2022-2023学年九年级数学上学期复习备考切线的有关计算与证明解答题专练【人教版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.11切线的有关计算与证明解答题专练（培优强化30题）

一、解答题

1.（2022•内蒙古包头•中考真题）如图，4B为。。的切线，C为切点，。是。。上一点，过点。作DF14B,

垂足为RDF交O。于点E,连接EO并延长交。。于点G,连接CG,OC,。。，已知/DOE=2/CGE.

备用图

（1）若O。的半径为5,求CG的长；

（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论.（请用两种证法解答）

【答案】⑴58

⑵DE=2EF,证明见解析

【分析】（1）由题意得，NCOE=2乙CGE,根据NDOE=2"GE得乙COE=乙DOE,根据切线的性质得。C1AB,

即4。。3=90。，根据题意得NDFB=90。，则NOCB=ADFB=90。，即可得。C||DF,根据角之间的关系和

边之间的关系得^ODE是等边三角形，即可得...NDOE=60°,贝IkCGE=30。,根据题意得,GE=10,Z.GCE=

90。，在RtAGCE中，根据锐角三角形函数即可得；

（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，AOCE为等边三角形，可得NECF=30。，在RtACEF中，

根据直角三角形的性质得EF=即OE=2EF；方法二：连接CE,过点。作。H1DF,垂足为根

据题意得，四边形OCFH是矩形，所以CF=0H,根据等边三角形的性质得OE=OE,根据边之间的关系得

CE=OE,根据HL得Rt△CFEmRt△OHE,即可得EF=EH,由此即可得。E=2EF.

解：如图所示，连接CE.

G,D

ALCFB

9：CE=CE,

：.^COE=2Z.CGE,

V/.DOE=2Z.CGE,

：.Z.COE=乙DOE,

・・・ZB为。。的切线，C为切点,

：.0CLAB,

：.^OCB=90°,

U：DFLAB,垂足为R

:,乙DFB=90°,

:•(OCB=乙DFB=90°,

：.OC\\DFf

:•乙COE="ED,

—DOE=乙OED,

：.OD=DE.

9COD=OE,

△ODE是等边三角形，

"DOE=60°,

:•乙CGE=30°.

•・・。。的半径为5,

AGE=10,

「GE是。。的直径，

AzGCE=90°,

・••在Rt△GCE中，GC=GE-coszCGE=10xcos30°=5V3.

(2)

DE=2EF,证明如下

证明：方法一：如图所示,

■:(COE=乙DOE=60°,

：.CE=ETE,

：.CE=DE.

*：OC=OE,

•••△OCE为等边三角形，

J.Z.OCE=60°.

VzOCB=90°,

：./-ECF=30°.

・••在中，EF='E,

：.EF=-DE

2f

即OE=2EF；

方法二：如图所示，连接CE,过点。作OH1OF,垂足为

：.^OHF=90°,

•：4)CB=Z,DFC=90°,

・・・四边形OCFH是矩形，

ACF=0H,

:△OOE是等边三角形,

：.DE=OE,

\'0H1DF,

：.DH=EH,即。E=2EH,

VzCOF=乙DOE,

：.CE=DE,

ACE=DE,

：.CE=OE,

在Rt△CFE^WRtAOHE中，

(CE=OE

ICF=OH

：.Rt△CFE三Rt△OHE(HL),

：.EF=EH,

：.DE=2EF.

【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的

判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点.

2.(2022•山东荷泽・九年级期中)如图，在RtANBC中，N4CB=90。，延长C4到点。，以4。为直径作O。，

交B4的延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若。C=9,AC=4,AE=8,求BE的长.

【答案】(1)见解析

⑵13

【分析】(1)连接。氏根据等边对等角可得/。£4=N04E,=根据对顶角相等，等量代换后

可得/。£;4+乙FEB=90。即可得证;

(2)过点。作。GIBE,根据垂径定理可得/G=4=4C,由4。=。。-AC=9-4=5,证明△40G三

AABC,可得/8=5,根据BE=EZ+ZB即可求解.

(1)

如图，连接。巴

・•・/.CAB+=90°,

OE=OA,

・•.Z.OEA=Z.OAE,

•••Z-OAE=乙CAB,

・•.Z,OEA+=90。，

BF=EF,

•••乙FEB=乙B,

・•.AOEA+乙FEB=90°,

BPzFEO=90°,

OE是半径，

EF是。。的切线；

(2)

如图，过点。作。GIBE,

D

AE=8,

i

EG=AG=-AE=4,

2

・・•OC=9,4c=4,

・・・4。=。。一"=9—4=5,

在aAOG与△ABC中，

2OG4=乙BCA=90°

AG=AC=4

、Z-GAO=（CAB

・•.AAOG=△ZBC,

AB=AO=5,

・•.BE=BA+AE=5+8=13.

