高中数学必修4重点知识点

重点-高中数学必修4知识点

人教版高中数学必修四知识点归纳总结

1.1.1任意角

1.角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的

图形.

②角的名称：

③角的分类：

c正角：按is时钟方向的形成的的，

-等用：兆线没有任何旋制的2的角•

负能：接顺时It方向旋转形成的角・

④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角a”或“Na”可以简化成“a”；

⑵零角的终边与始边重合，如果a是零角a=0°；

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.

2.象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终

边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

1.1.2弧度制（一）

1.定义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量

角的单位制叫做弧度制.在弧度制下，1弧度记做Irad.在实际运算中，常常将

rad单位省略.

弧度制的性质:

①半圆所对的圆心角为至=兀②整圆所对的圆心角为四=2笈“

rr

③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.P

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的弧度数的绝对值|a|=L>

r

4.角度与弧度之间的转换：。

①将角度化为弧度：-

360°=21；180°=乃；1°=—«0.01745/ad；n°=rad.v

180180

②将弧度化为角度：，

(

2^=360°；1=180°；Irad=(―)°«57.30°=57°185«=()°.P

7171

5.常规写法:

①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少”的形式，不必写成小

数.

②弧度与角度不能混用.

6.特殊角的弧度

角030456090120135150180270360

度♦OOOOPOOOOOOO

瓠71717171171371乃

一「57r——3(

0-一「—P一「---+1兀斗

度，6432346.2

7.瓠长公式"

冏=1='=?•-冏p

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.

4-1.2.1任意角的三角函数(三)

1.三角函数的定义

2.诱导公式

=ai

cos(Zbr+a)=coswZ)

+a)=tana(JkwZ)

当角的终边上一点的坐标满足翁山寸，有三角函数正弦、余弦、正切值的几

何表示一一三角函数线。

1.有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2.三角函数线的定义:

设任意角。的顶点在原点。，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点尸(xj),“

由四个图看出."(IID~

当角a的终边未在坐标轴上时，有向线段OM=X,MP=F，于是有“

sna=—=—=y=MPcnsa.=————x=OMtxa=—=3>==AT

r1r1xOMQA

我们就分别称有向线段四。““为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

(1)三条有向线段的位置：正弦线为a的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线

段；余弦线在X轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向

线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向a的终边与单位圆的交点；余弦

线由原点指向垂足；正切线由切点指向与a的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x

轴或y轴反向的为负值。

(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

高中数学必修四知识点总结

第一章：三角函数

§1.1.1、任意角

1、正角、皮角、本角、象偎角的概念.

2、屿角攻终边相同的角的集合:

\fi\P=a+2k兀,kez}.

1.1.2、弧度制

1、回=1.

2、孤长公式:Z=—=|«|^.

1801r

>21T-1

3、晶彩近积公式:S=——=-lR.

3602

§121、任意再的三角酬

1、设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

P(x,y),那么：sina=y,cosa=x,tana=-

x

2、设点d(xj)为角a终边上任意一点，那么：(设

r={x，+y?)

.VXV

sina=—,cosa=—,tana=­.

rrx

3、sina,cosa,tana在四个象限的符号:一全

正，二正弦，三正切，四余弦.

4、三角函数线的画法.

正弦线：BP：

余弦线：0K：

正切线：AT

5、特殊角

0*.30*.45*.60,.9。'败一血等的三角的故

值.

K2«KIK

0y3e

anKKTV-J*

64

sina

caa

utna

§1.2.2.同角三角量的基本关系式

1、平方关系:sin2a+cos2a=l.

、*“-sina

2、葡致关系：tana=-------.

cosa

3、制效关系：tanacota=1

§1.3.三角敬的诱导公式

(概括为黄安倜工安，符号看束檀■-keZ)

1、锈导公式一:

sin(a+2k7r)=sina,

cos(a+Ik7i)=cosa,(其中：keZ)

tan(a+Ikji)=tana.

2、诱导公式二:

sin(乃+a)=—sina,

cos(乃+a)=_cosa：

tan(^+a)=tana.

3、诱导公式三:

sin(-a)=-sina,

cos(-a)=cosas

tan(—(z)=-tana.

4、谤导公式口:

sin(^—a)=sina,

cos(乃一a)=-cosas

tan(^-a)=­tana.

5、谤导公式五:

.\n\

sm,--aI=cosat

=sina.

注意二六个诱导公式中全部将a看成锐角.

§1.4.1、正弦、余弦翻（的雕和性质

1、记住正弦、声弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：X

义域、域域,、最大量小值、使母轴、行称中心、

奇偶性、单调性、周期性.

