第一章 空间几何体教材

第一章空间几何体知识结构表面积体积度量空间几何体柱体球体锥体台体中心投影平行投影棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台三视图直观图设计意图三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力以及直观能力是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。立体几何初步是帮助学生形成上述能力的良好载体，也是高考考查的重点与热点。新课程更加强调空间想象能力的培养，强调空间观念的建立，逻辑思维能力的培养退之次要地位，因为几何直观是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。考查的主要内容，一是空间几何体的结构特征，二是识图和作图，三是空间几何体的表面积、体积的计算。能力考查的分布：通过柱、锥、台、球特征题目的解答，检测同学们对概念的理解和分析问题的能力；通过三维图和直观图的识别和绘制，检测同学们的空间想象能力，建立空间图形与平面图形的联系，增强对几何体和现实世界的认识；通过多面体和旋转体表面积、体积的考查，进一步加强同学们的空间想象力，逐步让学生认识到“降维”这种常用的解决立体几何问题的思维方法及转化的教学思想。试卷分析序号测控点题号典型错题要点整合备注自主卷共同卷自主卷共同卷1柱体3,6,123,4,11,12柱体(包括棱柱和圆柱)的结构特征;三视图、直观图的画法；表面积和体积2锥体1,2,4,51,7,9,11棱锥和圆锥的结构特征；三视图、直观图的画法；表面积和体积3台体18,195棱台和圆台的结构特征；三视图、直观图的画法；表面积和体积4球8,10,132,8球的结构特征；三视图、直观图的画法；表面积和体积5平行投影15,16,17,20三视图、直观图6其他7,9,11,146,10考后反思测控点探究测控点1：柱体【测控点击】概念是思维的元素，学生的思维都是借助于概念进行的，在学生的认知结构中概念起着至关重要的作用，一个活的概念体系可以诱发学生思维,而一个僵化的概念集合则会束缚学生的思维.学生要形成一个数学概念,需要经历一个从片面到全面,从模糊到清晰,从表象到本质联系的复杂的思维过程.棱柱可以根据底面多边形的边数而分为三棱柱、四棱柱、……棱柱常用的另一种分类方法是根据其侧棱与底面是否垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱.注意：（1）斜棱柱的底面可以是正多边形，此时由于侧棱不垂直于底面，所以它不是直棱柱。（2）直棱柱的底面可以是正多边形，所以正棱柱是直棱柱的特例。（3）在斜棱柱的侧面中，有的可以是矩形；如果棱柱有两个相邻侧面都是矩形，那么它们的公共侧面垂直于底面，此棱柱必为直棱柱。(4)圆柱的轴经过两底面中心，且垂直于底面;两底是圆心在轴上的等圆，它们所在平面平行.在立体几何初步开始时，可以运用现代信息技术丰富的图形呈现与制作功能，这一技术优势，提供大量的，丰富的几何体的图形，并且可以通过制作功能，从不同的角度观察它们，通过多次的观察，思考，帮助学生去认识和理解这些几何体的结构特征，建立空间观念，培养空间想象力.但是,随着学习的展开和深入,就要逐步摆脱信息技术提供的图形,建立空间观念,形成空间想象能力.也就是说,虽然信息技术丰富的图形呈现与制作功能有它的优势,但它只是一种手段,而不是最终目的.学习立体图形的知识,需要空间想象力,即对几何图形的形状,大小,位置关系及其运动变化的认识与处理的能力.空间想象能力的培养,在初始阶段,一定要在空间中培养,要避免在平面上形成空间观念的做法．我们应当在空间中学习立体几何而不是在平面上学习立体几何.此外,从几何学的发展史也可以看出它是从生产生活实践中逐步上升,抽象成为一个公理体系的,在建立之初也是不能脱离实践的．图形语言是一种视觉语言,它具有形象性和直观性,而符号语言是一种推理语言,它具有准确性,严密性,抽象性和概括性,由于图形语言和符号语言各有其自身特点,所以在问题表述,问题解决和数学思想交流过程中,都要将其转化为符号语言,在图形语言转化为符号语言的过程中，我们应根据所给图形的特点和性质,将其隐含在图形深处的本质的东西挖掘出来,并将其符号化．文字语言,图形语言和符号语言是数学推理和交流中非常重要的三种语言,它们是不可分割的统一整体,三种语言的结合,能够互相对照,互相渗透,互相印证和互相补充．从文字语言到符号语言的转化可使具体问题抽象化,复杂的问题简单化,从符号语言到图形语言的转化能使抽象问题形象化,直观化,从图形语言到文字符号语言的转化能使直观不精确的问题具体化精确化．数学教学过程中,要让学生能够从多角度多方位多层面上去分析,理解问题,通过这样经常性的数学语言互译,一定能够使数学语言转化能力得到训练和提高,也必将取得良好的教学效果．专题研究侧面展开解决立体几何中某些最值问题柱体、锥体、台体表面积研究时是把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积.侧面展开方法是将立体几何问题转化为平面几何问题的基本方法之一．在解决立体几何中某些最值问题时,也常常应用这种方法．历史数学命题体现和谐之美，和音乐.绘画。雕塑。建筑等艺术作品一样，是人类文化的瑰宝，不因国籍、种族、肤色、语言而异，人见人爱，津津乐道。它们代代相传，又琢磨提炼，跨洲跨洋，交融传播，口碑载道。而数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学和现实问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手.动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习活动。研究性学习能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索.合作学习.独立获取知识的机会。挖掘历史数学名题的教育意义，深入开展数学研究性学习则是一种新的尝试.一道历史数学名题：“蜘蛛与苍蝇”问题如图1，在一个长、宽、高分别为30，12，12英尺的长方体房间里，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的A处，苍蝇则在对面墙中间离地面1英尺的B处，苍蝇是如此的害怕，以至于无法动弹。试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬行的最短距离是多少？（提示：它少于42英尺）“蜘蛛与苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是H·E·杜登尼最有名的谜题之一.·A杜登尼是19世纪英国著名的谜题创造者，它对全·B世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪.请你尝试解决这一谜题，也许通过这一问题的解决，你会体会到展开与折叠这一思想方法的妙用.研究性学习的尝试.学生解决上述“蜘蛛与苍蝇”问题有一定的难度，历史数学名题的展现主要是学生兴趣，激发学生研究问题的欲望，教学中可先展现如下的例1例题1如图2，圆锥的底面半径为r=5cm,母线L=10cm,AB为底面直径，C为PB的中点，现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从A爬到C，它爬行的最短距离是多少？