【点睛】本题考查了切线的判定定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键.

3.（2021•江苏泰州•九年级期中）如图，在AAE尸中，点。是A尸上的一点，以点。为圆心，49为半径的

。。与△AEF的三边分别交于点2、C、D.给出下列信息：①4。平分NEAF；②NAEF=90。；③直线跖

是。。的切线.

（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题.你选择的条

件是，结论是（只要填写序号），并说明理由.

（2）在（1）的情况下，若AO=2,DF=4a,求8尸的长.

【答案】（1）①②，③（答案不唯一）理由见解析

(2)4

【分析】(1)根据切线的性质与判定任选2个作为条件，剩下的一个作为结论；

(2)连接D。，在直角三角形0。尸中利用勾股定理得。。2+。产=。产，即可求解.

(1)

解：选择条件是①AO平分/EAF;②/AEF=90。；结论是③直线E尸是。。的切线.理由如下,

连接DO,•••AA平分/E4F；

・•・Z-EAD=Z-OAD,

0A=0D,

・•・Z-OAD=Z.ODA,

・•.Z.ODA=Z.EAD,

・•・AEWD,

•・.AAEF=90°,

•••AE1EF,

•••0D1EF,

直线EF是。。的切线.

故答案为：①②，③

选择条件是①AD平分/EAH③直线£尸是。。的切线；结论是②/AE/=90。.理由如下，

•••连接D。，•••AA平分/E4F；

•••Z-EAD=Z.OAD,

•・,0A=0D,

•••Z.OAD=Z.ODA,

・•・Z-ODA=乙EAD,

・•・AEWD,

•・•直线•是。。的切线.

・•・0D1EF,

•••AE1EF,

・•.AAEF=90°,

选择条件是②/A£b=90。；③直线跖是。。的切线；结论是①平分/EAE理由如下，

•・•连接。0,,••直线EF是。。的切线，^AEF=90°,

•••OD1EFfAE1EF,

・•・AEWD,

•••Z.ODA=Z.EADf

OA=0Df

・•.Z.OAD=4ODA,

•••Z.EAD=Z.OAD,

・・・AO平分NEAB

（2）

连接D。，•・•直线跖是。。的切线，

•••OD1EF,

在直角三角形。£）/中，由勾股定理得。。2+。/2=。?2,

■.■AO=2,DF=442,

OD=AO=BO=2,

.­•22+（4V2）2=OF2,

解得OF=6,

；.BF=OF—OB=6—2=4.

【点睛】本题考查了切线的的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键.

4.（2022・河南•郸城县光明学校二模）如图，。。是△ABC的外接圆，AB=AC,点。是由?上一动点，连接

BD,AD,CD,延长C£>至点E.

(1)求证：DA平分/BDE；

(2)若AE=A。，求证：EC=BD；

(3)在(2)的条件下，从以下两题任选一个填空(若两者都选，只以第①题计分)：

①若AE是。。的切线，则四边形ABCE的形状是；

②若48=2,四边形OAOC是菱形，则。。的半径是.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)①平行四边形；②学

【分析】(1)由圆内接四边形的性质得出NAOE=/ABC,由等腰三角形的性质得出则可

得出结论；

(2)证明AE4C丝△DAB(S4S),由全等三角形的性质可得出EC=BD；

(3)①延长AO交2C于R证出AE〃BC,AB//CE,由平行四边形的判定可得出结论；

②由菱形的性质及等边三角形的性质可得出答案.

(1)

证明：是AABC的外接圆，点。是配上一动点，

ZABC+ZADC=180°,

ZAD£+ZA£)C=180°,

ZADE=ZABC,

\'AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

又

NADE=NADB,

即D4平分/2£>E；

(2)

证明：由(1)知，ZABC=ZADE,

'：AB=AC,

：.ZACB^ZABC,

：.ZBAC=180°-2ZABC,

同理NEAO=180。-2AADE,

：.ZEAD=ZBAC,

：.ZEAD-^-ZDAC=ZBAC+ZDAC,即ZEAC=/DAB,

XVAE=AD,AC=AB,

：.AEAC^ADAB(SAS),

：.EC=BD；

(3)

解：①四边形A3CE是平行四边形.

证明：延长49交于R连接03,OC,如图，

VOB=OC,AB=AC,

・・・。4垂直平分BC,

YAE为切线,

：.AE±OA.

