=/(幻在[2,+8)上单调递增，二函数在(-8,2]单调递减，

・关于x的不等式/(x+3)>/(2f+2),A|X+3-2|>|2X2+2-2|,

解得X+1>2JT,即〈或〈I),解得一一<x<l,

[x+l>0[x+l<02

故不等式的解集为(-;1).

16.【解析】因为奇函数y=/(x)在—1W尤<0时有—xe(O,l],

即/(一无)=一l0gjx=—/(尤)n/(%)=log工尤，

22

又图象关于直线x=l对称，贝U/(x)=/(2—x)=—/(—工)，

即/(%)=—〃2+x)=/(x+4),所以函数是以4位周期的周期函数,

显然/(x)—g=0在(0,6)内共有4个根，且孑+%+毛+为=2+10=12

■/、0/\2%+1-1—2m

17.【解析】(1)/(%)=-----=2+------,

x+mx+m

._1—2m/、1-2m1-my

令y=2H-------("2)，解得片77f=尸

x+m

所以/(%)的反函数为丁=匕与，

x-2

函数/(x)=±/xw—根的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,

g(尤)即为/(%)的反函数，,g(x)=1twc(尤力2).

%—2

2x+l1-mx

,一,

x+mx-2

即212—3x-2=2

—nvc^-(m-2\x+m,:.m=-2,实数m的值为-2.

18.【解析】(1)由/(x+2)=/(—x)得|x+2-讨=卜工+和|恒成立,

因为x+2—加=—%—加不恒成立，即x+2—m=x+根恒成立，

所以加=1.

(2)由题意可转化为/(x)1mx—g(x)血nW1，

由(1)得/(%)=,—1,对称轴为x=l,

当xe［T4］时,"『"4)=3；

当xe［—1,4］时,=g(4)=-16+c

故3—(―16+c)Wl,Mc>18,即实数c的取值范围是cN18.

19.【解析】(1)由题意知函数/(幻=必一2奴+1的对称轴为1,即。=1

(2)函数/(幻=必—2以+1的图像的对称轴为直线x=。；

y=/(x)在区间［1,内)上为单调递增函数，得，a<l

(3)函数图像开口向上，对称轴x=a,

当a<0时，x=l时，函数取得最大值为：/(x)max^2-2a

当。>0时，x=—1时，函数取得最大值为：/(x)max=2+2a

当。=0时，1=1或—1时，函数取得最大值为：/(x)max=2

20.【解析】(1)设函数y=/(x)的图象上任意一点。(今,%)关于原点的对称点为

『°'J

%=—X

(%y),贝卜•点。(%,乂)在函数/(x)的图象上,

q=0,I、为——y

2

:,-y=x1+2x,i^g(x)=-x2-2x.

(2)由g(%).由(%)一|%一1|可得2人一|1一1区0,

当xNl时，2/一x+lwo，此时不等式无解；

当X<1时，2x2+x-W,.-.-l*L因此原不等式的解集为-1二.

2L2J

21.【解析】⑴•••/(X)的图象与:(%)的图象关于点4(0,1)对称,设“X)图象上

任意一点坐标为8(龙,丁)，其关于4(0,1)的对称点5,(x',y'),

2x'=-x

则《

y+y'1

2

,：±.,：.y'=x'+\.

X

2—y——x---,y—x~\---F2,即f—x-\---F2.

XXX

(2)Vg^x)=xf^x)+ax=d+(q+2)x+l且g(x)在(0,4]上为减函数，

•••一丁>4,即aW—10.。的取值范围为(―8,—10].

22.【解析】(1)在函数y=/(x)的图象上任取一点(x,y),

则该点关于点A的对称点(2—x,4—y)在函数g(