分析圆锥侧面上两点间的最短距离，可转化为平面A1内两点连线的最短长度问题来解决PPCCABAB图2图3略解沿母线PA把侧面剪开、展平（在平面PAB上），如图3所示，A就变成A1，走的最短路线就应当是A1C，易知∠CPA1=eq\f(1,2)×eq\f(5,10)×360°=90°，从而A1C=eq\r(102＋52)=5eq\r(5).即蚂蚁沿圆锥表面A爬到C，它至少得爬行5eq\r(5)cm..往往许多老师到此就结束完事了，但如果受“蜘蛛与苍蝇”问题的启发就会发现此题大有文章可做.引导学生研究1如果题目中的C为PA的中点，则蚂蚁由A绕圆锥侧面一周到C的最短距离为多少？（本题与上面这道题目略有不同）如果将旋转体的问题改变成简单的多面体，情况又将如何呢？如图,在正三棱锥P-ABC中,侧棱长为a,过A作截面AEF,交PB、PC于Ｅ、F,求△AEF的周长的最小值．分析由于线段AE，EF，FA位于不同的平面内,不易寻求其和的最小值,因此可以考虑将三棱锥的侧面展开铺平，在一个平面内求最短距离．解答沿侧棱PA将三棱锥侧面展开（如图2）,容易看出,△AEF的周长就是折线段AE+EF+FAˊ,其最小值就是连结A与Aˊ两点的线段AAˊ的长．在△APA′中,∠APAˊ=90º，PA=PAˊ=a，∴AA′=.所以△AEF周长的最小值为.引导学生研究2如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为5cm,现有一只蚂蚁，从A出发沿表面爬行到点到C1，求蚂蚁爬行的最短路线的长.D1C1D1C1A1B1A1B1C1CDDCABAB图4图5分析沿表面最短问题，一般需要展开在平面上考虑。而由于正方体的六个面是完全相同的正方形，无论如何展开都是相同的，因此，我们只须按侧面展开、铺平，将立体问题转化为平面问题，然后再进行求解.略解沿CC1剪开,使面AB1与面BC1共面(如图5)可求得A1C=eq\r(102＋52)=5eq\r(5),即蚂蚁从A出发沿表面爬行到点C1的最短路线的长为5eq\r(5)cm.如果再将正方体这一条件改为长方体,情况还会如此吗?引导学生研究3如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4cm,BC=3cm,BB1=5cm,现有一只蚂蚁,从A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线的长.分析此题虽然还是求蚂蚁沿表面最短的问题,同样需要展开在平面图形上考虑.但此题是否也象上题一样,只须考虑它的侧面展开图就行呢?答案是否定的,因为长方体的长、宽、高各不相同,因此,它们在同一顶点上的三个面完全不同,随着展开的情况不同,蚂蚁所走的路程也不同,因此,我们要求蚂蚁爬行的最短路线的长,必须先进行分类讨论．沿长方体的一条棱剪开,使点A和点C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,如下图所示有三种剪法D1C1A1B1CDAB若沿C1D1剪开,使面AB1与面A1C1共面,可求得AC1=eq\r(42＋(5＋3)2)=eq\r(80)cm若沿AD剪开,使面AC与面BC1共面,可求得AC1=eq\r(32＋(5＋4)2)=eq\r(90)cm若沿CC1剪开,使面AB1与面BC1共面,可求得AC1=eq\r(52＋(3＋4)2)=eq\r(74)cm比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为eq\r(74)cm经历研究3后,可让学生展开联想的翅膀,透过现象看本质,是否还可以从中挖掘出更一般的结论来呢?学生可能会归纳出:一般地,如果长方体相邻的三条棱长分别为a、b、c,且满足a>b>c,则所求最短距离应当是eq\r(a2＋(b＋c)2),教师可带领学生进一步欣赏”蜘蛛与苍蝇”这一世纪谜题的无穷魅力.利用侧面展开图解题,关键是掌握好空间图形的各个元素在展开前后的位置关系．注意画好立体图与展开图,并标出对应元素,在展开图中两点间的最短距离就是连结这两点的线段的长．找错:求最短距离如图1,在直角坐标系中,矩形ABCD的顶点分别为A(0,0)、B(7,0)、C(7,6)、D(0,6),矩形ABCD内的点P(1,5)、Q(5,1),现将矩形ABCD卷成一个圆柱的侧面,求圆柱的侧面上P、Q间的最短距离．DC·P·QAB图1错解1因为圆柱侧面上两点间的最短距离为其侧面展开图上两点间的最短距离,矩形ABCD恰为圆柱的侧面的展开图,所以侧面上P、Q间的最短距离为|PQ|=eq\r((5－1)2＋(1－5)2)=4eq\r(2)错解2如图,DFCF′·P·QAEBE′图2过点P作EF∥AD,分别与AB、CD交于点E、F,再将矩形AEFD剪下,补在图中BE′F′C的位置,则矩形EE′F′F就是圆柱以母线EF的侧面展开图,E、P、F的对应点分别为E′、P′、F′,且P′(8,5),在圆柱的侧面上P、Q两点间的最短距离就是|PQ|、|PQ′|中较小的,又因为|PQ|=4eq\r(2),|PQ′|=eq\r((8－5)2＋(5－1)2)=5,所以P、Q两点间的最短距离为5．分析把矩形ABCD卷成一个圆柱的侧面,有两种不同的卷法,以AD或BC为母线与以AB或CD为母线在圆柱的侧面上,从P点到达Q点有两个不同的方向错解1只考虑了一种卷法和一个方向,错解2虽然考虑了从P到Q有两个不同的方向,但只考虑了一种卷法．两种解法都犯了思维不全面的错误按以线段AD为母线和以线段AB为母线进行分类讨论若以AD为母线,过程如错解2,此时在圆柱的侧面上P、Q间的最短距离为|PQ|=5若以AB为母线,如图3过A作AB的平行线MN,分别交AD、BC于点M、N,再将矩形ABMN剪下补在图中DCN′M′的位置,则矩形MNN′M′就是圆柱以母线MN的侧面展开图,M、Q、N的对应点分别为M′、Q′、N′,且Q′(5,7),在圆柱的侧面上P、Q两点间的最短距离就是|PQ|和|PQ′|中的较小者,又因为|PQ′|=eq\r((1－5)2＋(5－7)2)=2eq\r(5),所以此时在圆柱的侧面上P、Q间的最短距离为2eq\r(5)．综上所述,把矩形ABCD卷成一个圆柱的侧面,在圆柱的侧面上P、Q间的最短距离为2eq\r(5)．练习:圆台的体积为21eq\r(3)π.它的上底半径,下底半径与母线之比为1∶4∶6,求圆台的侧面积以及底面圆直径的两端点在侧面上的最短距离.解设,则R=4a,l=6a,圆台的高h=(6a)－(4a－a)=3eq\r(3)a,V圆台=πh(R2＋Rr＋r2)=π×3eq\r(3)a×(16a2＋4a2＋a2)=21eq\r(3)πa3.∵V圆台=21eq\r(3)π∴a=1∴圆台的侧面积S=π(R＋r)l=30πa2=30π.设A、B是底面直径的两个端点,为求A、B两端点在侧面上的最短距离,可将圆台侧面展开.圆台的侧面展开图是一个圆环的一部分,易知圆环的大圆半径为8a,小圆半径为2a,由于底面圆周长为8πa,所以圆台的侧面展开图是一个半圆环,底面直径的两端点A、B之间的大圆弧劣弧为大圆周长的四分之一．容易看出,A、B两点在侧面上的最短距离就是展开图中线段BA′的长,易知BA′=8eq\r(2)a.【典例剖析】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中被截去一部分,其中EH∥AD1,剩下的几何体是什么?截去的几何体是什么?你能说出它们的各称吗?D1HC1GA1EFDCAB分析解答:本题主要考查棱柱的定义,剩下的几何体如果把看作面A1EHD1、面ADBCGF上下底,虽然它们互相平行,但是其余面的交线并不平行,很容易判断它不是棱柱,可是我们把面ABFEA1、面DCGHD1作为上下两个底面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,符合棱柱的定义.所以剩下的几何体是五棱柱.截去的几何体面EFB1、面HGC1互相平行,面HEB1C1、B1C1GF、EFGH都是四边形,且这些四边形的公共边都互相平行,由棱柱定义可知,此几何体是三棱柱.测控点2：锥体【测控点击】(1)有一个面是多边形，其他面都是三角形的几何体，是否一定为棱锥？不一定。例如，将两个底面全等的三棱锥的底面重合在一起，使顶点分别在底面的两侧，这样组成的几何体的所有的面都是三角形，但它不是棱锥.(2)圆锥的轴经过顶点和底面的中心,圆锥的底面所在平面是垂直于轴的一个圆,圆锥的母线过顶点且相等，且与轴的夹角相等.