：.AE\\BC,

：.ZABC+ZBAE=180°,

*：AE=ADf

：.NE=NADE,

ZADE=Z.ABC,

：./E=ZABC,

.,.ZE+ZBAE=180°,

：.AB\\CEf

・・・四边形ABCE是平行四边形；

故答案为：平行四边形；

②如图，连接OD,0A,0C,延长AO交BC于F,

•..四边形OAQC是菱形,

：.AO=AD,

\'OA^OD,

：.△A。。是等边三角形，

ZADO=6Q°,

同理NO£)C=60。，

ZADC=120°,

ZABC=180°-120°=60°,

"：AB=AC,

ZXABC是等边三角形，

:点。是外心，

：.AF±BC,BF=CF,ZCAF=ZOCF=30°,

：.OC=2OF,AC=2C尸，

"：AC=AB=2,

：.CF=1,

在RtAOFC中，OC2=CF2+OF2=12+(|OF?,

解得：oc=¥

故答案为：誓.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三我的判定

与性质，平行四边形的判定，菱形的性质性质，熟练掌握平行四边形的判定定理和菱形的性质定理是解题

的关键.

5.（2022.陕西・交大附中分校模拟预测）如图，△A8C是。。的内接三角形，是。。的直径，点。在。。

上，且过点D作BC的垂线与CB的延长线交于点E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AO=2而，DE=2,求。。的半径.

【答案】(1)见解析

⑵2

【分析】(1)如图，连接。。，根据圆周角定理，证明得到/OOE=90。即可.

(2)如图，延长。。交AC于点凡利用垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质计算即可

(1)

如图，连接OO,

根据圆周角定理，^ZB0D=2ZBAD,

'：ZABC=2ZBAD,

：.NABC=NBOD,

：.OD〃BE,

ZODE=ZDEB=90°,

.•.DE是。。的切线.

(2)

如图，延长OO交AC于点凡

•.,AB是圆的直径，OE是圆的切线，DELBC,AD=2瓜DE=2,

：.NFDE=/DEC=NECF=9Q。,

...四边形。EC/是矩形，

：.ZOFA=90°,CF=DE=AF=2,

：.DF=yjAD2-AF2=J（2佝2-22=4,

：.DO=2,

故。。的半径是2.

【点睛】本题考查了切线的判定，平行线判定和性质，圆周角定理，勾股定理，直角所对的圆周角是直角，

垂径定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理是解题的关键.

6.（2022•河南三门峡•二模）阅读材料，并完成相应任务.

问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆

的一些问题,其中有这样一个问题:如图和BC是。。的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）,BC>4B,

点加是的中点，则从点M向所作垂线的垂足。是折弦ABC的中点，gpCD=DB+BA.

图1图2图3

（1）如图2,牛牛同学尝试运用“截长法”说明"CD=DB+BA,y,于是他在C£>上截取CE=AB,连接MA,MB,

ME,MC.请根据牛牛的思路完成证明过程；

（2）如图3,在。。中，RD=⑶,DELAC,若48=3,AC=7,则AE的长度为.

【答案】（1）见详解

(2)2

【分析】(1)正确解读题意，证AB4Mw△ECM(SAS),即可证明；

(2)根据(1)的思路即可求解；

(1)

解：在。。中

ABAM=Z.ECM

•.•点M是树的中点

AM=MC

在AB4M和AECM中

-AB=CE

/.BAM=Z.ECM

.AM=MC

：.A5XM=AECM(SAS)

BM=EM

•••MD1BC

•••BD=DE

AB+BD=DE+CE=CD

⑵

如图，在BC上截取FC=AB,连接MB,MA,MD,MC.

在。。中

乙ABD=4FCD

■:能=es

BD=CD

在AABD和AFCD中

'AB=CF

LABD=乙FCD

.BD=CD

:.RABD三"CD(SaS)

AD=FD

•••DE1AC

•••AE=EF

：.AB+AE=EF+CF=AC

■.AE^^AC-AB)=|(7-3)=2,

故答案是：2.

【点睛】本题主要考查圆的性质、三角形的全等，掌握相关知识，正确解读题意是解本题的关键.

7.(2022.云南昆明.三模)如图，在ATlBC中，点。是AC边上一点，且2D=48,以线段为直径作。0,

分别交3D,AC于点E,点R4BAC=24CBD.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若CD=2,BC=4,求点2到AC的距离;

【答案】(1)见详解

喈

【分析】(1)根据圆的性质、等腰三角形的性质即可求解；

(2)根据勾股定理求出AB、AC,再应用等面积法即可求解;

(1)

证明：'：AD=AB

：.Z.ABD=Z.ADB

:UBD+4ADB+^BAD=180°

J./.ABD+-/.BAD=90°

2

VZ-BAC=2Z.CBD

：.^ABD+ACBD=90°

・・・8C是O。的切线

(2)

如图，连接3b

设/。=AB=x

•・,BC是。。的切线，

NABO90。，

：.AC2=AB2^BC2,即(％+2)2=/+42

解得：x=3

：.AD=AB=3,AC=5

TAB是圆O的直径

：.BFLAC

'：S^ABC=\-AB-BC=\-BF-AC

【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键.

