2023年高考数学真题分类汇编：平面解析几何

2023年高考数学真题分类汇编：平面解析几何

一、填空题

1.（2023•全国乙卷）已知点做1,遮）在抛物线C：y2=2px±,则A到C的准线的距离为.

2.（2023•上海卷）已知/+y2—4y—m=0的面积为兀，求m=；

3.（2023•新高考团卷）已知直线x-my+l=0与。C：G-+/=4交于A,B两点，写出满足“△

ABC面积为的小的一个值________________________________

4.（2023・天津卷）过原点的一条直线与圆C：（X+2y+y2=3相切，交曲线y2=2px（p>0）于点尸，若

\OP\=8,则p的值为.

5.（2023•新高考团卷）已知双曲线C：a一%=1（£1>0,b>0）的左、右焦点分别为七,尸2•点A

在C上.点B在y轴上，用1用，取=一|左瓦则C的离心率为.

二、选择题

6.（2023•全国乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（x,y）|lsF+y2s%内随机取一点A,

则直线OA的倾斜角不大于今的概率为（）

A-IB-Ic-ID-J

7.（2023•全国乙卷）设A,B为双曲线/_4=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是

（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

8.（2023•全国乙卷）已知实数工,）7满足X2+产一4%-2'-4=0,则x—y的最大值是（）

A.1+呼B.4C.1+3V2D.7

9.（2023•上海卷）在平面上，若曲线r具有如下性质：存在点M,使得对于任意点Per,都有Qer使得

\PM\-\QM\=1.则称这条曲线为“自相关曲线”.判断下列两个命题的真假（）.

（1）所有椭圆都是“自相关曲线（2）存在双曲线是“自相关曲线”.

A.（1）假命题；（2）真命题B.（1）真命题；（2）假命题

C.（1）真命题；（2）真命题D.（1）假命题；（2）假命题

10.（2023•新高考团卷）设O为坐标原点，直线y=-b。一1）过抛物线C：产=2pxQ>0）的焦点，且

与C交于M,N两点，［为C的准线，则（)

A.p=2B.\MN\=|

C.以MN为直径的圆与1相切D.ZkOMN为等腰三角形

2

11.（2023•全国甲卷）设尸i，尸2为椭圆C：半+y2=1的两个焦点，点P在C上，若丽•恒=0,则

|PFI|“PF2|=（）

A.1B.2C.4D.5

12.（2023•全国甲卷）已知双曲线今—£=l（a>0,6>0）的离心率为遥，其中一条渐近线与圆（无一

2)2+(y-3)2=1交于A,B两点，顺AB|=()

A.1B.电C.延D4相

555

13.（2023•全国甲卷）己知双曲线3—咚=l（a>0,b>0）的离心率为遥，其中一条渐近线与圆（久一

2）2+07—3）2=1交于A,B两点，则|AB|=（）

A.第B.等C.亭D4而

T-

14.（2023,天津卷）双曲线等-4=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

F.过尸2作其中一条渐近

ab2

线的垂线，垂足为P.已知PF2=2,直线PR的斜率为?，则双曲线的方程为（）

4

A.、=l8.之*=1x22

C.7=IDy-i

15.（2023•全国乙卷）设0为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（久，y）|lW/+V34｝内随机取一点，记

该点为A,则直线OA的倾斜角不大于今的概率为（）

4,

A-1B-IC,1D-J

2

16.（2023•新高考回卷）已知椭圆C：多+y2=i的左，右焦点分别为Fi，尸2，直线y二x+m与C交于点

A,B两点，若面积是&F2AB的2倍，则m=（）

A.32B.与C._立D.

233

22

17.（2023•新高考回卷）设椭圆Cj+y=l(a>1),C2：^-+y=1的离心率分别为e1，e?.若

e2=ge1，贝Ua=()

A28B.V2C.V3D.V6

18.（2023•新高考国卷）过点（0,-2）与圆x2+y2-4xT=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=（）

A.1B.叵C.逗D.晅

444

三、解答题

19.(2023•全国乙卷)已知椭圆C：'+*l(a>b>0)的离心率是多点4(一2,0)在C上.