(3)在体积计算中充分展现空间想象能力，实际上也是培养和培养和提高学生空间想象能力的重要方法，以体积计算为载体只是培养空间想象能力的一种途径.想象是在头脑中创造新事物的形象，或者根据口头语言或文字描述，形成相应事物形象的过程。想象能力的培养有助于开发右脑，有助于学生的发散性思维的形成，是培养学生创造能力的基础.只有对几何图形的空间整体结构有了充分准确而牢固地把握，才能在这些载体的依托下充分展现空间想象能力.一般地，在解立体几何题时，先把条件分类，如分为棱长，角度，平行垂直等几类，然后标在图上，使题目与图形分离开来，看图形，想象空间结构，把多面体的每个面都拆下来，再安装复位，把空间的所有平行垂直关系牢牢记在脑海里，把空间的图形切割成几小块，然后安装复位，把空间图形补全后，再取出来，这些过程必须通过一定的解题实践，最终达到见一个试题，所有这些过程都能在空间想象中迅速完成，经常依托各种载体进行空间结构想象的训练，空间想象能力一定会明显提高.(4)体积的计算是立体几何的重要问题之一，它既包含着对空间点、线、面、体位置关系的论证，又包含着对空间几何体进行等体积变换，分割，补形等综合处理，对空间想象能力及逻辑推理能力都有较高层次的要求，因此，体积计算自然也成为高考的热点考查内容.专题探究:体积的计算问题体积的计算问题一般有两类方法：1．直接法，分下面三个步骤完成⑴确定几何体底面形状，确定高⑵计算底面积S，计算高h⑶代入体积公式计算第⑴步是这类方法的核心和难点，包括作辅助线和论证两个重要步骤，也是空间想象能力展现的重要部位2.间接法，分为下面几种情形⑴若几何体为四面体（或组合的四面体）,用换底面（同时也换了高）的方法，把较复杂的问题简单化，直观化⑵若几何体较为复杂，可采用分割的方法把它分割成若干个简单几何体，分别计算其体积，最后求和，这种思路中应特别注意分割成的几何体体积间有何关系.⑶若几何体体积难以计算时，可采用补全图形把它转化为易求体积的几何体，这种思路的核心是弄清补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有较为明显的确定关系.例题在三棱锥P-ABCD中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥P-ABCD的体积.思路1采用直接法，先确定底面形状和高，再计算底面面积S和高h，最后代入公式计算解法1把ΔABC视作底面，∵∠BAC=60°，AB=AC=2a，∴ΔABC是边长为2a的正三角形，∴SΔABC=eq\r(3)a2.过P作PO⊥面ABC垂足为O，故PO为三棱锥的高，易证O在∠BAC的平分线上，关于PO的计算有多种方法.简评这种方法是最基本的方法，也最低层次的方法，缺少对图形整体空间结构的认识，若注意到AP⊥面ABC，容易看到，高可视为AP，底面视为等腰ΔPBC，于是就有了优于解法1的思路解法2依题∠PAB=60°,PA=a,AB=2a,故∠APB=90°∴AP⊥面PBC而VP-ABC=VA-PBC视底面为ΔPBC，高AP依题设ΔPBC为等腰三角形PB=PC=eq\r(3)a，PD=eq\r(2)aSΔPBC=eq\r(2)a2∴VP-ABC=VA-PBC=eq\f(1,3)SΔPBC×PA=eq\f(eq\r(2),3)a3简评：解法1和解法2采用的都是直接法，但是有差别，在计算过程中，解法2明显要简单一点，更重要的是解法2对空间图形的认识要高于解法1，层次也高了一些，因此在用直接法计算体积时，要注意对图形整体结构进行分析，选择哪个面作为底面，这一思维过程正是对空间想象能力较高层次的展现.思路2在解法1与解法2中，都有意无意地运用了截面PAD，但未引起对图形整体空间结构的重新认识，好解法从笔下一滑而过，这个解题缺憾在学生中普遍存在，实质然是空间想象能力不够高，如果对图形整体空间结构有较好认识，看到截面PAD，必能想到BC⊥面PAD,且D为BC的中点，ΔPAD为直角三角形，于是下面的方法就自然产生了.解法3设D为BC的中点，依题设条件易知AP⊥PD，则BC⊥面PAD，∴VP-ABC=2VB-APD=2×eq\f(1,3)×SΔPAD×BD=2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×PA×PD×BD=eq\f(1,3)aeq\r(2)a×a=eq\f(eq\r(2),3)a3简评：此解法实际上是把三棱锥P-ABC一分为二，且分割的两部分体积相等，三棱锥底面为直角三角形，高就是，从而给计算带来了很大方便，用此法解题结束后，是否想到既然可以这样分割，还有其它分割方法吗？又会促使学生对整体图形空间结构的再认识，不难发现从顶点A出发的三条棱之间的夹角都是60°，与正四面体有关系，于是下面的解法也就出现了.解法4设E,F分别是AB与AC的中点，连结PE、PF、EF，易知三棱锥P-AEF是棱长为a的正四面体，并且三棱锥P-AEF与三棱锥P-ABC等高，底面相似且相似比为1:2，故VP-ABC=4VP-AEF=4×eq\f(eq\r(2),12)a3=eq\f(eq\r(2),3)a3简评：既然能分割，是否可补形呢？思路3从A出发的三条棱两两夹角为60°，故可补形为正四面体，至此，空间想象能力达到最高层次.巧用模型,不但能提升学生的思维起点,培养学生的空间想象能力,综合运用能力,还能让学生发现数学美,有利于增进学生的数学情感和兴趣.同时,巧用模型也是学生对数学建模的初步体验,有利于培养学生的建模意识和建模能力.常见的模型有正方体,长方体等.解法5延长AP至S，使PA=PS，连结SB、SC，于是四面体S-ABC为边长等于2a的正四面体，而且VP-ABC=eq\f(1,2)VS-ABC=eq\f(eq\r(2),3)a3，题后反思：五种解法五个层次，一层比一层高，一种比一种解法简捷，要想得到较好的解法必须有较高层次的空间想象能力，空间想象能力的高低反映出对空间图形整体结构的认识是否透彻.(4)把不规则图形向规则图形转化四面体ABCD被平行于棱AB、CD的平面所截,H、G分别是AC、AD的三等分点,求截得两部分体积之比.分析被分成的两个图形不规则,若直接求其体积,显然不行,故需把它们向规则图形转化,过H作HRBC交AB于R,连GR.由于H、G分别是AC、AD的三等分点，所以GH∥DC，则平面GHR∥平面BCD，原图形变成一个三棱台和一个三棱锥.在三棱台中,由已知可得分别是的三等分点,被平面分成的两部分体积可用棱台的高及上底面积表示出来,而三棱锥的体积也可用三棱台的高及上底面积表示出来,到此问题解决.解答:设被分成的两部分体积分别为三棱台的上底面面积为高为则三棱台的下底面面积【典例剖析】某人买了一罐容积为V升，高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方，为了减少罐内液体的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体油最理想的估计能剩多少?