2023年初升高数学暑假衔接-幂函数（教师版）

第2.5章根本初等函数

2.5.1幕函数

度］溪理要求了iw求心中有修

1了解某函数的概念;

后J中要求2结合函数)/=%,y=x2,y=X3,y=x~1,y=X2的图象，了解它们的变化情

况

口△基础知识夯实基・，・立完赛知识体聚

1塞函数的定义

一般地，形如y=x"的函数称为幕函数，其中％是自变量，a为常数.

注注意嘉函数中xa的系数是1,底数是变量居指数a是常数；

2正数的正分数指数幕的意义

(1)正数的正分数指数幕的意义，规定：aT=y®(a>o,m,neN)Eln>l)

巧记"子内母外"(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)

(2)正数的正分数指数哥的意义：a>O,m,nG/V*，且ri>1)

Egy/x=x2,x-2=?x-2=—=^.

(3)0的正分数指数事等于0,0的负分数指数累没有意义.

3零函数图像及其性质

1

(1)幕函数y=X,y=x2,y=x3,y-x2,y=%一1的图象.

(2)幕函数y-x,y-x2,y-x3,y-x2,y=的性质

1

3_1

y=xy=x2y=xy=%'y=x

w

厂

图象U

TT、

定义域RRR[0,+00)%。0

值域R[0,+00)R[0,+oo)x=^=0

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(-8,0］上递减在［0,+oo)在(-8,0)上递减

单调性在R上递增在R上递增

在(0,+8)上递增上递增在(0,+8)上递减

定点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(L1)

⑶性质

①全部的幕函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

②a>0时，嘉函数的图象通过原点，并且在［0,+8)上是增函数.

特别地，当a>l时，幕函数变化快，图象下凹：当0<a<l时，累函数变化慢，图象上凸.

1

Egy=%2图象上凸，y=/图象下凹，在［0,+8)上是增函数.

③a<0时，基函数的图象在(0,+8)上是减函数.在第—象限内，当无从右边趋向原点时，图象在y轴右

方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

.11

Ecgy=x1=",

卷经典例题

从典例中见n■能力

（题型1）幕函数的概念

（典题1）已知函数/（乃=（m2+2^1-2）%病-*1是塞函数，则m=

解析由题意知，假设/'（x）为嘉函数，则？n?+2m-2=1.

即7712+2m-3=0,解得m=1或zn=-3.

变式练习

1.已知fQ）=a/。+1-b+1是基函数，则a+b=.

答案2

解析函数f（x）=ax2a+i-b+l是幕函数，

依据基函数的定义知，解得a=l,b=l；

所以Q+6=2.

2.基函数fQ）的图象过点卜,；），则-3）=.

答案!

解析设"乃=/，则2"J所以a=-2.

所以/（%）=12.所以/⑶=3-2=：

（题型2）幕函数的图象及其性质

（典题1）基函数y=xa,y=/,y=x，,y=/在第一象限的图象如下图，则a,b,c,d的大小关系是（）

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

解析由图象得：b>c>d>a,应选：D.

(典题2)已知事函数/(%)=%/-2皿-3(相€2)的图象关于原点对称，且在(0,+8)上是减函数，则租=

解析累函数/(%)=尤川-2血-3(根WZ)在(0,+8)上是减函数，

则/-2m-3<0,解得-1VmV3；

又znEZ,Am=0,1,2；

Q1

当m=0时，f(x)=x-3=/,是奇函数，图象关于原点对称；

当m=l时，/(%)=%-4=^,是偶函数，其图象关于旷轴对称；

Q1

当m=2时，==)，是奇函数，图象关于原点对称.

综上，m的值是0或2.

(典题3)己知点(退,2)在幕函数f(x)的图象上，点(-2,J在基函数g(x)的图象上.

(1)求函数f(x),g(x)的解析式；

(2)推断函数g(x)的单调性并用定义证明；

(3)问无为何值时有/'(X)Sg(x).

解析⑴由题易得/'(X)=%2,g(x)=厂2

(2)g(x)在(0,+8)上为减函数，在(一8,0)上为增函数

(必+X2)(X2-Xi)

证明：任取打〈冷<0，有gOi)-g(%2)=----丽----

%1+%2<0，%2-xl>0,尤超>0,

•••g(M)-g(X2)<0,

•••g(X)在(0,+8)上为增函数.

(x+^1)(X2-Xi)

任取0cxi<%2，有gOi)-g(%2)=--2---------

VX2+Xi>0,%2-%1>O,X1%2>0，

g(xj>5(x2),

■t•g(x)在(0,4-8)上是减函数.