(1)求C的方程；

(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点，直线4P,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN

的中点为定点.

20.(2023•上海卷)已知抛物线「y2=4x,A为第一象限内厂上的一点，设点4的纵坐标是a®>0).

(1)若A到抛物线厂的准线的距离为3,求a的值；

(2)若a=4,B为％轴上一点，且线段的中点在广上，求点B坐标及原点O到直线AB的距离；

(3)设直线2：x=-3,P是第一象限「上异于4的一点，直线P力交1于Q,点H是P在/上的投影，若点

4满足''对任意点P都有|HQ|〉4",求a的取值范围.

21.(2023•全国甲卷)已知直线x—2y+l=0与抛物线C：y2=2p%(p>0)交于4B两点，|AB|=

4V15.

(1)求p；

(2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，且前•丽=0,求△时9%面积的最小值.

22.(2023•全国甲卷)设抛物线C：y2=2px(p>0),直线x-2y+1=0与C交于A,B两点，且

\AB\=4V15.

(1)求p；

(2)设C的焦点为F,M,N为C上两点，MF-~NF=0,求△MNF面积的最小值.

23.(2023•天津卷)设椭圆马+4=l(a>b>0)的左右顶点分别为公,A2,右焦点为F,已知|&F|=

ab

3,|&F|=1.

(1)求椭圆方程及其离心率;

(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线42P交y轴于点Q，若三角形为PQ的面积是三角

形/2FP面积的二倍，求直线42P的方程•

24.(2023,全国乙卷)已知椭圆C：^2+—j=l(a>b>0)的离心率为多点火—2,0)在C上.

(1)求C的方程;

(2)过点(—2,3)的直线交C于点P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线

段MN的中点为定点.

25.(2023•新高考回卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(一2而，0),离心率为正

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为Ai，A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象

限，直线与N公交于P，证明：点P在定直线上.

26.(2023•新高考团卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,手的距离，记动点P

的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于36.

答案解析部分

1.【答案】I

【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质

【解析】【解答】由题意得(⑥2=2pX1，求得p=|,.•・抛物线上点到准线距离d=乙+刍=1+|=*

故答案为：I

【分析【直接代入点坐标求抛物线方程，利用d=4+m求抛物线上点到准线距离。

2.【答案】-3

【知识点】圆的标准方程

［解析］［解答］%24-y2-4y-m=0,

•'•%2+(y—2)2=m+4(m>-4),

设该圆的半径为R,则屐=6+4(m>-4)

.\nR2=IT,BPn(m+4)=n

解得?n=—3

故答案为：-3

【分析】将圆的一般方程转换成标准方程，得出R2结合面积计算可得m值.

3.【答案】2,—2,々中选一个即可

【知识点】直线和圆的方程的应用

【解析】【解答】由圆的方程知C(l,0),由x-my+1=0可知直线其过(-1,0)

若m=0,易得此时与圆有且仅有一个交点(-1,0),故不符合题意

若粗。0,由题意设4(一1,0),B(a,b),

•・,A4BC面积为。，SRABC=•1川=g1=卷,

代入圆的方程(a-1)2+©=4,解得a=T或,,

为(g-卷)或(-白或得，Y)或传，I),

此时直线斜率为盍=kAB=磊，代入解得巾=2或一2或/或—；

故答案为：2,-2,中任选一个

【分析】初步分析％-my+l=0过定点(-1，0),利用A4BC面积公式与原方程求得符合条件的坐

标，由直线方程斜率公式建立关系解得m值。

4.【答案】6

【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程

【解析】【解答】由C：(x+2)2+y2=3-易得圆心0'(-2,0),半径，R=6,

结合焦点在x轴上的抛物线y2=2px(p>0)可知圆与抛物线均关于x轴对称，

故不妨设过原点的直线为令y=kx(k>0),即kx—y=0,如下图所示，

•.•y=kx(k>0)与圆相切，

\-2k\后

...庐二="3,解得出=百，

设点P(t,遮t)(t>0)，由|OP|=8,

则/2+(Wt)2=8,解得t=4,即P(4,4次)，

将P点代入y2=2px(p>0)得(475)2=2x4p,解得p=6.