解答:首先根据题目叙述画出示意图.直三棱柱为ABC-A′B′C′,破损处为D、E,并且AD=b,EC=c,BB′=a其次是理解“最理想的估计能剩多少”这句话,并将其翻译成数学语言“罐内所剩油的最大值为多少?”再次,是想象什么时候才能达到该最大值,显然,过D、E两点的平面同时应过B′,才能达到要求,故问题转化为几何体ABC-DB′E的体积.最后,为求不规则几何体的体积还应对图形进行处理,方法不唯一,下面给出一种因为VABC-DB′E=VD-BCEB′＋VD-ABC而VD-ABC=eq\f(bV,3a),故只需求VD-BCEB′由eq\f(VD-BCEB,VA′-BCC′B′)=eq\f(a＋c,2a)及VA′-BCC′B′=eq\f(2,3)V,可求得VD-BCEB′=eq\f((a＋c)V,3a)于是,最理想的估计是剩下eq\f((a＋b＋c)V,3a)升该题的背景为学生所熟悉,考查阅读理解、空间想象及处理图形的能力.测控点3：台体【测控点击】(1)棱台与棱柱、棱锥有密切关系,我们用运动的观点来理解，当棱台的上底面扩大到与下底面相同时，棱台变为棱柱；当棱台的上底面缩小为一个点时，棱台变为棱锥.圆台与圆柱,圆锥之间也有类似的关系.我们观察柱体,锥体,台体的体积公式:V=Sh(S设为底面积,h为柱体高),V=eq\f(1,3)Sh(S设为底面积,h为锥体高),V=eq\f(1,3)(S＋S′＋eq\r(SS′))(设S、S′分别为下、上底面积,h为台体高),能够发现它们之间有上述的关系.(2)圆台的轴经过两底面中心，且垂直于底面,两底面都是圆心在轴上的圆，它们所在平面平行，但不是等圆相等且延长后交于一点.【典例剖析】判断下列几何体是不是台体,并说明为什么测控点4：球【测控点击】*组合体中各几何体的联系由柱、锥、台、球等基本几何体组合在一起,称之为组合体,组合体的图形不好画,各个体之间的关系不易分清,但只要你展开想象的翅膀,组合体的触点和核心,你就会感到妙趣横生,下面请跟我一起想象:1.棱长为a的正方体内接于球O.①正方体中心和球心有什么关系?(重合)②球的直径和正方体有什么关系?(是正方体的体对角线)③正方体的棱长a和球的半径R有什么关系?(2R=eq\r(3)a,R=eq\f(eq\r(3)a,2))④正方体的对角面和球有什么关系?(对角面上四顶点所共的圆是球大圆)⑤画什么样的平面图形最能体现正方体与球相接的实质?(对角面和大圆组合)棱长分别为a、b、c的长方体内接于球O,球直径和长方体的棱有什么关系?(球的直径是长方体的体对角线,即(2R)2=a2＋b2＋c2)由空间一点P引三条两两垂直且长度为1的线段PA、PB、PC.①能否将三棱锥P-ABC补成棱长为1的正方体?(能,三棱锥是正方体的一角)②该三棱锥和正方体是否有共同的外接球面?是③怎样计算三棱锥P-ABC的外接球的半径呢?(同正方体的外接球半径)4.由空间一点引两两垂直的三条线段PA、PB、PC,怎样说明PA2＋PB2＋PC2为定值呢?(PA2＋PB2＋PC2是以为棱的长方体的对角线平方)5.正方体的棱长为a,球O内切于正方体①共有几个切点,在什么位置?个切点,在各面的中心上②球的半径和正方体的棱有什么关系?6.将正方体截去四个角,得到正四面体,四面体的棱长和正方体的棱长有什么关系,是面对角线①四面体的棱长和正方体的棱长有什么关系?(是面对角线)②该四面体和正方体是否有共同的外接球面?(是且球心为正方体中心)③怎样计算该正四面体的外接球半径?(2R=eq\r(3)a,R=eq\f(eq\r(3)a,2))④已知正四面体棱长为a,能否补成与之有共同外接球面的正方体?若能,正方体的棱长和有什么关系?(能,正四面体的棱长是正方体的面对角线,棱长为eq\f(eq\r(2)a,2))⑤如何计算该四面体的体积和外接球面的半径?(V四面体=eq\f(1,3)V正方体,2R=eq\f(eq\r(6)a,2)a)7.将半径为r,高为h的圆柱放入球内,使圆柱上下底面都和球面相切①圆柱的上下底面和球有什么关系?(是球的两个小圆)②圆柱的上下底面能否在球心的同侧?它们和球心的位置关系怎样?(不能,球心到上下底面的距离相等,即为球心到小圆面的距离)8.将球放入半径为r的圆柱内,使其和圆柱的侧面上下底面都相切①圆柱的底面和球有什么联系?(圆柱底面是球的大圆)②圆柱的高和球半径有什么关系?(圆柱的高等于球的直径.)*知识的积累往往构建在经验的基础之上,其中包括自身的体验,也可以是前人留给我们的文化底蕴,将数学史引入课堂,介绍历史上一些数学问题解决的艰辛历程,并把它作为问题解决方案的来源,从而再现并演示这一问题解决的思考过程,相信这会给学生很多的启示,如球的表面积的计算,在阿基米德时代,计算球的表面积是一项伟大而又艰巨的任务,曾使当时许多数学家伤透了脑筋,那么阿基米德是如何考虑的呢?他首先对球面的两种定义⑴半径以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面⑵在空间与定点的距离为定长的点的集合．进行了分析比较,最后他选择了前一种,因为这样更有利于将球与圆进行比较,从而将对圆的研究移植到对球的研究上来．我们知道,圆内接正多边形随着边数的增加,其面积越来越接近于圆,设该圆的直径是多边形某相对两个顶点的连线段,我们将这个多边形连同圆一起绕直径旋转,这样产生的一个凸面的表面积近似于球面的面积．如果圆内接正多边形的边数趋于无穷,则其表面积即球面的面积,阿基米德正是用这样的方法达到目的的．【典例剖析】例题:降雨量是指水平地面单位面积上所降水的深度,现用上口直径为32cm,底面直径为24cm,深为35cm的圆台形水桶来测量降雨量．如果在一次降雨过程中,此桶中的雨水深为桶身的四分之一,则此次降雨量为多少?分析:在气象学中,经常碰到测量降雨量,预报台风,沙暴,寒流中心运动规律,预测水位上涨等问题．这类问题常转化为数学问题求解．要求降雨量,只要求出单位面积上所降雨水的深度,而单位面积上雨水的深度可通过等积来求解．解:由题意知,圆台形水桶的水深为OO1=eq\f(35,4)cm,又因为eq\f(A1B1,A2B1)=eq\f(AB,A2B),所以A1B1=eq\f(AB·A2B1,A2B)=1,水面半径O1A1=12＋1=13cm,故桶中雨水的体积是V=eq\f(1,3)π(122＋12×13＋132)×eq\f(35,4)=eq\f(16415,12)πcm3．因为水桶上口的面积为S=π162=256πcm2，设每1cm2的降雨量是xcm,则x=eq\f(V,S)=eq\f(16415,12)π×eq\f(1,256π)≈5.3cm,所以,降雨量约为53mm.此题除了要明确降雨量的概念外,还需要深刻理解题意,得出降雨量的计算方法,为何用盛得雨水的体积除以桶口的面积,而不是除以水面面积或其他面积?这里的分析,推理有一定的难度,其实在降雨过程中,雨水是落入水桶口里,因此盛得雨水体积的多少只与水桶口的大小有关,与桶本身的形状无关．由此不难理解上述计算降水量的方法．测控点5：平行投影【测控点击】(1)在课堂教学中应注重运用实物、模型或零件等教具，同时采用动画进行直观、逼真地演示，把抽象的投影过程理解为形象的思维过程，降低问题的难度便于学生掌握和应用。从易到难，从点开始就有意识地训练学生的空间想象力，为今后的读图、绘图打下扎实的基础。如在点的投影中，利用教室中的材料就地取材，给出点的投影图，让学生用“拳头”、“头”代替点来比划确定这些点的空间位置。这样，教师既容易检查学生有无“想象错位”，学生也较感兴趣。或者反之，把教室作一投影体系，教师给出点的位置。