(3)当x>l或x<l时,f(x)Wg(x),证明如下

由(1),两函数都是偶函数，先研究x>0时满足“X)Wg(x)的x的取值范围.

令/=乂-2,解得％=1,

又/'0)=/在(0,+8)上是增函数，g(x)=%-2在(0,+8)上是减函数，

故可得f(x)<g(x)的x的取值范围是x<1,

由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，

故当X<0时，/(x)<g(x)的X的取值范围是X>—1,

综上当一lWxWl时，/(x)<5W

变式练习

1.任意两个幕函数图象的交点个数是()

A.最少一个，最多三个B.最少一个，最多二个

C.最少。个，最多三个D.最少0个，最多二个

答案A

解析全部暴函数的图象都过(1,1)故最少1个交点，

当函数为y=/和y=X时，它们有3个交点，应选4.

2.函数y=x2,y=xT,y=x3,y=x-3在第一象限内的图象依次是图中的曲线()

A.C2,。1，C3,C4B.C,4»CJ,C3，。2C.C3,。2，。1，。4D..C1,C4,。2，。3

解析由于在第一象限内直线X=1的右侧时，

事函数y=%。的图象从上到下相应的指数a由大变小(令％=8可知)，

11

故指数a由大变小排列，鎏函数？=/,丫=必,丫=刀-3,丫=“-1在第一象限内的图象为分别为(；1，。2，C3,

C41

应选D.

3.幕函数y=/(x)经过点(3,8),则/(乃是()

A.偶函数，且在(0,+8)上是增函数B.偶函数，且在(0,+co)上是减函数

C.奇函数，且在(0,+8)是减函数D.非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

答案D

解析设嘉函数的解析式为：y=x3

L(—11

将(3,也)代入解析式得：3a=小，解得a=中•・•'=/,

应选：D.

m

4.如下图是函数y=%"(m、/WN*且互质)的图象，贝)

B.m是偶数，九是奇数，且£>1

mm

C.他是偶数，n是奇数，且坂<1D.m,ri是偶数，且五>1

答案C

m

解析••・函数y=/的图象的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数,

在第一象限内，函数是凸函数，故£<1，应选：C.

5.已知事函数f(x)=(m-l)2%m2-3m+2在(0,+8)上单调递增，则“X)的解析式是.

答案/(X)=X2

解析无)是基函数，•••(nr-1)2=1,解得m=2或m=0,

假设m=2,则/(x)=x°,在(0,+9)匕不单调递减，不满足条件：

假设m=0,则/"(x)=/,在(0,+8)上单调递增，满足条件；

即/(%)=/.

6.已知{-2,-假设幕函数f(x)为奇函数，且在(0,+8)上递减，则。=

答案-1

解析vaGf-2,-1,-111,2,3),

基函数/(x)=/为奇函数，且在(0,+8)上递减，

・•・Q是奇数，且QV0,

-a=-1.

7.已知幕函数/(x)=久-gZ)是偶函数，且在(0,+8)上是减函数，求函数/(x)的解析式.

答案/W=x-2

解析•••/0)=”2-*2(小€2)是偶函数，二?712_„1-2为偶数.

又1•"fM=xmi~m~2(meZ)在(0,+8)上是减函数，

/.m2-m-2<0,HP-1<m<2.•:meZ,•,.??1=0或771=1.

当?n=0时，m2一7n-2=-2为偶数，当m=l时，m2一加一2=-2为偶数.

・•・/(%)的解析式为/(%)=%-2.

312

8.已知幕函数f(x)=%2+k2k

(1)假设/(x)为偶函数，且在(0,+8)上是增函数，求f(x)的解析式：

(2)假设f(x)在(0,+8)上是减函数，求k的取值范围.

答案(1)/(%)=，(2){kCZ[k<-l或k>3}

解析⑴析函数/(%)=七+**(kez),

又；/(x)在(0,+8)上是增函数，.•.|+k-)2>0,解得-i<k<3,

又kEZ,:.k=0,1,2,

•."(%)为偶函数，

313

①当k=0时，5+0-5x02=2,〃尤)为奇函数，不符合题意；

31

②当k=l时，2+1-炉12=2,/'(x)为偶函数，符合题意；

313

③当k=2时，2+2-2x22=5,/(%)为奇函数，不符合题意.

：・k=1,/(%)=x2；

三十k一切

(2),・・来函数/(%)=Y2K(kEZ),

又•••/(X)在(0,+8)上是减函数,

31

+kk2<O

2--2-解得k<-lHk/c>3(/ceZ),

■­.k的取值范围为伏Gz\k<-1或k>3).

(题型3)幕函数的应用

(典题1)比拟以下各组数的大小.