故答案填：6.

【分析】由圆与直线相切转化为圆心到直线距离为半径列出方程求出直线解析式，结合两点间距离公式

代入得出p的值.

5.【答案】竽

【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用

【解析】【解答】如图

因为乙4咦=乙B0F2=90°,Z.AF2D=乙BF2O,所以AADF2〜ABOF2,

因印为/Ft24=_g2F2TB，所匚匚“以A。前D=F?泥=氤=12

因为0尸2=以所以F2〃=|C，设A在X轴上方则可求得4(|C,2m)，

25c2*1,即研=(翳一1邢

其中,①

则B(0,3m)

又打(―c,0),F2(c,0),所以F】A=(gc,2m),F/=(c,3m)，

222C2

因为F遇1F^B,所以?通,F]B=^c—6m=^c—1(^2—l)d=0，

即#一|(翳-l)(c2—a2)=0,方程两边同除a?,贝承2—I售e2-l)(e2—l)=0,化简得

25e4-50e2+9=0,即<5e2-9；(5e2-1)=0，所以e?，殒2=《<1(舍去)，所以e=莘.

故答案为：等

【分析】根据题意由坐标表达向量关系，结合双曲线参数关系消b,找出a,c的等量关系。

6.【答案】C

【知识点】几何概型；圆的标准方程

【解析】【解答】•.•区域｛(%,力1《对表示以0(0,0)圆心，半径为R=2和半径为r=1组成的

圆环，

••・直线。/1倾斜角不大于今为如下阴影部分表示的区域，其中NMON=J,结合对称性可得所求概率P=

2号_1

-2F=4

;

故选：c

【分析】画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。

7.【答案】D

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用

（华，史），则3=股，M

【解析1【解答】设4（xi，yj,B&,及），则AB中点M

丫1+丫2

Xj+%2

片

]/

八0;

/

Q-¥=1

•••48在双曲线上则41,两式相减得x/一。件-陶=。…容=9,

"殍=1

y12-y2

・・k0MkAB_x^_x^2-％

A：M（l,1）,***k0M=1,心8=9,.,•直线AB：y=9x—8,

'2y2消去y

联立X一q=1:72x2-144x+73=0,

y=9x-8

•・・△=1442-4x72x73=-288<0,.••直线与双曲线没有两个交点.故A错误;

B：M（—1,2）,k°M=-2,k/[B=-3，直线4B:丫=一X一

/—=1消去y

It45/+90%+61=0,

{y=~lx-l

・・・△=902_4x45x61=_2880<0,・•・直线与双曲线没有两个交点,故B错误；

C：M（l/3）,•••k0M=3,=3,二直线48：y=3%,

由双曲线方程可得渐近线为y=±\=±3%,.•・直线4B为渐近线

・・・直线与双曲线没有两个交点.故C错误；

D：M（—L―4）,•*-k0M=4,・•・直线48：y=

=]消去y

联立{c9T63x2+126x-193=0,

I97

日=尹-4

•・•△=1262+4X63x193〉0,.♦•直线与双曲线有两个交点.故D正确；

故选：D

【分析】设两点分别为4（/，%），8（的，及），由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得

,2

出koM-kAB=%，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。

8.【答案】C

【知识点】简单线性规划的应用；圆的标准方程；圆的一般方程

【解析】【解答】%2+y2-4x—2y—4=0,整理得（x—2）2+（y—l）2=9

其中圆心O为（2,1）,半径r=3.