如“拳头”“脚”落到“黑板”、“地板”上，请学生作投影图，明确思维过程：建立体系----把点放入---向三个投影面投影---展开三投影面体系，然后画出投影图。在线、面的教学中，可利用笔、尺、书等用具，坚持使学生很自然的从简单的点到一个面---二个面---几个面---到形体的学习中，都养成一种习惯，看到投影图能去想这些点、线、面在空间的位置或者反之.同时根据人的心理活动的正迁移规律，用日常生活中平移压缩现象理解画图时投影过程，用反向拉伸现象来说明读图时的思维过程，利用人们头脑中已有的压缩和拉伸的知识来理解和解受比较抽象的投影原理，变抽象思维为形象动态思维，提高空间想象力，有利于学生理解记忆，消除制图难学的畏难情绪。平移压缩是指在空间投影体系中，把点、线、面等几何元素或形体向某个投影面平移，当接触到投影面后压缩成投影图.由于是平移后再压缩，与投影时一样，当几何元素或形体相对投影面的位置不同，其压缩的结果也不一样，一般可归结为3种压缩现象，这里以直线和平面为例介绍其类型：当直线或平面垂直投影面时，平移压缩成点或直线，这叫积聚压缩，也就是平行投影的积聚性；当直线或平面倾斜投影面时，平移压缩成比实际长短的直线或比实小的类似形，这叫变化压缩，也就是平行投影的类似性；当直线或平面投影面时，平移压缩成真实长度或真实形状大小，这叫不变压缩，也就是平行投影的真实性。从易到难培养学生的空间想象力，通过点、线、面几何元素经过平移压缩或反向拉伸过程地分析，既能使学生养成良好的思维习惯，提高空间想象能力，也能让学生在学习中觉得读画图不是一件很困难的事，形成一种良性循环。当然提高空间想象力只是作图的一种辅助方法，而不是取代投影原理。(2)投影规律是投影作图的精髓，俗话说“学样子，用一时，学规律，受用一辈子。”教师在教学中应抓住重点、难点，让学生能真正掌握读画图能力。从“点”开始引导学生充分理解“点、线、面”的投影规律，一些同学对“长对正、高平齐、宽相等”这九字口诀倒背如流，可在实际画读图中往往不能体现出来，会出现各种各样的作图错误。例如在学生的学习过程中，我们常常会碰到这种情况：已知两个视图，补画第三视图，学生往往会出现这种错误，左视图中图形是出来了，可用投影规律一对照，却全对不上号.分析其原因，是没有掌握三视图中的“宽相等”这一条投影规律所致。因此，在教学中还应从点开始牢牢抓住投影规律，通过点的投影的形成及三投影面体系的展开，推出点的三条投影规律：（1）正面投影与水平投影的连线垂直于X轴.（2）正面投影与侧面投影的连线垂直于Z轴.（3）水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离.可以用特殊点的投影来加强和巩固点的投影规律。改正错误时就从这一条规律入手，并指出对于空间任意点，它的三个投影都必须遵循这三条投影规律。(3)在“直线的投影”教学中，可以请学生根据教师所绘出的直线位置（教师可用教杆演示直线所处的位置），作出投影图，并归纳投影规律。再从直线的投影---平面的投影----三视图的投影规律，让学生充分认识并领会这些投影规律，并进行规范和强化。这样，学生在记住了“长对正、高平齐、宽相等”这九字口诀的同时，也不会出现前面的补左视图的那种不符投影规律的错误。在这过程中，最容易出问题的是“宽相等”这一条，在教学中也可利用立体图---三视图的形成过程反复讲解，使学生深刻地认识到对同一物体而言，从上向下投影而得俯视图与从左向右投影而得的左视图所放映出来的物体的宽度必然是相等的。这样的教学过程既避免单纯讲解理论，又可以使学生领会学习点、线、面等集合元素的目的，使他们不但理解掌握了投影规律的理论知识，而且知道学习后规律的正确应用空间形体都是由点、线、面几何元素所组成，它们的压缩过程就是这些几何元素做上述三种压缩的结果，形成三视图，比如棱柱体压缩成的三视图是一个正多边形和两套矩形组。圆锥体压缩成的三视图是一个圆和两个全等的等腰三角形，组合体是由若干个基本体按一定的组合形式和相对位置组成的，其压缩过程就是所组成的基本体各自压缩的组合，构成组合体的三视图(4)空间图形是立体几何研究的对象，也是学生思维的对象，由于实际的三维图形总是且二维图形来表示的，这造成了学生识图，画图，用图的困难，教学中我们主要让学生掌握识图，画图的方法，并能用运动的观点观察点线面的位置关系，使空间图形成为学生头脑中活的思维对象，我们抓住画图关，不仅讲清画图的规则，还讲清楚这种画法的道理，即这种画法是透视原理的数学应用，通过学习，学生不仅掌握斜二测画法规则，而且知道了从不同角度观察几何图形可以获得不同的映象（直观图）还知道在解决实际问题时可以根据实际需要灵活地做出有利于问题解决的图形。例如在处理一些二面角的问题时，常常采用图1而不采用图2，因为就这类问题的解决来看，图1的立体感及线条的交错较图2更为优越，图1图2掌握了画图的方法（此处不是指规则，而是指根据不同的透视角度做出个应的图形）图将不再神秘，也不再僵化，应用也自然更为灵活.空间图形是画在一个平面内，因此识图和画图的技巧就十分重要。如何根据题目的条件画出图形，需要用实物模型参考，更需要多观察、多比较、多分析、逐步积累一些画法技巧，注意图形的合理性、美观性和直观性。有些性质和判定和长度的计算及点的位置的确定，往往借助图形的直观而估算一个大概，也有利于最后经过计算或论证得到结果的验证.高一学生不知道怎样才能学好立体几何，尤其是差生。教师应根据立体几何这门学科的特征，给差生作学习方法介绍.第一，闯三关。画图关、识图关、语言关；第二，三官齐动。多动手，勤动脑，用眼仔细观察好.立体几何是研究空间图形的性质，画法与计算的一门高度抽象的学科，建立正确的空间概念是一大难关，要闯过这一关，必须多动手做模型，联系模型画图形，对照图形想关系.只有这样坚持下去，才能建立正确的空间概念，有效地培养差生的空间想象能力.历年来高考立体几何试题的客观题中，突出了“概念准确、小巧、灵活”，而主观题中，则是论证与推理并重；计算题的核心则是解决好距离、角、面积、体积。图形的相互转化贯穿整个考试过程，如线线、线面、面面位置关系的相互转化，空间图形与平面图形的相互转化，其常用的手段有：平移、分割、展开、翻折等。高考试题的总体特点是“小题不简单，大题并不难”.(5)进一步提高空间想象力和判断能力.第一学会联想、类比在解题时要联系已有的知识和经验进行思考，对三维空间的问题可以类比二维空间的问题进行思考.第二学会反证、举反例在判断一个命题是真命题时，一般需要进行推理论证，除直接证法外反证法也是一种证题的方法.在确定一个命题是假命题时，一般只需举一个反例即可.第三画好组合体的截面图及平面图形的折叠图在研究多面体内接（或外切）于球及平面图形折叠等问题时，画好它们的截面图和折叠图至关重要.第四重视图形的运动变换在解决空间问题时，经常用到图形的"割"、"补"及"变位"（变换图形或顶点底面的位置）等图形变换的方法，其实质仍是化未知为已知.(6)把立体图形画在纸上,成为立体图形的直观图,供教师或学生学,但是直观图的立体感,毕竟与立体图形的真实形状不完全相同,这就给教与学带来了一定的困难,这也是人们常说立体几何难的原因之一．要解决这个问题,必须保证实物想象直观图这三个环节,实物是前提,想象是关键,直观图是结果,在初学阶段,这三个环节缺一不可而且不可颠倒顺序,那种屏弃实物以直观图来培养想象力的做法是不可取的．【典例剖析】做中学:麦比乌斯带及其变形研究性学习是20世纪80年代以来面对知识经济的挑战，国际社会比较普遍认同和实施的一种新的课程模式．其核心是改变学生的学习方式,强调一种主动探究式的学习,它围绕问题来组织学生的学习活动．