浙江专版2023高考数学一轮复习：第8章 平面解析几何 第3节 圆的方程

第三节圆的方程

抓基础・自主学习I理教材•双基自主测评

知识梳理

1.圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准

(x—a)'+(y—b)2=f(r>0)圆心(a,8),半径r

方程

圆E心(［一D,~2A)f

一般♦+―+瓜+发+尸=o,

方程半径右/)+广一4/

2.点与圆的位置关系

点、MAO,%)与圆(x—a)?+(y—6)°=/的位置关系:

(1)假设水松，㈤在圆外，那么(般一a)?十(%—02＞产.

(2)假设材(加，丹)在圆上，那么(加一动2+(%—〃2=/

(3)假设M(xo,H)在圆内，那么(施一@/+(%—

学情自测

1.(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“J",错误的打"X").

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)方程(x+a)?+(y+份2={teR)表示圆心为(a,6),半径为力的一个圆.()

(3)方程4/+5盯+夕+加+陵+尸=0表示圆的充要条件是4=今0,8=0,4+4一

4加＞0.()

⑷假设点欣胸，㈤在圆/+/+以+砂+尸=0外，那么■+髭+浜+庚+冷0.()

［解析］由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确.

(2)中，当［W0时，表示圆心为(-a,-6),半径为|t|的圆，不正确.

［答案］⑴V(2)X(3)V(4)V

2.(教材改编)方程f+/+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，那么a的取值范围是()

22

A.aV—2或3＞鼻B.—-＜a＜0

jo

2

C.-2<a<0D.-2<a<-

D［由题意知3+4才一4(2a'+a—1)>0,

2

解得一2caV..］

3.圆2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1,那么a=()

3

B.-4-

C.小D.2

A［圆/+/—2x—8y+13=0,得圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y—1=0的

□匚8，Id+4-114

品巨离d=/。-=1,解得a——-]

7a旺1J

4.(2023•嘉兴一中质检)假设圆。的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,

那么圆C的标准方程为.

/+(y-l)2=l［两圆关于直线对称那么圆心关于直线对称，半径相等.圆C的圆心为

(0,1),半径为1,标准方程为f+(y—1)2=1.］

22

5.一个圆经过椭圆・+个=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，那么该圆的标准

164

方程为________.【导学号：51062268］

(X—5)+/=彳［由题意知a=4,b—2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,—2),

右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设

+4=r,

圆的标准方程为(x—4+/=/(0〈水4,r〉0),那么22解得

I4—ffl'—r,

所以圆的标准方程为+T]

明考向•题型突破।析典例•探求规律方法■

~求圆的方程

卜例口⑴三点4(1,0)，夙0,小),以2,小),那么△/比外接圆的圆心到原点的距

离为()

5y/21

A.-B.~~

oo

C.芈D.|

Jo

(2)圆C的圆心在x轴的正半轴上，点材(0,4)在圆C上，且圆心到直线2x—y=0的

距离为T-,那么圆。的方程为

5

(DB(2)(x-2)2+y=9[(1)法一：在坐标系中画出△/回(如图)，利用两点间的距

离公式可得=MCI=I8。=2(也可以借助图形直接观察得出)，所以为等边三角

形.设a'的中点为。，点£为外心，同时也是重心.所以|四|=刍/"=缚，从而|第=

oo

法二：设圆的一般方程为丁+/+以+。+尸=0,

'D=-2,

jl+〃+尸=0,

那么43+小什尸=0,解得＜£=一芈,

O

[7+2D+yliE+F=0,

/=L

所以△/(比外接圆的圆心为11,

因此圆心到原点的距离d=

(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0),且a>0,

所以圆心到直线2x—y=0的距离"=亲=唔

解得a=2,

所以圆C的半径r=|CM\=4中=3,

所以圆，的方程为5—2)2+/=9.]

[规律方法]1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进

而写出方程.

2.待定系数法求圆的方程：①假设条件与圆心(a,6)和半径r有关，那么设圆的标准

方程，依据条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；②假设条件没有明确

给出圆心或半径，那么选择圆的一般方程，依据条件列出关于〃，E,b的方程组，进而求出

D,E,尸的值.

温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.

［变式训练1］(2023•浙江五校联盟联考)经过点4(5,2),M3,-2),且圆心在直线

2x-y-3=0上的圆的方程为一.

_?+/—4”一2y一5=0(或(*-2)2+(7-1)2=10)

［法一：；圆过/(5,2),6(3,—2)两点，

.•.圆心一定在线段46的垂直平分线上.

易知线段18的垂直平分线方程为y=-1(^-4).

(2a—b-3=0,

设所求圆的圆心为C(&6),那么有(1

［b=~2L4，

解得a=2,且，=1.

因此圆心坐标(7(2,1),半径r=\AC\

故所求圆的方程为(x—2尸+(y—i)2=io.

法二：设圆的方程为丁+/+%+。+夕=0(〃+百一4/>0),

"25+4+5〃+2£+尸=0,

9+4+34-2E+少=0,

那么j

2X^+f-3=0,

解得〃=-4,E=—2,F=-5,

.,.所求圆的方程为x+y-4x-2y~5^0.]