另x-y=k,如下图，易知当直线x-y=k与圆（％—2>+（y—1尸=9相切时取得最大

即点O到直线x-y=k的距离为OA=R=312cli|=3解得k=1土3鱼

V1।1

由k最大，即k取1+3e

故选：c

【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径，将x-y最大值转化为线性规划问题，在可

行域范围内分析并计算可得答案。

9.【答案】(1)B

【知识点】命题的真假判断与应用；圆锥曲线的综合

【解析】【解答】①在椭圆中，如图，若存在点M,使得对于任意点per,都有Qe门变得|PM|•

\QM\=1.

不妨先以点M在x轴上分析，在M点从椭圆左顶点往x负半轴移动时，必然存在|M川=1,

以此M点为假设存在的点，VP,Q均在椭圆上，且|M川<\MP\<\MB\,\MA\<\MQ\<\MB\,故对

于任意点Per,都有Qe门吏得|PM|•|QM|=1.

由特殊到一般，由椭圆图形取值为封闭图形，即确定点M的位置后，其最小值与最大值是有限值，故

对任意的情形依然存在且符合题意；

故所有的椭圆都是“自相关曲线”为真命题.

②同理，由确定点M位置后，结合双曲线图形特点，其最小值总是有限值，而最大值是无限的，所以不

存在双曲线是“自相关曲线”.

【分析】根据圆锥曲线图形特点及取值分析判断可得答案.

10.【答案】A,C

【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系

【解析】【解答】A：由题意可得直线y=—6(X-1)过焦点F(l,0),即号=1,p=2,

二抛物线C：y2=4%,故A正确；

B、D：设/V(x2y2),联立卜='遮，一1),

整理3/一10%+3=0,解得勺=5利=3,代入直线得力=季，y2=-2V3,

即M0,竽)，N(3,2⑹,

•.\0M\=&|0/V|=V21,

由抛物线性质可得|MN|=与+%2+p=竽，

•.AOMN不为等腰三角形，故B、D错误；

C：设MN中点为a,01到准线1距离为d,则d=3(|MAT|+|NN1)=；(|MF|+|NF|)=4|MN|,

••・以MN直径的圆与准线?相切，故C正确。

故选：AC

【分析】根据题意求出焦点坐标得出p判断A,联立可求得直线与抛物线交点坐标结合抛物线性质

\MN\=XT+x2+P可判断B、D,

利用抛物线性质表示圆心到I的距离即可判断C。

11.【答案】B

【知识点】椭圆的简单性质

【解析】【解答】由题意知，\PF1\+\PF2\=2a=2yf5,|FIF2|=2c=4

PF1pp22

••・PFt-PF2=0>"i2'\PFi\+卮2/=|FIF2I=16

一(|PF1『+|P&|2)20—16

-2=2=2

故选：B

【分析】利用椭圆定义和勾股定理得出P&,PF2和与乘积的关系，利用完全平方公式间的公式转化求

解。

12.【答案】D

【知识点】直线和圆的方程的应用；双曲线的定义

【解析】【解答】双曲线定义知a?+b2=c2<e=^=V5c=V5a,b=2a

・•渐近线方程为y=±：%=±2x，渐近线y=2x与圆有交点，即2x—y=0与圆有交点

••・圆心（2,3）到渐近线距离d=忸奈皆=增或等（舍去）,

二弦长|AB|=2A/r2—d2=

故选：D

【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求|40。

13.【答案】D

【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的定义

【解析】【解答】双曲线定义知a?+62=c2>e=：=遍二c=y/5a,b=2a

•••渐近线方程为y=±，x=±2x,渐近线y=2x与圆有交点，即2x—y=0与圆有交点

=导或等（舍去）,

.•・圆心（2,3）到渐近线距离d

JA2+B2

二弦长1ABi=2>/r2—d2—

故选：D

【分析】根据题意结合双曲线定义求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出弦长公式求|48|。

14.【答案】D

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】如图所示,设FK—C,0）,F2（C,0）.