8.（2022・天津•中考真题）已知力8为。。的直径，AB=6,C为。。上一点，连接C4,C8.

图①图②

(1)如图①，若C为趣的中点，求NC4B的大小和4C的长；

(2)如图②，若4C=2,。。为。。的半径，且。D1CB,垂足为E,过点。作。。的切线，与4C的延长线相

交于点R求FD的长.

【答案】W/.CAB=45°,AC=3V2

(2)FD=2V2

【分析】(1)由圆周角定理得乙4cB=90。，由C为AB的中点，得#f=废，从而4c=8C,即可求得4a48

的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；

(2)证明四边形ECFD为矩形，FD=CE=|CB,由勾股定理求得BC的长，即可得出答案.

(1)

为O。的直径，

J./-ACB=90°,

由C为71®的中点，得力？=品，

：.AC=BC,得N4BC=NC4B,

在RtAZBC中，/.ABC+/.CAB=90°,

：.^CAB=45°；

根据勾股定理，有AC?+BC2=482,

又AB=6,得2心=36,

：.AC=3V2；

(2)

是OO的切线，

：.OD1FD,即NODF=90。，

\'OD1CB,垂足为E,

；.4CED=90°,CE=^CB,

同(1)可得-1CB=9O。，有NFCE=90。，

:.乙FCE=乙CED=ZODF=90°,

.••四边形ECFD为矩形，

：.FD=CE,于是FD='B,

在Rt△ABC中，由4B=6,4C=2,得CB=7AB2一3=4位,

：.FD=2V2.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股

定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题.

9.(2022・全国.九年级专题练习)如图，正方形4BCD的边长4。为O。的直径，E是48上一点(不与A,B

重合)，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点尸重合.

(1)判断直线CF与O。的位置关系？并说明理由;

(2)若。。的半径为1,求4E的长？

【答案】(1)见解析

4

⑵孑

【分析】(1)如图所示，连接OROC,只需要证明AOb四△OC。得到/OBC=NOOC=90。，即可得到结

论；

(2)先证明。、E、尸三点共线，设AE=x,贝I]BE=AB-AE=2-x,OE=OF+EF=3-x,在RdAE。中，由勾股

定理得到4E2+CM2=。石2,贝以2+#=(3一切2,据此求解即可.

(1)

解:直线CT与圆。相切，理由如下：

如图所示，连接。尸，OC,

由折叠的性质可知，CF=BC,

:四边形ABC。是正方形，

/.CD=BC,ZODC=90°,

：.CF=CD=BC,

：A£)是圆。的直径，尸在圆。上,

：.OF=OD,

又,:oc=oc,

:AOCF%AOCD(SSS),

ZOFC=ZODC=90°,

.•.直线CT与圆。相切；

解：•；AD是圆。的直径，圆。的半径为1,四边形ABCD是正方形，

：.AD=AB=2,ZABC=ZBAD=90°,

由折叠的性质可知NEFC=NEBC=90。，EB=EF,

由（1）得NOFC=90。，

ZOFC+ZEFC=180°,

：.O,E、P三点共线，

设AE=x,则BE=AB-AE=2-x,

：.OE=OF+EF=3-x,

在RtXAEO中,AE2+OA2=OE2,

.,.x2+l2=（3—%）2,

解得％=p

4

：.AE=-.

3

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，圆切线的判定，勾股定

理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

10.（2021・广东・广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，在AABC中，ZC=90°,/8AC的平分线交BC

于点。，过点。作的垂线交AB于点E.

c

D

(1)请画出△AOE的外接圆。。(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹);

(2)求证：8C是。。的切线;

(3)过点。作。尸，AE于点P,延长。尸交。。于点G,若DG=8,EF=2.求。。的半径.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)5

【分析】(1)根据圆周角定理可知AE是AADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点。，

以。为圆心以OA为半径画圆即可；

(2)根据连接。由AE为直径、DELLAO可得出点。在。。上且/D40=NAO0,根据AO平分/C4B

可得出NCAZ)=NmO=NA。。，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC〃。。，再结合NC=90。即可得

出/。。8=90。，进而即可证出BC是。。的切线；

(3)设0。=广，根据勾股定理列方程可得"直.