IWP1_2J_________________与圆有关的最值问题

卜例财材(为力为圆G一4x-14y+45=0上任意一点，且点0(—2,3).

⑴求|,留的最大值和最小值；

(2)求台|的最大值和最小值.【导学号：51062269］

［解］(1)由圆C：/+/—4x—14y+45=0,

可得(X-2)2+(尸-7)2=8,

二圆心C的坐标为⑵7),半径r=2p2分

又|^|=72+22+7-30的

二I第［=+2隹=6小，

I幽［=44-2*=2蚯.6分

⑵可知曷表示直线板的斜率左8分

设直线，媳的方程为y—3=A(x+2)，即成一了+24+3=0.10分

所以菅廿三2m

由直线制与圆，有交点,

可得2—

，色|的最大值为2+4，最小值为2-m.14分

［迁移探究1］(变化结论)在本例的条件下，求y-x的最大值和最小值.

［解］设y—x=Z?,那么x—p+b=0.4分

当直线尸x+力与圆。相切时，截距b取到最值，

27+b

/.(［-—^2\［2,；.6=9或8=1.12分

+T

因此y-x的最大值为9,最小值为1.14分

［迁移探究2］(变换条件结论)假设本例中条件”点。(-2,3)”改为"点0是直线3x

+4y+l=0上的动点”，其它条件不变，试求\媳|的最小值.

［解］:圆心(7(2,7)到直线3x+4y+l=0上动点0的最小值为点C到直线3x+4y+l

=0的距离，

..12X3+7X4+11八

QC\Bi=(/­/-।”=7.6分

n0+4'

又圆C的半径r=2班,

：.\MQ\的最小值为7-2^2.14分

［规律方法］1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的

几何意义，数形结合求解.

2.某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值.

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数

法、配方法、函数的性质、利用根本不等式求最值是比拟常用的.

［变式训练2］设尸为直线3x—4y+H=0上的动点，过点一作圆G^+^-2x-2y

+1=0的两条切线，切点分别为4B,求四边形胡龙的面积的最小值.

［解］圆的标准方程为(x—1)2+(y—1产=1,2分

圆心为以1,1),半径为r=L6分

根据对称性可知，四边形为⑦的面积为

2区.=2Xg必|r=|必|=y\\PC\'-r.8分

要使四边形用％的面积最小，那么只需|此1最小，最小时为圆心到直线/：3A~4Z+

11=0的距离

3-4+11110°_八

d=-]=一—=2.12分

#2十—425

所以四边形为⑶面积的最小值为

IPC\1=y［i.14分

I「向3|与圆有关的轨迹问题-

卜例图点尸(2,2),圆G*+/—8y=0,过点。的动直线/与圆。交于4,6两点,

线段47的中点为M,0为坐标原点.

(1)求，"的轨迹方程；

⑵^\OP\=甥时，求/的方程及的面积.

［解］(1)圆C的方程可化为f+3-4)2=16,所以圆心为以0,4),半径为4.2分

设J/(x,y),那么。/=(x,y—4),MP—{2—x,2—y).

由题设知MP=0,故x(2—x)+(y—4)(2—0=0,

即(x—1)2+(y—3)2=2.

由于点尸在圆。的内部，

2

所以"的轨迹方程是1尸+(7-3)=2.6分

(2)由(1)可知历的轨迹是以点Ml,3)为圆心，啦为半径的圆.

由于|8|=|，故。在线段的垂直平分线上.

又一在圆/V上，从而ONLPM.8分

因为〃V的斜率为3,所以1的斜率为一4，

O

1O

故1的方程为y=-^x+-A2分

JJ

又|QV|=|加=2娘，。到/的距离为丝旦|掰=空幽，所以△阳”的面积为15

［规律方法］求与圆有关的轨迹问题的四种方法

(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.

(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.

(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.

(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与点的关系，代入点满足的关系式求解.

［变式训练3］点4(—1,0),点以2,0),动点61满足14a=|M，求点C与点尸(1,4)

所连线段的中点M的轨迹方程.

［解］由题意可知：动点C的轨迹是以（一1,0）为圆心，3为半径长的圆，方程为（x+

1）'+/=9.4分

设就施，％）,那么由中点坐标公式可求得

C（2的一1,2%—4）,8分

代入点。的轨迹方程得4京+4（%—2尸=9,

化简得笳+（%—2）2=*13分

9

故点材的轨迹方程为/+（y-2）2--15分

名师微博与

［思想与方法］

1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的根本

方法.

2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.

［易错与防范］

1.二元二次方程/+y+Dx+Ey+F—0表示圆时易无视jf+^—4F>0这一前提条件.

2.求圆的方程需要三个独立条件，所以不管是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个

独立方程.

3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程

后还要指明轨迹表示什么曲线.