若渐近线为y=可知P点在第四象限，与直线PF1的斜率为正数矛盾,

故此渐近线为y=，x，即bx—ay=O,

,\ac\_bc_

VPF2=2,则八z一『b-2,

Ja2+Z)z

.22222

・・y=-x，OP=0F2-PF2=Vc-b=a，

22

设P(a32t)(t>0),则(at)2+(21)2=M解得产=4=亨即t=g

a4+4cLc

2a2a_2a_42々./日厂

KPFI==滔三=寿百=解得=鱼，

S+c4’a

:.a=2,b2=4,所以双曲线的方程为妥1=1，

故选：D.

【分析】结合图象分析由PF?=2结合点到直线距离公式得出b值，易分析此时P点位置可用系数a、

b、c表示，进而结合KpB=?与基本关系c2=a?+房消元解关于a的方程得出双曲线标准方程.

15.【答案】C

【知识点】几何概型；圆的标准方程

【解析】【解答】•••区域｛"y)|l4/+丫244｝表示以0(0,0)圆心，半径为R=2和半径为r=1组成

的圆环,

.••直线6M倾斜角不大于今为如下阴影部分表示的区域，其中ZMON=],结合对称性可得所求概率P=

2x^1

2兀-4

故选：c.

【分析】画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。

16.【答案】C

【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】如下图，设与x轴交点为M（—0）,

11

=

S^F2ABSAF[4B=SAF271B=2

%_|F]M|sinNAMFi_\FXM\_|-m+c|_2

2其中c=Va2—b2=V2，

互=\F2M\smAAMF2=\F^M]=|c+m|一

当M位于F/2中间时，4鬻=2,解得巾=_孝,

当M位于F2右侧时，建^=2,解得吁-3也易检验此时直线与椭圆无交点，舍去。故选：C

【分析】画图辅助图分析，将»F遇B：S.24B=2转化为％M：F2M=2计算分类讨论结果即得答案。

17.【答案】A

【知识点】椭圆的定义

【解析】【解答】由题意结合可得。_c_Ja2-1_c_V4=T_V3,

e2一万一-2~一下

又,：e?=b即遮一6匹L解得a=挛.

丁―-a~3

故选：A

【分析】由椭圆标准方程得出参数a、b值，由参数关系与离心率公式e=擀即得答案。

18.【答案】B

【知识点】二倍角的正弦公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】如图

根据勾股定理易得04=2V2,AB=V0/12-0B2=百，

又•••相切的两条直线的夹角为a,即/BAC=a

易得NOAB=/OAC与

诉I”aAB/6.aRTa/10

所以COS7y=777=，Sin^r=1—COS27T=-7—f

LUA4L-\lL4

所以sina=2cos^sin^=2x乎x=乌

ZZ444

故选：B

【分析】由圆的一般方程整理得出圆心与半径，结合切线定理与三角恒等变换即得答案。

19.【答案】(1)将点4(-2,0)代入椭圆得，方=1,

又e=£=至，a2=b2+c2且(a>b>0)

a3

解得Q=3,b=2,c—V5»

椭圆方程为*+《=1

(2)当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A,不符合题意；

故PQ斜率存在，如图，由直线过点(—2,3)可设PQ：y=k(x+2)+3

其中P（x「yj,Q（%2,为），M（。,VM），N（0,加）

・・・直线仍看=音当令工=°得为=晶，同理得匹=第

y=k（x+2）+3

消y整理得：(4k2+9)久2+sk(2k+3)%+8k(2k4-3)x+16(/+3k)=0,

-8k(2k+3)16(k2+3k\

1%1+%2=o，丫.丫一')、

X1x2-----2

4K+"4/Z+9

且小=64k2(2k+3)2-64(41+9)(9+3k)=-1728/c>0,即k<0

，佐(与+

,YM+YN=,2=2)+3](%2+2)+[/c(%2+2)+3](%1+2)

-

2一%i+2x2+2(%1+2)(%2+2)

_2kxiX2+(4k4-3)(jq+x2)+4(2k+3)

%1%2+2(%1+%2)+4

32W+3、)_8/c(M+3)(2/c+3)+42k+3)

=4k2+94/+9_____________

16(—+3/c)16/c(2/c+3)/

4必+94/C2+9

32k(必+3同一8k(4k+3)(2k+3)4-4(2k+3)(4必+9)

-16(/c24-3/c)-16/c(2/c+3)+4(4/c24-9)一

••・直线MN的中点是定点(0,3).