(1)解：如图1所示，。。即为所求;

c

D

图2

(2)证明：如图2,连接'：AD平分/CAB,ZCAD=ZOAD,

"JOA^OD,：.ZOAD^ZODA,：.ZCAD^ZODA,C.OD//AC,VZC=90o,C.ODLBC,YOD为。0

的半径，...BC是。。的切线;

r,：DF_LAE,：.DF=GF=|DG=4,^tRtAODF

-2)2+42,r=5,；.。0的半径为5.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定和性质以及勾股定理，利用垂径定理设未知数，建

立方程是本题的关键.

11.(2021.黑龙江.拜泉县第三中学九年级阶段练习)如图在平面直角坐标系中，矩形ABC。的边04=5,

OC=3,E为8C的中点，以OE为直径的。。'交x轴于。点，过点。作。尸，AE于点?

(1)求证：40CE咨AABE；

(2)求证：DP为。。'的切线；

(3)在直线8C上是否存在除点E以外的点P,使AA。尸也是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标，不

存在请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)存在，使AAOP也是等腰三角形的点P的坐标为(1,3)、(9,3)、(4,3)、(-4,3)

【分析】⑴根据矩形的性质得出OC=4B,NB=NOCE=9Q°,根据中点的定义得到CE=BE,即可利用SAS

证明△OCE—ABE；

(2)要证明DF为。。'的切线只要证明DF1。'。即可；

(3)分两种情况进行分析：①当AO=AP；②当。4=OP,从而得到在直线8c上，除了E点外，它们分别

使AAOP为等腰三角形.

(1)

证明：：四边形ABCO是矩形，

AOC=AB,NB=NOCE=90。,

为BC的中点，

CE=BE,

在AOCE和AABE中，

-0C=AB

Z.OCE=Z.S,

.CE=BE

：./\OCE^^ABE(SAS)；

(2)

证明：连接。'D,

ZXOCE丝△ABE,

：.EA=EO,

：.ZEOA=ZEAO,

在O。'中，O'O=O'D,

:.乙0'0D=40'D0,

：.^O'DO=^EAO,

：.O'D\\AE,

\'DF.LAE,

：.DF1O'D,

又•.•点。在o。'上，。力为o。'的半径,

厂为O。'切线；

(3)

解：存在，如图，

过P1点作，。4于点H,P1H=0C=3；

•：APi=0A=5,P1H=0C=3,

AH=752—32=4,

：.OH=1,

...点Pi(1,3),

同理可得：P4(9,3)；

②当0A=OP时，

同上可求得「2(4,3),P3(-4,3),

综上，使AA。尸也是等腰三角形的点尸的坐标为(1,3)、(9,3)、(4,3)、(-4,3).

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质和圆的有关性质，等腰三角形的判定.要熟练掌握

这些性质才能灵活运用.

12.(2022•江苏・泰州市姜堰区南苑学校九年级)如图，在Z4BC中，^ABC=9Q°,。是54上一点，以。为

圆心，为半径的圆与AB交于点P,与AC相切于点。，已知AB=8,。。的半径为八

(1)如图1,若AP=DP,则。O的半径厂值为；

(2)求BC=6,求。。的半径厂长；

(3)若的垂直平分线和。。有公共点，求半径r的取值范围.

【答案】⑴g

(2)3

(3)2西-2<r<4

【分析】(1)连接。，由切线的性质可得44。。=90。，由AP=DP,得再由等角的余角相等

证明/尸。。=/尸。》贝!]AP=OP=OB=r,列方程可求出r的值；

(2)连接OC、OD,由勾股定理求出AC的长，再根据面积等式列方程即可求出厂的值；

(3)设AD的垂直平分线交AD于点?与O。的一个交点为点E,当所与O。相切时r的值最小，可求

出r的最小值；MSOB+OD<OB+OA,列不等式求得r<4,即可求出厂的取值范围；

(1)

解：如图1,连接OD,

图1

・・,。。与人。相切于点0,

：.AC1OD,

：.ZA£)O=90°,即ZPDO+ZPDA=90°,ZPOD+ZA=90°,

,:AP=DP,

：.ZPDA=ZAf

：.NPDO=/POD,

DP=OP=OB,

：.AP=OP=OB=r,

VAB=8,

/.3r=8,

•・•丁=-8，

3

故答案为：*

(2)

解：如图2,连接OC、0D,

C

图2

ZABC=90°,AB=S,BC=6,

：.AC=7AB2+Be2=V82+62=10,

9CODVAC,ABVBC,

：.-AC•OD+-BC•OB=-AB•BC,

222

：.AC,OD+BC,OB=AB•BC,

lOr+6厂=8x6,

/.r=3.