问题是多种类型的,其中包括实践操作类,它强调扩大学生的知识,但不限于书本知识,尤其不限于仅仅由教科书规定的知识;它强调能力的培养,但不只是对课本知识的背诵、理解、掌握的能力,而更注重实践能力,分析和解决问题的能力,在培养学生意志品质方面它也有自己的着重点,它把激发学生的好奇心和自主意识,激发学生的探索性和创造精神视为自己的培养目标,这种富有生命力的新课程模式在我国起步较晚,但其在培养学生的创新精神和能力方面的价值已为我国教育界首肯．麦比乌斯带及其变形,这个研究性课题将开拓学生的思维,有效地启发学生从一个新的角度思考问题.1麦比乌斯带的制作与性质探讨1.1课前准备做课题前一天通知每一个学生准备如下学具:40×4的长方形纸带9条,胶水,剪刀,蜡笔,教师画好下面的表格1.1.2麦比乌斯带的制作教师指导:一张纸,一块布可根据其形状区别正面与反面,一个球面,一个柱面,可区别其里面与外面.显然,上面这些物体或曲面都是双侧的,都有两个侧面,可分别涂上两种不同的颜色.设想有一只小虫,若想从球面的外面爬到里面,显然不可能,因球面是封闭的,是闭曲面,它没有边界线;但若把球面改为柱面,小虫就能如愿以偿了,可它必须越过柱面两条边界线中的一条.看来,我们周围的曲面都是双侧的．果真如此吗?1858年,德国数学家,天文学家麦比乌斯在应答巴黎研究院赏征答多面体几何理论时,发现了一种奇怪的曲面,它的制作非常简单．学生操作:取一长方形纸带ABCD,扭转半圈,将两端粘合起来,做成一环带．教师指导:刚刚制作出的即拓朴学中著名的麦比乌斯带,制作的过程中确实令人感到有些蹊跷,现在通过操作来探险究,奇怪在何处?1.3麦比乌斯带的性质探讨学生操作:从麦比乌斯带接口处开始用蜡笔给它面上涂上红色.(结果让学生大吃一惊,蜡笔不离开带的表面顺次涂下去,整个带都给涂红了)教师指导若给柱面涂上颜色，就可以在其外面和里面涂上不同的红色和绿色，因为柱面是双侧的，有两个侧面，刚才操作的结果表明麦比乌斯带是单侧的，这只是它的第一条性质。学生操作：从麦比乌斯带边缘上的某点(如接口的边缘点)出发，用绿色蜡笔涂染其边缘线．(学生发现蜡笔在经过所有的边缘后回到了起点)教师指导:刚才操作的结果说明麦比乌斯带只有一条边界线,显然与球面和柱面不同,这是麦比乌斯带的第二条性质,现在可以考虑,小虫要在整个麦比乌斯带上留下自己的足迹,要越过边界线吗?2麦比乌斯带的变形2.1从边缘eq\f(1,n)处(n=2,3,4…)剪开麦比乌斯带教师指导:麦比乌斯带变形的方法有多种,先从剪开其中间线来研究.学生操作,画麦比乌斯带的中间线并循中间线剪开教师指导:刚才的操作是把麦比乌斯带从边缘eq\f(1,2)处剪开,将有关结果填入表1,并取n=3,4…,仿上继续操作,在表1中填好结果．学生操作:将前面n=2的操作结果填入表1后,取n=3,在麦比乌斯带上画2条分宽度为三的等分线,剪开,将结果填入表1中,并依次取n=4,5…进行操作,填写表1n的取值所得新环带个数各新环带与原带长度关系各新环带扭转的圈数新环带之间的关系21为原带长2倍232大环带为原带长2倍小环带与原带长相等大环带4小环带1连接42两个同样的大环带为原带长2倍4连接53两个大环带为原带长2倍一个小环带与原带长相等大环带4小环带1连接63三个同样的大环带为原带长2倍4连接……………表1教师指导:请根据表分析“把麦比乌斯带从边缘处剪开”的结果并记录下来,为课后撰写研究报告准备材料.提纲如下:分n为奇、偶两种情况分析:用n表示剪得的新环带个数;新环带与原带长的数量关系;新环带之间的位置关系.2.2两张叠在一起的长方形纸带制成的麦比乌斯带学生操作:将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半圈,把相应的端头粘合在一起把食指放在两层带之间移动把双层带拉开成单层带,比较双单层带的长度与扭转半圈数;将单层带恢复为双层,同时沿两者的中间线剪开.教师指导:学生总结并记录四次操作的结果:①做成一“双层”麦比乌斯带;②双层带并不是紧偎着的;③双层带可拉开成一单层带,其长为原带长2倍,扭转半圈数为4;④从双层带中间线剪开得两个同样的连在一起的单层带,长为双层带的2倍,扭转半圈数为4.教师指导学生根据操作③、④的结果推测;若不断地将所得的新环带沿中间线展开,则所得新环带的个数、长度、扭转半圈数、位置关系四者中有几项是变化的,怎样变化?（新环带的个数以2，2，2，…增加,其余三项不变.）3.课题延伸3.1麦比乌斯带的意义麦比乌斯带乍看起来似乎不过是新奇的玩具而已,但它的涵义却是深刻的.麦比乌斯在1858年就发现了它,可有关论文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久.1865年发表出来后以它奇妙的单侧性吸引无数学者步入了拓扑的殿堂,对至今才仅有一百多年历史的拓扑学科的诞生和发展起了不可估量的作用.3.2麦比乌斯带的应用与价值麦比乌斯带在现实生活中有广泛的应用,在科学研究中也有巨大的价值.前者可举一个人们熟悉的例子:机械传动中使用的平面皮带若以麦比乌斯带的方式制作,损耗就比较平均,从而可延长使用寿命.后者可举一个有机化学领域的例子:美国科罗拉多大化学系的沃尔巴等三位教授在实验室里第一次合成了形状和麦比乌斯带一样的麦比乌斯分子.制作这种分子的方法同制作麦比乌斯带的方法极其相似.若将这种分子的双键剖开,可得到环径加一倍而分子量不变有大环.三位科学家还打算合成拓朴结构更为惊人的有机分子,以便探索出一套研究有机化学的新方法.3和麦比乌斯带相似的三维封闭形克莱因瓶克莱因瓶是德国数学家克莱因年发现的,它是麦比乌斯带的三维情况.从拓朴学的观点看,它实际上是两条麦比乌斯带沿边缘粘合而成的,说得直观些,它就是将圆柱面两端的圆周扭转粘合而成的,这是一个闭曲面,也是侧的,没有里面和外面之分,在拓朴学中,它差不多与麦比乌斯带齐名.4课题作业将一个麦比乌斯带沿中间线剪开,得一新环带,将新环带又按中间线剪开,将这种操作至少进行六次,记录每次剪开所得新环带的个数,长度,扭转半圈数和连接情况,然后分析记录的结果,找出规律.试题全解自主卷测控导航：共同基础平台选择题（48分，共12题）1.将棱长为3的四面体的各棱长三等份，经过分点将原四面体各顶点附近截去一个棱长为1的小四面体，则剩下的多面体的棱数为（）A16B17C18D19分析本题关键是:截去小四面体后，原有的棱数不变，且每一顶点处增加三条棱.解答四面体有六条棱,四个顶点,原四面体经过切割以后,出现了四个截面,它们均为三角形.故剩下的多面体的棱数为6＋3×4=18.答案:C2..下列有四个命题⑴各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥⑵三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥⑶底面是正三角形的棱锥是正三棱锥⑷顶点在底面上的射影是底面多边形的内心也是外心的棱锥必是正棱锥其中正确命题个数是()A0B1C2D3分析：本题考查正棱锥的概念.正棱锥必须具备两点一是底面为正多边形，二是顶点在底面的射影是底面中心解答:⑴不正确，例如在三棱锥P-ABC中，PA=PC=AB=AC,图中三个侧面PAC,PAB,PBC都为等腰三角形，但不一定是正三棱锥，，⑵缺少第1个条件，⑶缺少第2个条件，而⑷可推出以上两个条件都具备，（因多边形的内心外心重合时是正多边形）答案：B3.设有四个命题①底面是矩形的平行六面体的长方体.②棱长相等的直四棱柱是正方体.③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体.