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用

【解析】【分析】（1）将4代入椭圆方程，结合离心率e=（和a2=M+c2列方程组求解*b,

（2）设直线PQ方程，与椭圆联立利用韦达定理计算整理得出MN中点”用为定值。

20.【答案】⑴根据题意，由点A在抛物线「上,则4/，a），

又•••「：y2=4x,故抛物线焦点为（1，0）,准线为x=-l,

2

•••点A到抛物线厂的准线的距离为1_（—1）=3，且a>0,解得a=2M

（2）若a=4,则4（4,4）,依题意可设点B为（m,0），则线段AB中点为矍+2,2）,

由（与+2,2）在「上，故2?=4x（号+2）,解得m=-2,

即4（4,4）,8（-2,0）,则%B=『二=|，

AyJB

AAB所在直线方程为y=|（x-2）,即2%—3y—4=0,

.•.点O到直线AB的距离为了丁］=13-；

12+3

...人「所在直线方程为3,一。=念（久一9），即丫=亳％+急'

令x=3,则yQ=*，

则“Q=|n-暗卜九2+12

n+a>4

n4-a>0

»n2+12>%即4。<n2-4n+12,

n+a

・%<电+2，

2

•.•对任意点P都有|HQ|>4,即a<（n/）+2恒成立，

故a<2.

综上所述，a的取值范围是（0,2）

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）由抛物线方程得出准线，代入即可算出答案；

（2）设0）将线段AB中点表达代入抛物线中可算出B点，求出AB所在直线方程，由点到直线距离

公式可计算距离；

7

（3）设p（j,切5>0）将|HQ|计算整理表达有关于a,n的代数式，求a的取值范围可进行参变分离转

4

化成恒成立问题，即得答案.

21.【答案】（1）由题意可设yj,B3,、2），

联立「（匕°，消y整理得：y2-4py+2p=0,其中△=16p2-8p=8p（2p-1）>0,

iy=/p%

解得p>3或P<o,

22

•1•%+=4p,y1-y2=P>（%-刈）2=（乃+y2）-4yly2=16P2-8P

22\2

\AB\=J（X1—％2）2+（%—丫2）2=（需-符）+（yi-y2V

2__________________________

=J（16p2—8p）x5=4A/15,解得p=2或p=—|（舍去），

•*.p=2.

（2）由⑴得，C：y2=4x,尸（1,0）,如图,

设MN：x=my+n,M{X3,为)，/V(x4/y4),

直线MN与x轴交点为D(n,0),

联立『丫2]，4：：消y整理得，y2-4my-4n=0,

2

/.△=16m+16n>0,y3+y4=4m,y3-y4=-4n,

f

,**F(L0),.・.FM=(x3—1,y3)FN=—1,y，,

—>T

•••FM-FN=(x3-1)•(x4-1)+y3y4=(my3+n-1)-(my4+n-1)+y3y4=0，

2

化简得(病+l)y3y4+m(n-l)(y3+y4)+(n-l)=0

代入上式整理得4m2+4n=(n—l)2,E|J4m2=n2—6n+1>0

解得n>3+2&或n<3-2衣’

则SAMFN=J|yM-yN\\PD\=||y3-y411n-1|=*](为+%『-4y3y4忱-1|

1__________

=2V16m2+16n|n—11=(n—I)2,

.•・当且仅当n=3-2VI时，即m=0时，取得最小值SAMFN*=12-8V2.