(3)

解：设4。的垂直平分线交AO于点孔与。。的一个交点为点E,如图3,当跖与。。相切时，r的值最

小，

设切点为点E,连接O。、OE,贝IJEF1OE,

图3

ZEFD=ZODF=ZOEF=90°,

J四边形ODFE是矩形，

・.•OD=OE,

：.四边形0。心是正方形，

••AF=DF=OD=r

*：OD2+AD2=0A2,

Ar2+(2r)2=(8—r)2,

解得心=2百—2,r2--2V5-2(不符合题意，舍去),

的最小值为2有一2；

如图4,当「＞24-2时，直线环'与。。相交，

c

图4

'：OD<OA,

**•OB^OD^OB+OAj

/.2r<8,

r<4,

的取值范围是2曲-2<r<4；

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、用不等式求取值范围等知识与

方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键，属于考试压轴题.

13.(2022・湖南•长沙市长郡双语实验中学九年级阶段练习)如图，A8为。。的直径，尸。切。。于点C,与

的延长线交于点。，DE_LP。交尸。延长线于点E,连接OC,PB,已知PB=6,DB=8,ZEDB=ZEPB.

(1)求证：PB是。。的切线;

(2)求。。的半径；

(3)连接BE,求BE的长.

【答案】(1)见解析

⑵3

(3)2代

【分析】(1)由已知角相等及直角三角形的性质得到NOBP为直角，即可得证；

(2)在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB=6,

由PD—PC求出CD的长，在直角三角形。CD中，设OC=r,则有。D=8—r,利用勾股定理列出关于r的方

程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径.

(3)延长相交于点F,证明/PED=APEFQASA),由全等三角形的性质得出P。=PF=10,=EF,

求出DF的长，则可得出答案.

(1)

证明：VDE1PE,

：.乙DEO=90°,

•••Z-EDB=乙EPB,Z-BOE=乙EDB+Z-DEO,Z-BOE=乙EPB+Z-OBP,

・•.Z.OBP=Z.DEO=90°,

・•・OB1PB,

・•.PB为。。的切线；

(2)

解：在RtAPB。中，PB=6,DB=8,

根据勾股定理得：PD=V62+82=10,

•••PD与PB都为。。的切线，

•••PC=PB=6,

DC=PD-PC=10-6=4；

在RtACD。中，设。C=r,则有。D=8—r,

根据勾股定理得：(8—r)2=r2+42,

解得：r=3,

则圆的半径为3.

(3)

延长PB、DE相交于点F,

p

・・•PD与PB都为。。的切线，

•••。尸平分NCPB,

Z.DPE=乙FPE,

PE1DF,

•••乙PED=乙PEF=90°,

又「PE=PE,

・•.APED=APEF(ASA)f

PD=PF=10,DE=EF,

.・.BF=PF-PB=10-6=4,

在RtAOBF中，DF=y/DB2+BF2=V82+42=4^5,

BE=-2DF=2V5.

【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用.本题是中考题常考题型，熟练掌握圆中的等量关系，切线的证

明方法，以及通过等量关系的转化证明三角形全等，利用解直角三角形解决求线段长度的问题是解题的关

键.

14.(2021•福建福州•九年级期中)如图，在AABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交AB于点。，点

E为8c的中点，连接。E.

(1)求证：OE为。。的切线；

(2)若2C=2,NBAC=30。，求阴影部分的面积.

Br

【答案】（1）见解析；（2）V3-^

【分析】（1）连接0。，由直径所对的圆周角是直角得到NA0C=9O。，则/3。。=180。-/40。=90。，由

E为的中点，可得DE=/C=BE=CE,则N3=NEDB,再由OD=OA=OC,得到NA=NOZM,贝！J

ZCED=ZB+ZEDB=2ZBfZCOD=ZA+ZODA=2ZAf根据N3+NA=90。，得到NCEO+NCOO=

2ZB+2ZA=2（N3+NA）=2x90°=180°,再利用四边形内角和是360度求解即可；

（2）先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到47=2后则SA.C=豹。•=2后再由

CE=BE—^BC,OC=OA=,得到右。。。=2^^ACD9则S四边形℃ED==S^DCE+^^DCO=^I\BCD+

阴影四边形

~^^ACD=3sAABC=|X2y/3=V3,再根据S=SOCED-S戢CO。进行求解即可•

【详解】（1）证明：如图，连接00,

•「AC是。。的直径，

・・・NAOC=90。，

・•・ZBDC=180°-ZADC=90°,

•・・E为的中点，

：.DE=^BC=BE=CE,

:・/B=/EDB,

9：OD^OA=OC,

：.ZA=ZODAf

；・/CED=/B+NEDB=2NB,ZCOD=ZA+ZOPA=2ZA,

・・•ZACB=90°,

.•.ZB+ZA=90°,

AZCED^ZCOD=2ZB+2ZA=2(N5+NA)=2x90。=180。,

・•・ZODE=360°-90°-180。=90。,

「DE经过半径OD的端点D,且DE±OD,

是。。的切线.