④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是（）A0B1C2D3分析：本题主要涉及到直平行六面体、长方体的概念解答：如果底面是矩形但侧棱不垂直于底面，这时的四棱柱就不是直平行六面体，所以①不是真命题因为底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是长方体，所以②不是真命题，③也不是真命题，因为若两条侧棱垂直于底面的一边可推出两个相对侧面是矩形，但不能推出侧棱与底面垂直，④真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平生六面体。答案：B4.下列三个命题⑴四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形⑵一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥⑶四个侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥一定是正四棱锥其真命题个数是（）A0B1C2D3分析：进一步提高空间想象力和判断能力1、学会联想、类比在解题时要联系已有的知识和经验进行思考，对三维空间的问题可以类比二维空间的问题进行思考。2、学会反证、举反例在判断一个命题是真命题时，一般需要进行推理论证，除直接证法外反证法也是一种证题的方法.在确定一个命题是假命题时，一般只需举一个反例即可。解答：⑴在四棱锥P-ABCD中，若PD⊥平面ABCD,而四边形ABCD为矩形，则可证明其四个侧面都是直角三角形，故⑴是真命题⑵在六棱锥V-ABCDEF中，若侧棱长和底面边长都相等，则此棱锥为正棱锥，则点V在平面ABCDEF的的射影为正六边形的中心O，则AO=AB=VA,此时与ΔVOA是直角三角形矛盾⑶在四棱锥S-ABCD中，SA=SC=AB=BC=CD=DA=5,SB=SD=3eq\r(2)（此为一特例）,此时四个侧面都是等腰三角形，但它不是正棱锥答案：A5.棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面面积为50cm2，则截面与底面的距离为（）cmA5B10C11D25分析:用平行于底面的平面去截棱锥,则截面与底面相似,且它们面积的比为相似比的平方.解答:设截面与底面的距离为xcm,则(eq\f(16－x,16))2=eq\f(50,512)解得x=11答案:C6.(2003·河南)在棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线为棱的八面体的体积为（）Aeq\f(a3,3)Beq\f(a3,4)Ceq\f(a3,6)Deq\f(a3,12)分析：正方体有六个表面，解答：所得正八面体是两个体积相等的正四面体∴V=2×eq\f(1,3)×(eq\f(eq\r(2),2)a)2×eq\f(a,2)=eq\f(a3,6)答案：选C7.（2003·北京海淀5月质检）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么球的体积为（）分析：体积最大的球为正方体的内切球.解答：此题相当于求正方体的内切球的体积∴V=eq\f(4,3)π×(eq\f(1,2))3=eq\f(π,6)答案：eq\f(π,6)8.若球的面积扩大为原来的2倍，则球的体积比原来增加（）倍A2B4C2eq\r(2)D2eq\r(2)－1分析:解此题要特别注意“扩大为”不同于“扩大”,类似地还有“增大到”“增大”“减少到”、“减少”等等.解答:根据球的面积公式,球的面积扩大为原来的2倍,则半径扩大为原来的eq\r(2)倍.从而增加后的球的体积为eq\f(4,3)π(eq\r(2)r)3球增加的体积为eq\f(4,3)π(eq\r(2)r)3－eq\f(4,3)πr3=eq\f(4,3)π(2eq\r(2)－1)r3所求为eq\f(eq\f(4,3)π(2eq\r(2)－1)r3,eq\f(4,3)πr3)=2eq\r(2)－1答案:选D9.一个正四面体的所有棱长为eq\r(2)，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（）A3πB4πC3eq\r(3)πD6π分析:正四面体可补成正方体,根据题意,四面体内接于球即正方体内接于球.要得球的表面积先求半径,球的直径是正方体的体对角线.解答:由题意知该四面体为正四面体，由正四面体的运算公式R=eq\f(eq\r(6),4)a=eq\f(eq\r(3),2)∴S=4πR2=4π(eq\f(eq\r(3),2))2=3π答案:选Ａ10.（2002·北京）64个直径为eq\f(a,4)的小球，记它们的体积和为V甲，表面积和为S甲，一个直径为a的小球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则（Ｃ）AV甲>V乙且S甲>S乙BV甲<V乙且S甲<S乙CV甲=V乙且S甲>S乙DV甲=V乙且S甲=S乙解答：V甲=64×eq\f(4,3)π×(eq\f(a,8))3=eq\f(1,6)πa3V乙=eq\f(4,3)π×(eq\f(a,2))3=eq\f(1,6)πa3S甲=64×4π(eq\f(a,8))2=4πa2S乙=4π(eq\f(a,2))2=πa211.长方体的长宽高分别为3,4,5，且八个顶点均在同一球面上，则球的表面积为（）A20eq\r(2)πB25eq\r(2)πC50πD200π分析：由勾股定理，设长方体的三度分别为a,b,c，则其对角线长l=eq\r(a2＋b2＋c2)解答：长方体对角线长l=eq\r(32＋42＋52)=5eq\r(2)∴R=eq\f(5eq\r(2),2)∴S球=4πR2=4π(5eq\r(2))2=50π答案：选C12.（2003·重庆市第二诊测）如下图，啤酒瓶子的高为h，瓶内啤酒面的高度为a，在盖子盖好的情况下，将酒瓶倒置时瓶内酒面高度为b，则啤酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（）A1＋eq\f(a＋b,h)B1＋eq\f(h,a＋b)C1＋eq\f(h－b,a)D1＋eq\f(h－a,b)分析:瓶子倒置前后,瓶内啤酒的容积是不变的.解答:由体积不变性，设底面积为S，则V1=V2=(h－b)S则比等于eq\f((h－b)＋aS,aS)=1＋eq\f(h－b,a)答案：C填空题(16分,共4题)13.一个球的表面积是144πcm2，它的体积是.分析:这是考查球的表面积与体积的基本公式.解答:由公式得S=4πR2=144π故R=6则V=eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π×63=288π答案:288πcm314.球、球的内接正方体的体积之比是.分析:本题考查球的体积公式及组合体的知识,球的内接正方体换一种表述为正方体内接于球,球是正方体的外切球,正方体是球的内接正方体.则球与正方体的特征量之间的关系是:球的直径等于正方体的体对角线长,即2R=eq\r(3)a(R为球的半径,a为正方体的边长)解答:由题意得2R=eq\r(3)a∴R=eq\f(eq\r(3)a,2)∴V球=eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π×(eq\f(eq\r(3)a,2))3=eq\f(eq\r(3),2)πa3V正方体=a3V球÷V正方体=eq\f(eq\r(3),2)πa3÷a3=(eq\r(3)π)÷2答案:eq\f(eq\r(3)π,2)15.(高考题改编)已知空间不重合的两条直线,它们的平行投影可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一直线④一条直线及其外一点以上结论中,正确结论的编号为.