【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)联立。利用弦长公式化简得出关于p的方程，计算可得p值；

(2)为方便联立及避开分类，可设直线x=my+n,利用局.加=0,找出m，n的关系并求出取值范

围，表示出SAMFN进而根据范围可求得最小值。

22.【答案】(1)由题意可设A(%i，yj,Ba,及)，

联立『y^-2pX，消丫整理得：产-4py+2P=0,其中△=16p2-8p=8p(2p-1)>0,

解得p>聂p<0,

2

：,%+=4p，%・=2p，01-y2)=01+、2)2-4yly2=16P?-8P

2222

\AB\=—%2)2+(%—丫2)2=(需-阳)+(yi-y2)

/中)Lf",一词堂)臼

=J(16p2—8p)x5=4A/15»解得p=2或p=—(舍去)，

，p=2.

(2)由⑴得,C：.2=4%,尸⑴o),如图,

设MN：x=my+n,M[X3,y3),N^x4,%),

直线MN与x轴交点为0(n,0),

联立，y27jn，消y整理得，y2-4my-4几=0,

2

/.△=16m+16n>0,y3+y4=4m,y3-y4=-4n,

f

•・,F(l,0),AFM=(x3—1,y3)FN=(g-1,y，，

—>T

：•FM-FN=(x3—1)•(x4-1)+y3y4=(my3+n—1)•(my4+九-1)+y3y4=0,

2

化简得(tn?+l)y3y4+m(n-l)(y3+y4)+(n-l)=0

代入上式整理得4m2+4n=(n—l)2,即4血2=n2—6n+1>0

解得ri>3+2鱼或ri<3—2V2

n

则SAMFN=*|丫“_丫"1F0=^\y3-y^-^=L&3+丫4『-4y3y4mT|

=^V16m2+16n|n-11=(n—1)2>

.•・当且仅当n=3-2或时，即m=0时，取得最小值SAMFN,.M=12-8四.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)联立。利用弦长公式化简得出关于p的方程，计算可得p值；

(2)为方便联立及避开分类，可设直线x=my+n,利用局.无=o,找出m,n的关系并求出取值范

围，表示出SAMFN进而根据范围可求得最小值。

23.【答案】(1)解：:阂尸|=3,\A2F\=1,

：.2a=\ArF\+\A2F\=4,即a=2,

此时c=a—\A2F\=2—1=1,

•'•h2=a2-c2=3»

椭圆的方程为g+■=1，离心率为e=£=)

43QZ

(2)解：由⑴得,42(2,0)，41(-2,0),F(l,0).

设直线42P的解析式为x=ky+2,此时Q点易得(0,-1),

'%2y2

联立4+-1,整理得(36+4)y2+12ky=0,KPy[(3/c2+4)y+12k]=0

,x=fcy+2

.12k

..y=—2—，

P3k'+4

S2A2FP=；xA2Fx\yp\=3W,

111212k

X

S^AtPQ=S^A1A2Q-S^A1A2Q=2AI“2x一、p|=2_RT----2----

3/c+4

・・•三角形4PQ的面积是三角形&FP面积的二倍

•"诉=2-/亚，整理得16k2|=*—8|,

解得k=土苧

...直线42P的解析式为％=±乎'+2，

即3x+V6y—6=0或3%-V6y-6=0.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】⑴由|&F|=3,|&F|=1得长轴2a=4,c=l,结合椭圆基本性质易得其方程与离心

率；

12k

(2)由42P直线过x轴42(2,0)一点，可设直线％=ky+2,得出=一互百工，进而表示出三角形为PQ

与三角形&FP面积，利用等量关系可求得k值，即得直线42P的方程.

4

24.【答案】(1)将点4(—2,0)代入椭圆得，*=1,

又e=£=空，a2=b2+c2且(a>b>0)

a3

解得a=3,b=2,c=V5>

27

椭圆方程为常+¥=1.