课时分层训练（四十五）圆的方程

A组根底达标

（建议用时：30分钟）

一、选择题

1.(2023•舟山模拟)圆(x—l)2+(y—2)z=l关于直线y=x对称的圆的方程为

)

A.(A~2)2+(y-l)2=lB.(x+l)-+(y-2)2=l

C.(x+2)?+(y—1)2=1D.(x—1)~+(y+2)-=l

A[(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),.,.圆(x-l)2+(y—2)2=l关于直线y=x

对称的圆的方程为(x—2)2+(y—1)2=1.]

2.圆V+/—2x+4y+3=0的圆心到直线x一尸1的距离为()

【导学号：51062270]

A.2B弋

C.1D.^/2

D[圆的方程可化为(x—1)2+5+2尸=2,那么圆心坐标为(1,-2).

故圆心到直线x—y—1=0的距离"=上击"=[1]

3.圆(x—2)2+(y+l)2=16的一条直径通过直线x—2y+3=0被圆所截弦的中点，那

么该直径所在的直线方程为()

A.3x+y—5=0B.x—2尸=0

C.x—2y+4=0D.2x+y-3=0

D[易知圆心坐标为(2,-1).

由于直线X—2y+3=0的斜率为今

...该直径所在直线的斜率k=-2.

故所求直线方程为y+l=-2(x—2),即2x+y—3=0.]

4.假设圆心在x轴上，半径为乖的圆。位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，那

么圆0的方程是()

A.(%—A/5)+/=5B.(x+4)"+/=5

C.(x—5尸+/=5D.(>+5尸+/=5

D[设圆心为(20)(〃<0),

那么r=缥等-=m，解得a=-5,

yjl+2"v

所以圆。的方程为(x+5)2+/=5.]

5.设P是圆(x-3)2+(y+l)2=4上的动点，0是直线x=-3上的动点，那么|尸0|的最

小值为()

A.6B.4

C.3D.2y

B［如下图，圆心M(3,—1)与直线x=-3的最短距离为"心

=3—(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6—2=4」

二、填空题

6.(2023•浙江高考)aGR,方程-1+(a+2)/+4*+8y+5a=0表示圆，那么圆心坐

标是,半径是.

(-2,-4)5［由二元二次方程表示圆的条件可得a?=a+2,解得a=2或一1.当a

=2时，方程为4V+4/+4x+8y+10=0,即/+/+才+2夕+|=0,配方得，+；)+(9+

1)2=—1<0,不表示圆；

当&=一1时，方程为f+/+4x+8y—5=0,配方得(x+2)*+(y+4)'=25,那么圆心

坐标为(-2,-4),半径是5.］

7.点M(l,0)是圆G_?+/-4x—2y=0内的一点，那么过点必的最短弦所在直线的方

程是.【导学号：51062271］

x+y~l=0［圆G系+/-4*一2尸0的圆心为以2,1),

1—0

=

那么kcn-72)—r11-

•..过点M的最短弦与C"垂直，最短弦所在直线的方程为y-0=-l(%-l),即x+y

-1=0.］

8.在平面直角坐标系xa中，以点(1,0)为圆心且与直线mx—y—2〃L1=0(/6R)相切

的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

(x—1>+/=2［因为直线wx—y—20-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直

线mx-y-2m-1=0的最大距离为d=y］2-12+-1-02=^2,所以半径最大时的

半径r=心,所以半径最大的圆的标准方程为5—1)2+炉=2.］

三、解答题

9.直线/：尸x+m,m《R,假设以点M(2,0)为圆心的圆与直线/相切于点只且点一

在y轴上，求该圆的方程.

［解］法一：依题意，点户的坐标为(0,必)，2分

因为物所以汽Xl=-1,6分

解得勿=2,即点尸的坐标为(0,2),10分

圆的半径r=I，网=y)2-02+0-22=2^2,

故所求圆的方程为(x—2/+/=8.15分

法二：设所求圆的半径为r,那么圆的方程可设为(*-2尸+/=d，2分

依题意，所求圆与直线/：x—y+勿=0相切于点户(0,加,

4+/»=r,

那么，2-0+7|6分

zff—2,

解得|r-10分

lr=2隹

所以所求圆的方程为(x—2尸+/=8.15分

10.过原点的动直线/与圆G：/+/-6犬+5=0相交于不同的两点4B.

(1)求圆G的圆心坐标；

(2)求线段48的中点”的轨迹。的方程.【导学号：510622721

［解］(1)由f+/—6x+5=0得(1-3)2+/=4,2分

所以圆G的圆心坐标为(3,0).6分

(2)设M(x,y),依题意GM•〃井=0,

所以(x—3,y),(x,y)=0,那么3x+/=0,

所以(x-■!)+/=*9分

又原点。(0,0)在圆G外，

因此中点"的轨迹是圆，与圆G相交落在圆G内的一段圆弧.

卜-3x+/=0,5

'I'x+/—6x+5=0,消去/得x=1，

O

5

因此12分

O

所以线段的中点材的轨迹方程为(L|)+/=3(|VXW3)15分

B组能力提升

(建议用时：15分钟)