3、会用五点法作明・|

y=sinx在x£［0,2万］上的五个关键点为：

（0,©,（乙九（乃M竺以2^）0

22

§1.4.3、正切翻［的喉与性J贵

1、记住正切函数的图象：一

3、能够对照蹒讲出正切函数的相关性质：定义域、

值垓、行称中心、奇偶性、单调性、剧用性.

4、周期函数定义：对干函翻/(X),如果存在一个非零

常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有

〃x+T)=/(x),那么函数/(x)就叫做周期函数，非

零常数T叫做这个函数的周期.

y=cosx

y

图象

uXV7

定义域R

值域[-1.1]

最值x=2Az,keZB寸，=1

x=25+尸,JtwZB寸，j==-l

周明性T=171

奇偶性偶

单调性在已左灯-乐2Qr］上单调递增

keZ在［2大区2丘十力上单调递减

对称轴方程：X=kN

椭胜

k&Z对称中心（2+1：0）

y=tanx

\J\\\)\』.

图象T\t

定义域{x[x*]+Z}

值域R

最值

无

周即性T=7l

奇偶性奇

单调性在（for-^fcr-p上单调递增

keZ

无对称轴

对称性

对称中心（^^,0）

keZ

2

§1.5、&S]=Xsin（次+01的图象

1、对于函数：

y=asin（0x+°）+8（N>O：o>0）有：振幅A,周

期7=文，初相9,相位皈+9,频率/=：=弥

8

2、函数y=sinx的量象与j=Xsin（0x+9）+3的

图象之间的平移伸缩变换关系.

①先平移后伸缩：

y=sinx平移I01个单位y=sin（x+<p）

—（左加右减）——►

横坐标不变.y=/sin（x+0）

纵坐标变为原来的A后

纵坐标不变,y=/sin（ax+<p）

横坐标变为原来的|-|倍

0

平移|用个单位y=4sin（ox+p）+8

~（上加下减）“

3、二角函判的固障

函数V=sin（0x+0）,XER及函数y=cos（ox+。）>

X€R（A,a,。为常数，目序0）的周期T=—；函

数），=tan（£yx+°）,XHk;r+一,左cZ（A,3,°为

常数，且序0）的周期T=两.

第二章：平面向量

§2.1.1、向量的枷里背景与R念

1、既有大小又有方向的量叫做虹.

§2.1.2、的几何表示

1、带有方向的线段叫儆药三邀致，有向线段包含三

个要壑起点、方向、长度.

2、向量AB型卜，也就是向量AB的长度（或称

接），记作口耳；长度为零的向量叫做且麦；长

度等于1个单俗的向量叫做罡位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共

线向重:.规定:零向量与任意向量平行.

§2.1.3、蹄向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做运至刍堂.

§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

］、三角/如法去财和平行四心彩加去去时.

§2.2.2、向星福法运算及其几何意义

1、与。长度相等方向相反的向量叫做a的度反包i.

2、三角常疝注法JB和平和B边形减法法则.

三角形雌法则+区平行四边形”隧法则

1、规定：实数2与向量a的积是一个向蚩，这种运

算叫做向量的数乘.记作:它的长度和方向

规定如下：

⑴卜4=即卜

⑵当2>0时，/）的方向与£的方向相同；当

A<004,2J的方向与）的方向相反.

2、平面向量共线定理:向量/）工。）与Z共线，当

且仅当有唯一二个实数2,使1=Ra.

§2.3.1,平面向量基本定理—

1、平白向量基本定理：如果&e?是同一平面内的两

个丕共线向量，那么对于这一平面内任73向量a，

有且只有一对头数使a=4°]+4cl.

§2.3.3、平面向量的坐标运算

1、设4=（对凶）5=（巧，巧），则：

⑴4+5=（甬+%,必+＞）

（2）a-Z=（x1-x2,y1-y2）,

⑶/&=（初,否J,

（4）a//b=xv2=电M・

2、设乂（孙川）加：2，刈），，4=（今一再J2r'i）・

§2.3.4、平面向量共线的坐标表示

1、设4（和川）创巧jJC（孙匕），则

⑴线段AB中点坐标为（空,空），

⑵AABC的重心坐标为g/，书出）.