(2)当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A,不符合题意;

故PQ斜率存在，如图，由直线过点(—2,3)可设PQ：y=fc(x+2)+3

其中P(%「yj，Q(%2,为)，M(0,yM),N(0,州)

・••直线外好转，令"°得力=晶，同理得％=第

y=k(x+2)+3

联立差+9=1

消y整理得：(4k2+9)久2+sk(2k+3)%+8k(2k4-3)x+16(/+3k)=0,

-8k(2k+3)16f/c2+3/c

%1+%2=5，丫.丫一、

X1x2-----2

4K+"4/Z+9

且小=64k2(2k+3)2-64(41+9)(9+3k)=-1728/c>0,即k<0

%+八=%,为=幽+2)+3](外+2)+[做%2+2)+3](/+2)

2一％1+2赴+2—(%i+2)(%2+2)

_2kxiX?+(4k+3)(汽1+%2)+4(2/c+3)

%1%2+2(%1+%2)+4

32坐2+3q_8依M+3)3+3)+十

4k2+9加+9_________________

16(/C2+3/C)16/C(2/C+3).

4.+94—+9

32*2+3对-8k(4k+3)(2/c+3)+4(2/c+3)(4/c2+9)

—16(/c2+3/c)-16/c(2/c+3)+4(4/c2+9)一

,.直线MN的中点是定点（0,3）.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）将A代入椭圆方程，结合离心率e=（和a2=M+c2列方程组求解欧b>c.

（2）设直线PQ方程，与椭圆联立利用韦达定理计算整理得出MN中点”铲为定值。

25.【答案】⑴设双曲线方程为当一彳=1,

於b

又•••左焦点%（-2西，0）,离心率/=通，

可得c=2区,a=2,

b=Vc2—a2=4

・••双曲线方程为/=1

416

（2）由（1）知4（-2,0）,A2（2,0）,

设M（X「%），N（%2,y2）>

①若直线MN斜率为0,则此时M、N、P均为定点，可视作点P在定直线上.

②若直线MN斜率不为0,由直线过定点（-4,0）,

・•・设MN：x=my-4,

y2

联立彳一正=1,整理得：(4m2-l)y2-32my+48=0,

X=my—4

32m48

••・其中△=64(4m24-3)>0,y+y=

124m2—4nl2-1'

直线的斜率k=赳，即此时直线的方程为y=赳。+2)

同理可得直线的方程为y=我万。-2)

16m+2'i

联立方程可哨=

一6丫1

4nl2-1

解得X——1»

即点P在定直线久=-1上运动。

【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)利用双曲线性质直接求出a,b与曲线C方程;

(2)分类讨论斜率的两种情况，过x轴上定点(-4,0)的直线可设为久=my-4,联立双曲线方程，再

利用点斜式表达出M4,N4方程，联立求其交点，进而结合韦达定理化简整理求解。

26.【答案】(I)设P(x,y),由题意可得加=Jx2+(y_/j,化简得丫=/+/,

所以动点P的轨迹方程W为y=/+,

(2)将在W上的三点记为人B,C,设yj,B5,y2)^C(x3＞为)且％i。外。％3，

：.BA-BC=[x1-x1,y1-y2)(x3-x2ry3-y2)=o.

222

(xi-尤2)(巧-x2)+仇-y2)(y3-y2)=(xx-x2)fe-x2)+(x/-%2)(%3-x2)=0,

又入1H%2。%3，(%1+%2)(%3+%2)=—1，

22x2

矩形ABCD周长C=2|B*+2|BC|=(%!-x2)+-y2)+V(3-x2V+(y3-y2))=

2

2(|%1-X2lVl+(%1+%2)+\x3-%2卜1+(%3+%2尸)

不妨设(％1+%2)=机，(％3+久2)=J，且|m|41

原式=2(|%1-引”+.+忱3+(1)]

M2M

》2|%i—X2IA/1++k3—X2|V1+

2

>2(ki-X2\+\x3-x2l)Vl+fn