(2)VZACB=90°,ZBAC=30°,BC=2,

：.AB=2BC=4,

：.AC=7AB2-BC2=2V3,

,•^&ABC=54c,BC=2V3,

11

VCE=BE=-BC,

2OC=OA=-AC,

,•'S^DCE=2S^BCD，SAOC。=5sAACO,

24BC=|X2V3=V3,

••S四边形OCED==S&DCE+S»DCO~~S&BCD+ZS2UCO

1

-

•・•ZCOD=2ZBAC=2x30o=60°,2=-x2A/3=V3,

607rx(6)27T

,•S扇形COD=

3602

**•S阴影=S四边形OCED-S扇形COD=V3-

..•阴影部分的面积为w*.

【点睛】本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定，直径所对

的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的

相关知识.

15.(2021.重庆・华东师范大学附属中旭科创学校九年级期中)如图，48为。。的直径,弦CD143于点£\

连接4dD,OF1AC于点F,且。F=1.

(1)求BD的长；

(2)当ND=30。时，求4C的长和阴影部分的面积(结果保留根号和兀).

【答案】⑴2；(2)立的长为拳阴影部分的面积为善一百

【分析】(1)根据垂径定理可得”=CF、眈=呢,从而得到。尸为△ABC的中位线，BC=BD,即可求

解；

(2)连接。C,求得N40C=120°,利用含30。直角三角形的性质求得半径，即可求解.

【详解】解：(1)-：OF1AC,

：.AF=FC,

VOA=OB,

二。尸为△ABC的中位线

：.BC=2OF=2,

,：AB1CD,

：.RC=血

：.BD=BC=2；

(2)连接。C,如下图：

A

B

D

9：Z.CAB=^D=30°,OA=OC,

：.^OAC=Z.OCA=30°,

J.^AOC=120°,

在RZZkABC中，'：/-ACB=90°,BC=2,^CAB=30°,

：.AB=2BC=4,AC=V3BC=2V3,

120m247r

・,・标的长=

1803

阴影部分的面积=丹芸-ix2V3xl=^-V3.

36023

【点睛】此题考查了圆的垂径定理，弦、弧、圆心角之间的关键，三角形中位线的性质，等腰三角形的性

质，含30。直角三角形的性质，弧长以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质求解.

16.(202L浙江.宁波市兴宁中学九年级期中)如图，已知A2为。。的直径，是弦,A2_LC。于E,OFLAC

⑴求证：OF||BC.

(2)求证：AAFO咨ACEB.

(3)若EB=5cm,设OE=x,求尤值及阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)x=5,阴影部分面积为(詈^-25V3)cm2

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；

(2)根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△ABO和ACEB的两个角相等，从而证得两个

三角形全等；

(3)根据三角形中位线定理求得2C,由等腰三角形的性质求得。4=BC=OB=10cm,进而求得x的值，解

直角三角形求得圆心角，然后根据阴影部分的面积=扇形C。。的面积-△COD的面积即可求解.

证明：为。。的直径,

J.ACLBC,

XVOF1AC,

OFWBC；

(2)

证明：-：AB±CD,

：.B€=血

：.ZCAB=ZBCD,

在△4F。和八CEB中，

LA=乙BCE

/.AFO=乙CEB=90°

OF=BE

.♦.△AFOgACEB(AAS)；

(3)

解：连接。0.设。E=x,

B

VOFWBC,OA=OB,

：.OF=-BC,

2

•・•OF=BE=5cm,

.*.BC=10cm,

•,FAFO沿ACEB(AAS)；

：.A0=BCf

BO=OC=BC,

OBC是等边三角形,

・•・乙COB=60°,

•・,RC=RD,

・•・乙BOD=乙BOC=60°,

：.ZCOD=120°,

由垂径定理可得：CE=70c2一。摩2=V1Q2_52=5V3,

:.CD=2CE=10V3,

；.SACOD=Tx10A/3x5=25V

阴影部分面积为（誓-25V3）cm2.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得/COE的度数是解决本

题的关键.

17.（2019•山东潍坊•九年级期中）如图，48是。。的直径，点。是弦BC延长线上一点，且BC=CD.

M

⑴证明:AB=AD；

（2）若BD=8,OD=2V10,求弓形BMC（阴影区域）的面积.

【答案】（1）证明见解析

（2）2兀-4

【分析】（1）连接4C,利用直径所对的圆周角为90。，及BC=CD,得出AC是线段BD的垂直平分线，再根

据垂直平分线的性质，即可得出结论；

（2）作0EL80于E,连接OC,根据勾股定理，得出。E的长，再利用垂径定理，得出圆的半径，即可分别

得出扇形BOC的面积和A08C的面积，求差即可得出弓形BMC（阴影区域）的面积.