§2.4.2.斗面嚼解蹬丽.樵瘫

1、设a=（%M）5=（巧,当），则：

⑴al=|o||i|cos6=x\x2+yjVj

（2）a|==Jxf+）,；

⑶a_1=a工=0=再w+My?=0

⑷a//石=a=4=再）、一巧M=0

2、设乂（孙用）3（巧,乃），则：

网=血一项＞+82f）’"

3、两向量的夹角公式

COS6=!■!■=再乜+把2

琲I收+）1内+/

第三章:三角恒等变换I

§3.1.1、两角差的余弦公式

记住15。的三角函数值：

asinacosatana

«心一点73+点-括

12442

§3.L2、两新呜翊]嗓球正切恒

1、sin(a+0]=sinacos/?+cosasin(3

2、sin(a->0)=sinacos/?-cosasin/3

3、cos(a+⑼=cosacos£一sinasin/3

4、cos(a一切=cosacos£+sinasinJ3

tana-tan£

tan(a+/3)=

5、1-taneztan^

tana-tan/g

tan(a->0)=

6、l+tanatan£

§3.1.3J二倍角睡弦、徽正般式

1、sin2a=2sinacosa,

变形：sinacosa=-ysinla.

2、cos2(z=cos2a-sin2a

=2cos:a-1

=l-2sin:a.

变形如下：

1+cos2a=2cos2a

升冥公式:<

l-cos2a=2sin2a

cos2a=[(1+cos2a)

降皋公式:

sin2a=i(l-cos2a)

3、tan2a=--01：-.

1-tan2a

sinla1—cos2a

4、tanCL-----------=——；-------

14-cos2asin2a

§3.2、简单的三角恒

1、汴^正切化弦、于方性次.

2、辅的在公式

v=asinx+bcosx=^a1田-sin(x+0)

(其中辅助角。所在象限由点(。乃)的象限决

IE,tan0=—).

知识点串讲

兴修皿

必修皿第一堂：三角函致

1.1.1任意角

1、角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

②角的名称：

③角的分类，B\始电

终边八,/

(负角：按顺时针方向旋转形成的角A

i正角：按逆时针方向旋转形成的角…66G..

I零角：射线没有任何旋转形成的角

2、象限角台(泳A才

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与Jr轴的非£戈色以终边(端点除外)在第

几象限，我们就说这个角是第几象限角.

终边相同的角的表示：图4-3

所有与角。终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合5={|Z*=a+A*360•,

4C才，即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.

注意：

(1)k£Z(2)a是任一角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍：

(4)角"+k•720'与角。终边相同，但不能表示与角。终边相同的所有角.

3、写出终边在y轴上的角的集合(用1到360。的角表示).

解：{a|a=90。+"•180°,〃GZ}.

4、已知。角是第三象限角，则2a,巴各是第几象限角？

2

解：Ta角属于第三象限，.1k-3600+180*<a<k-3600+27(T(ArSZ)

因此，2k-360°+360°<2<2Ar•360°+540°(AGZ)

即(2*+D36(r<2a<(2k+1)360*+180°(AGZ)

故2a是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角.

a

又才780°+90°<-<k*1800+135°(Ar€Z).

2

a

当4为偶数时，令A=2"(〃GZ),则"•360°+90"<-<«-3600+135°(“GZ)，

2

当〃为奇数时，令启2m4SGZ),则"•360°+270'<-</)•3600+315°(/>eZ),

2

因此3属于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

1、弧度制

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度

制.在弧度制下，1弧度记做Irad.在实际运算中，常常将rad单位省略.

2、弧度制的性质：

加._2m-

----=2TT.

①半圆所对的圆心角为"’②整圆所对的圆心角为〃

③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.

/

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的瓠度数的绝对值|a|=>

3、弧长公式

lal=-=>/=r-lai

r弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.

例6.利用弧度制证明扇形面积公式S='//?,其中/是扇形弧长,A是圆的半径.

2

]rrR2

2----7TK

证法一二•圆的面积为成“，・••圆心角为Irad的扇形面积为2%,又扇形弧长为1,半径为R,

S'LR2=LR

J.扇形的圆心角大小为Rrad,.•.扇形面积R22.

§小乃R21—〃成

证法二:设圆心角的度数为n,则在角度制下的扇形面积公式为-360，又此时弧长180,/.

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多.