(1)3-2和3.1?(2)-8-和-(T；

5

解析(1)二函数'=%2在(0,+8)上为减函数，

S5

又3V3.1,・,・3—>3.「.

7Z7

(2)・・・-8_8=_Qy,函数y=%8在(0,+8)上为增函数,

变式练习

/25\25

1.已知a=(三),1=1.025。,c=lolioo1则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

答案B

解析••,a=^25,f)=1.0250=(1.022)25,C=1,O11OO=(1.O14)25,

25,

正21.041,1.022=1.0404,1.01A4«1.0406,

函数y=，5在(0,+8)上是增函数，：.b<c<a.

应选：B.

2.已知八支)=(兀2-3"+3)/+1为幕函数，且/'(X)为奇函数.

(1)求函数/(乃的解析式；(2)解不等式/(x+1)+/(3-2%)>0.

答案(l)f(x)=/(2){x|x<4]

解析⑴/(x)=52-3TI+3优+1为幕函数，

•••n2—3n+3=1,解得n=l或n=2：

又/(久)为奇函数，­••«=2,

•••函数/'(x)=，；

(2)由f(x)=/是定义域R上的增函数，且不等式f(x+1)+/(3-2x)>0

化为/(x+1)>-/(3-2%)=/(2%—3),

x4-1>2%-3,解得x<4,

・・・不等式+1)+f(3-2x)>0的解集是。氏<4}.

轻松训练通也习，manti

1.图中曲线是基函数y=在第一象限的图象，已知九取±2,四个值，则相应于曲线的，。2，小，。4的

11111111

A.-2,-2,5,2B.2,2；-2,-2。・-5,-2,2,?D.2,2，-],-2

答案D

11

2_

解析依据指数函数的单调性，X>1时，X>X2>X2>X-2(

11

•・・相应于曲线，。的出衣次为，了-，

ClC2,C3,422-2.

应选：D.

2.假设三个塞函数丫=%，丫=/）=好在同一坐标系中的图象如下图，则a,b,c的大小关系是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.

a>b>cD.a>c>b

答案c

解析①y=x",单调递增，且当％>1时，在直线、=%的上方，

②丫二，,单调递增，且当X>1时，在直线y=%的下方，・•・0vbv1,

③y=%c,单调递减，且当％>1时，在直线y=x的下方，.・・c<0：

■■a>b>c.

应选：C.

3.以下命题中：

①基函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；

②嘉函数的图象不可能在第四象限；

③当n=0时，基函数y=x”的图象是一条直线；

④当n>0时，累函数丫=肝是增函数；

⑤当n<0时，基函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小.

其中正确的选项是()

A.①和④B.④和⑤C.②和③D.②和⑤

答案D

解析①基函数的图象都经过点(1,1)，但不肯定经过点(0,0),比方y=g故错误；

②募函数的图象不可能在第四象限，故正确；

③当n=0时，黑函数y的图象是一条直线去除(o,i)点，故错误；

④当n>0时，如y=x2,暴函数y=/在(0,+8)上是增函数，但在整个定义域为不肯定是增函数，

故错误；

⑤当n<0时;事函数y=x”在(0,+8)上是减函数，即基函数在第一象限内的函数值随x的值增大而

减小，故正确.

应选：D.

3

4.函数y=好的图象是()

答案C

3

解析•函数y="2的定义域是。+8),.•.排解选项4和B,

3

又•••5>1,•••曲线应该是下凸型递增抛物线.应选：C.

5.已知函数/(x)=(a-I)%》-1是幕函数，则/"(2)的值为

答案8

解析依题意得，a-1=1,-.a=2,则/(x)=/,/(2)=8.

6.已知基函数f(x)=X。的图象经过点(2,苧)，则/(4)的值为.

答案：

一3。一。C盘1

解析•••帚函数/(x)=/过点(2厉)，二/(2)=2。=2，解得a=-],

11

Xj

7.己知黑函数f(x)过点(2，当，则/(无)的解析式是,定义域是,在(0,+8)上的单调性

是.

答案〃为出，(0,+00),单调递减

解析y=/(%)是哥函数，・•・设/(%)=

又过点(2,孝)，2a=y=2-2,即Q=-；,

・♦•/(%)=%2=耳，••-X>0,即定义域是(0,+8),

•.•、=7夕在(0,+8)上单调递增，.・.丫=+在(0,+8)上单调递减，

其函数图象如下，

8.已知幕函数y=4-22-30**)的图象关于>；轴对称，且在(0,+8)上是减函数，实数a满足(公一1成

p

<(3a+3尸，则a的取值范围是.

答案l<a<4

解析"累函数y=%P'-2p-3(peN*)在(0,+8)上是减函数，

p2-2p-3<0,解得-l<p<3