（1）

证明：连接4C,

,•SB是。。的直径,

：.Z-ACB=90°,

•;BC=CD,

：.4c是线段的垂直平分线,

（2）

解：作。E180于E,连接0C,

•：BD=8,

：.BC=CD=4,

*：0E1BD,

：.BE=CE=2,

：.DE=6,

在中，

0E=y/0D2-DE2=J（2V10）2-62=2,

在Rt△OBE中，

OB=y/OE2+BE2=V（2）2+22=2VL

：.LB0C=90°,

._907rx（2可_

・・D扇形HOC--荻一—Z7r,S^OBC=5*4*2=4,

M

【点睛】本题考查了垂径定理、线段的垂直平分线的性质、扇形面积的计算公式，解本题的关键在熟练掌

握相关的性质定理，并灵活运用.扇形面积的计算公式=嚓5为圆心角的度数，r为半径).

360

18.(2021•河南驻马店•九年级期中)如图，A8为。。的直径，点C是右侧半圆上的一个动点，点。是

A3左侧半圆的中点，DE是。。的切线，切点为连接交于点尸，点0为射线。E上一动点，连

接皿AC,BQ,PQ.

(1)当尸。〃时，求证：NDPQ^XPDA.

(2)若。。的半径为2,请填空：

①当四边形为正方形时，DQ=；

②当时，四边形AOQP为菱形.

【答案】(1)见解析

⑵①2；②22.5。

【分析】(1)连接OD,根据两组对边分别平行可得四边形AZJQP是平行四边形，则PQ=D4,AP=QD,

再利用SSS可证明结论成立；

(2)①由题意知点尸与。重合，则。。=。。=2；②根据圆周角定理知NA4r>=NACD=45。，由菱形得

AD=AP,则可得NAP。的度数，再利用三角形外角的性质可得答案.

(1)

证明：连接O。,

£

・・,点。为的中点，AB为。。的直径,

JODLAB,

・・・。石是。。的切线，

・•・ODLDE,

：.DE//AB,

又・・・PQ〃A，

・••四边形ADQP是平行四边形,

：.PQ=DA,AP^QD,

在ADPQ与APDA中，

PQ=DA

AP=QD,

、DP=PD

：.ADPQ^APDA(SSS)；

(2)

•..四边形BPD。是正方形,

：.DQ=DP,DQLDP,

是。。的切线，

J.DQLOD,

.•.点尸与点0重合，

.•.£>。=。£>=2,

②..•四边形AOQP是菱形，

：.DQ^AD=AP,

：.NADP=NAPD,

在RfAA。。中，OA=OD,

：.ZDAO=45°,

：.ZADP=ZAPD=(180°-45°)+2=67.5。，

又=45°,

：.ZBAC=ZDPA-NC=67.5°-45°=22.5°,

故答案为：2；22.5°.

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，平行四边形的判定与性质，正方

形与菱形的判定，全等三角形的判定等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键.

19.(2019•山东潍坊・九年级期中)如图，AB是半圆。的直径，2E是半圆。的切线(即圆。的切线).连接EB,

交半圆于点D,连接4D.过点D作直线CO,且=

(1)求证：直线CD是半圆。的切线；

(2)求证：点C是线段4E的中点；

(3)若48=10,BD=8,求线段CE的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)CE=

【分析】(1)连接。0,根据等边对等角，得出再根据等量代换，得出NEDC=N0D4再

根据直径所对的圆周角等于90。，得出AD1BE,根据垂线的定义，得出NEZM=90。，再根据等量代换，得

出NODC=4ED4=90。，即可得出。D_LCD,再根据切线的判定定理，即可得出结论；

(2)根据切线的性质，得出NE4B=4ODC=90°,再根据角的关系和等量代换，得出“D4=Z.EAD=4B,

乙EDC=AE,再根据等角对等边，得出47=CD,CD=CE,然后根据等量代换，得出AC=CE,根据中线

的定义，即可得出结论；

(3)设CE长为x,贝U2E=2x,根据勾股定理，得出力。=6,再根据等面积法，得出用含％的式子表示BE,

再根据勾股定理，即可得出线段CE的长.

(1)

证明：连接。D,

VOA=OD,

Z.OAD=Z.ODA,

•:乙EDC=ADAB,

:•乙EDC=乙ODA,

是半圆。的直径，

:.乙ADB=90°,

：.AD1BE,

：.^EDA=90°,

：./LODC=/.EDA=90°,

：.OD1CD,

二直线CD是半圆。的切线；

(2)

证明：CD为半圆。的切线,

C./.EAB=乙ODC=90°,

又=Z.ODA,

J.Z.CDA=Z.E