网形面积公式：S=g/R=；闽炉

I.2.I任惠角的三角商政

1、三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点Q（除了原点）的坐标为（X,y）,它与

3

原点的距离为那么

(1)比值上叫做a的正弦,记作sina,即sina=上;

rr

x

(2)比值土叫做a的余弦,记作cosa,即cosa=一

rr

(3)比值叫做a的正切,记作tana,BPtana=—

Xx

x

(4)比值E叫做a的余切,记作cota,BPcota=-

yy

三角函数的定义域、值域

函数定义域值域

y=sinaR[-1J]

y=cosaR[-1J]

\a\a^%+k汽、kwZ}

y=tanaR

3、求函数i——cos.v1+詈tan事x的值域

cosx|tanx|

解：定义域：cosxxO；・x的终边不在x轴上又YtanxM；・x的终边不在y轴上

・••当x是第I象限角时，x>O.y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|.".y=2

.......II........,x<0,v>0|cosx|=-cosx|tanx|=-tanx.*.y=-2

.......HIIV.....,Icosx|=-cosx|tanx|=tanx.*.y=0

x>0,”01'

4、诱导公式

sin(2Zr^+a)=sina(^GZ)

cos(2Avr+a)=cosa伏wZ)

tan(2^+cr)=tana(keZ)

5、三角函数线的定义：

设任意角a的顶点在原点。，始边与工轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点尸(x,y),

过。作x轴的垂线，垂足为M；过点4(1,0)作单位圆的切线，它与角。的终边或其反向延

当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,A/P=y,于是有

sina=^-=—=y=MP,cosa=~=-=x=OM,tana=-=——=-^―=AT

r1r1xOMOA

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

(1)三条有向线段的位置：正弦线为0的终边与单位圆的交点到'轴的垂直线段：余弦线在工轴上：

正切线在过单位圆与工轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条

在单位圆内，一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向1的终边与单位圆的交点：余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与。的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或歹轴同向的为正值，与*轴或J'轴反向的

为负值。

(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：

.2乃一.4”〜In.4/r

1°sm——与sin——2°tan——与tan——

3535

解：如图可知：

2乃.4万In4乃

sm——>sm—tan——<tan

3535

1.2.2局角三角由数的基本关系

1＞由三角函数的定义，我们可以得到以下关系:

5

sina

(1)商数关系:tana=(2)平方关系：sin2a+cotra=1

cona

2、已知sina=±,

并且a是第二象限角，求cosa,tana,cota.

13

解：sin2a+cos2a=1,cos2a=l-sin2a=1-(—)2=(—)2

1313

又・・・a是第二象限角，cosa<0,即有cosa=,从而

13

sina1215

tana=-------=------cota=-------=------

cosa5,tana12

,sina-4cosa

3、已知sina=2cosa,求—;-----------2sin2a+2sinacosa-cos3a.

5sina+2cosa

cos.r_1+sinx

4^求证:

1-sinxcosx

证法一：由题义知cosx40,所以I+sin女工0.1—sinxw0.

.4二cos.r(l+sinx)cos.v(l+sinx)I+sinx.

..左-----------------=-------z-----=--------=右必.

(l-sin.r)(i+sinx)cosxCQSX

・•・原式成立.

证法二：由题义知cosxwO,所以l+sin.rw01-sinx，0.

又「(l-sinx)(l+sinx)=l-sin?x=co/x=cosx-cosx,

.cosx1+sinx

・・-----------=------------.

l-sinxcosx

证法三：由题义知cosxwO,所以1+sin工工0,1-sinxw0.

cosx1+sinxcosx-cosx-(1+sinx)(l-sinx)cos2x-l+sin2x.

-------------------------=--------------------:-------------------------=----------:--------------=0

1-sinxcosx(l-sinx)cosx(1-sinx)cosx

cosx1+sinx

1-sinxcosx

1.3诱导公大

1、诱导公式(一)

6

sin(360%+a)=sinacos(360°〃+a)=cosatan(360%+a)=tana

诱导公式（二）

sin（180°+a）=-sinacos(180°+a)=-cosatan(180°+a)=tana

诱导公式（三）

sin（-a）=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=Tana

诱导公式（四）

sin（n-a）=sinacosGt-a)=­cosatan(n—a)=­tana

诱导公式（五）

sin（=cosacos(-a)=sma

2

诱导‘R式（六）

sin（y+a）=cosacos(5+a)=-sina

sin(In-a)cos("+a)cos(-+a)cos(-a)

22

2、化简：Q-

9/r

cos(/r-a)sin(3/r-a)sin(-a-/r)sin(+a)

2

42sin(a-^)+3tan(3^r-a)

3、已知sin(a+;r)=s，且sinacosa<0,求的值.

4cos(a-3乃)

4、化简:

tan(360°+a)

•sin(a-2江)・cos(2^-a);(2)cos2(-a)-

sin(-a)

5、已知§ina,cosa是关于x的方程-ax+；=（世）两根，且3%<a<7j

求tan(6^-a)sin(-2^+a)cos(6^-a)^u

cos(a-180°)sin(900°-a)

141正弦、余弦施数的0B家

1、

7

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：

正弦函数尸sinx,xe［O,2兀］的图象中，五个关键点是：(0,0)(g,l)(K,0)(=,T)

22

(2匹0)

余弦函数丫=以)5乂xw［0,2川的五个点关键是哪几个？(0,1)(1,0)(nt-1)(1，0)(2n,1)

3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

(l)sinx2—;(2)cos.r<—,(0<x<—).