(写出所有正确结论的编号) 分析本题主要考查平行投影这一知识点,通过正方体模型能容易的找到直线、平面的关系.解答如上图所示，在正方体ABCD-EFGH中，将底面ABCD看成平面α，则①BE与GH在平面α内的射影是两条平行直线；②BE与AH在平面α内的射影是两条垂直直线；③AD与EH在平面α内的射影是同一直线；④BE与CG在平面α内的射影是一条直线及其外一点.答案①②③④16.(高考题改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则ΔPAC在该正方体各个面上的射影可能是.(要求:把可能的图的序号都填上)分析本题考查学生对射影知识的掌握情况及空间想象能力.要得到ΔPAC在某个面上的射影,只需找出三个点P、A、C在相应面上的射影.解答ΔPAC在正方体某一个面上的射影,应当是连结三个顶点P、A、C在这个面上的射影而得下底面上的射影是下底面对角线AC,因此图①②③是可能的,且ΔPAC在上底面上的射影是上底面对角线A1C1,也是图①的情形,而A在侧面BC1上的射影是B,C在侧面BC1上的射影是它本身,P在侧面BC1上的射影是侧面BC1的中心,故图④也是可能的,同理,ΔPAC在其他三个侧面上的射影也都是图④的情形,因此,所有可能的图形是①④本题是一道多选题,涉及的数学概念并不多,侧重于考查数学语言向图形语言的转译,并根据这两种语言提供的信息展开空间想象,弃伪存真,它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求,是近几年高考题型改革较为成功的一种新颖题型之一．答案①④解答题(36分,共4题)17.图所示的是一个奖杯的三视图,画出它的直观图.分析本题考查了以下知识点(1)三视图的规律.长对正,高平齐,宽相等.从中得到关于长宽高的数据.(2)由三视图想象、整合出奖杯的空间图形.这需要从三个维度考虑底座、顶端的情况(3)如何画立体实物的直观图.斜二测画法只是用平面图形表示空间图形的一种方法.解答:从奖杯的三视图可以看出,奖杯的底座是一个正棱台,它的上底面是边长为60mm的正方形,下底面是边长为100mm的正方形,高为20mm,底座的上面是一个底面对角线长为40mm,高为72mm的正四棱柱,它的底面的对角线分别与棱台底面的边平行,它的底面的中心在棱台上、下底面中心的线上,奖杯的最上部,在正四棱柱上底面的中心放着一个直径为28mm的球.根据以上分析,画出奖杯的直观图,如图所示.小结(1)要理解投影规律.一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下面,长度与主视图一样,左视图放在主视图的右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图一样.对简单的几何体,如一块砖,向两个互相垂直的平面作正投影,就能真实地反映它的大小和形状.一般只画出它的主视图和俯视图(二视图).对于复杂的几何体,三视图可能还不足以反映它的大小和形状,就需要更多的投影平面.(2)斜二测画法规则是:一斜二测,横不变,纵减半.20.设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面和底面都是等边三角形的正三棱锥.分析这是对棱锥概念的逆向考查.同时也检测学生的空间想象能力,动手操作能力.解:正三棱锥的侧面与底边都是等边三角形,所以它的棱长都相等.于是作一等边三角形及其三条中位线,如图所示,沿图中的实线剪下这个三角形,再以虚线(中位线)为折痕,就可折成符合题意的几何体.方法指导独自在家做完模拟试卷，对完答案之后，必须对结果作细致分析特级教师李奕的建议是“一横两纵”分析模拟试卷.“一横”是指在本学科内相对失分最多的内容板块.“两纵”分析，第一是指试卷中显示的相对薄弱、失分多的题型，如选择题、填空题、综合题、实验题等，对这“一纵向”分析的目的是了解学生在不同题型上的得分率，一般讲，选择题得分率的要求是高的，也是整体高分的保障.第二是指试卷上你自己由于同样的原因而发生共同错误(如审题不清、时间规划不好等)，这“一纵向”分析显示同学们复习中对信息的提取能力和考试技巧的相对薄弱处，这种薄弱很可能不是知识上的欠缺，必须通过综合的模拟考试练习才能显现出来.自己对照答案后，会发现许多错题，同学们对于试卷上反映出来的错误和问题要做多角度、多层面的分析.这里强调的多角度是指要从复习内容、练习多少、自己应试的思维成熟度、考试的紧张状态等，多层面是指要从知识复习程度、思路理解水平、解题技巧掌握等.同学们可以以二维图表的方式对每一个问题、每一个错误点进行定位分析，对导致错误的因子进行多方位寻解，避免分析问题思路的单一化.个人创新拓展（选作）1.在半径为15的球内有一底面边长为12eq\r(3)的内接正三棱锥，求此三棱锥的体积分析：根据锥体体积公式可知本题关键求三棱锥的高,从而必须找到球的半径与已知边长的关系.球心可能在锥体内部,也可能在其外部,要分情况讨论.解答：如下图所示球心O的位置，显然OA=OB=OC=OD=R=15，ΔBCD是边长为12eq\r(3)的正三角形，它的中心为H，H也是点A和O点在平面BCD上的射影，HB=HC=HD=eq\f(2,3)×eq\f(eq\r(3),2)×12eq\r(3)=12OH=eq\r(OB2－HB2)=eq\r(152－122)=9三棱锥A-BCD的高h=9＋15=24又SΔBCD=eq\f(eq\r(3),4)(12eq\r(3))2=108eq\r(3)三棱锥A-BCD的体积VA-BCD=eq\f(1,3)×108eq\r(3)×24=864eq\r(3)对于下图所示的情形，只是三棱锥的高发生了变化，其他的与情形相同，h=15－9=6VA-BCD=eq\f(1,3)×108eq\r(3)×6=216eq\r(3)综上所述，所求三棱锥体积为864eq\r(3)或216eq\r(3)答案：864eq\r(3)或216eq\r(3)2.判断下列结论是否正确⑴矩形的平行投影一定是矩形⑵梯形的平行投影一定是梯形⑶两条相交直线的投影可能平行⑷如果一个三角形的平行投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的中位线.⑸平行四边形的平行投影可能是正方形⑹正方形的平行投影一定是菱形自主温故提升（选作）1.利用叙二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形以上结论,正确的是()A①②B①C③④D①②③④2.（2001·京春）已知球内接正方体表面积为S，那么球体积等于.分析解答设球半径为R，正方体棱长为a，则2R=eq\r(3)a又6a2=S,∴a=eq\f(eq\r(S),eq\r(6))∴R=eq\f(eq\r(3),2)×eq\f(eq\r(S),eq\r(6))=eq\f(eq\r(S),2eq\r(2))∴V=eq\f(4,3)π×(eq\f(eq\r(S),2eq\r(2)))3=eq\f(Seq\r(2S),24)π答案eq\f(Seq\r(2S),24)π3.(高考题改编)在如图所示的正方体中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AGFE在该正方体的面上的射影不可能是（B）共同卷共同基础平台选择题(72分,共18题)1.(2004·全国卷)已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面中心分别为E、F、G、H,设四面体的表面积为T,则eq\f(T,S)=(a)Aeq\f(1,9)Be