222

1.4.2正弦、余弦由数的帙质

1、奇偶性：y=cosx是偶函数y=sinx是奇函数。

2、单调性

正弦函数在每一个闭区间［一工+24叫工+24万］J£Z)上都是增函数，其值从一1增大到

22

1；在每一个闭区间［卫+2«”，2+2/万］«WZ)上都是减函数，其值从1减小到

22

-1.

余弦函数在每一个闭区间［(2A-1)",2A”］(RGZ)上都是增函数，其值从一1增加到1；

在每一个闭区间［24万，(2什1)OteZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

3、有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

y=sinx的对称轴为x=A;r+工kez尸cosx的对称轴为x=A;rk£Z

2

4、判断下列函数的奇偶性

(1)/(x)="si0”_£2^；(2)f(x)=lg(sinx+Vl+sin2x);

1+sinx+cosx

8

1.4.3正切西数的嵯质与图象

1、正切函数丁=tanx的定义域是什么？^+女友,%£z

3、正切函数的性质(1)定义域：1X|XHC+ATT,〃W二卜

(2)值域：R观察：当x从小于面+多代z),x----->履+1时，tanx------►+»

当x从大于y+k欣kez)fx------>3+k/r时,tanx----->-oo°

(3)周期性：T=h

(4)奇偶性：由lan(-x)=-lanx知，正切函数是奇函数；

(5)单调性：在开区间(_；+4乃仁+k汽卜WZ内，函数单调递增.

4、求下列函数的周期：

(1)y=3tan(x+?)答：T=n、(2)>=tan(3x-g]答：T=~J.

说明：函数/"廊3+*)(/*0所°)的周期7=

H-

5、求函数.r=tan(3x-(]的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，

解：1、由3x-£#A;r+”得xw也+红，所求定义域为|x|xeR,山*M人丘2

323181318

2,值域为R,周期丁=£,3,在区间(也-X,"+且'ez)上是增函数。

31318318J

1.5函数)弓久坳留>0,仅:力的图安

1、函数y=Asin(wx+<p),(A>0,w>0)的图像可以看作是先把y=sinx的图像上所有的点向左(<p>0)或

向右((pV0)平移加I个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>l)或伸长(0«<1)到原来的,倍(纵坐标

(0

不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短((KA。)到原来的A倍，(横坐标不变)。即：平移变

换一周期变换一振幅变换。

2、⑴函数y=sin2x图像向右平移1个单位所得图像的函数表达式为y=sin2(x-^|)

⑵函数y=3cos(x+三)图像向左平移H个单位所得图像的函数表达式为v=3cos(.v+—)

4312

⑶函数y=21oga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式y=21og“2(x+3)

⑷函数y=2tan(2x+；)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为

y=2tan[2(,r-3)+y

3、函数y=Asin(wx抑)表示一个振动量时：

A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.

T：T=二往复振动一次所需的时间，称为“周期”.

CD

f、/=!=畀单位时间内往返振动的次数，称为“频率

TIn

&x+°：称为“相位”.

°：4o时的相位，称为“初相”.

4、7=/sinm+0)(|夕|<”)的表达式.

解析：由图象可知去2,

T.It.

T=---()=冗、

88

即生=%；.0=2.

CO

又(-1,0)为五点作图的第一个点，

O

因此2x(-G)+0=0,/..

84

因此所求函数的表达式为y=2sin(2x+£).

4

1.6三角函数椁曳的葡单位用

1、画出函数尸Isinxl的图象并观察其周期.

/=|sin.r|

第二章:平面向量

2.1.1-2.1.2向登的物理背景与砥念灰向量的几百表示

1、数量与向量的区别：/

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.A国第

2、向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母a、b(黑体，印刷用)等表示：

③用有向线段的起点与终点字母：方；④向量方的大小一长度称为向量的模，记作|瓦|.

3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的

向最；

(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向

11

线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作〃。的方向是任意的.注意。与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量./

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.彳二

5、平行向量定义：彳）

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量：②我们规定。与任一向量平行./

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义：（2）向量a、b、c平行，记作a〃6〃

2.1.3相等向置与共线向it

1、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量&与8相等，记作a=b：（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.

2、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、判断：

（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

4、下列命题正确的是（）

A.a与6共线，6与c共线，则a与。也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相

等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,

所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于

C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假