2022年秋季高三开学数学摸底考试试卷（解析版）

绝密★考试结束前

2022年秋季高三开学摸底考试卷(新高考专用)03

(试卷满分150分，考试用时120分钟)

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求.

1.已知集合A合-2-1,0,1,2},8={y|y=e*,yeN},则AB=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得，集合B为正整数集，从而与集合A求交集可得结果.

【详解】xeR时，y=e*>0恒成立，又yiN,

故集合B为正整数集，8={1,2}.故选：C.

2.若z=-l+2i,贝！1—4^7=()

z-z-4

A.-l+3iB.-l-3iC.l+3iD.l-3i

【答案】A

【解析】

【分析】由共规复数的概念与复数的四则运算法则求解即可

【详解】因为z=—l+2i,

所以ze-4=(-l+2i)(-l-2i)-4=l+4-4=l,

所以=z+i=7+3i,

zz-4

故选：A

3.从2,4,6,8中任取2个不同的数则*可=4的概率是()

【答案】B

【解析】

【分析】

列举从2,4,6,8中任取2个不同的数方的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共

2个基本事件，结合古典概型计算结果.

【详解】

从2,4,6,8中任取2个不同的数共有（2,4）,（2,6）,（2,8）,（4,6）,（4,8）,（6,8）6个基本事

件，取出的2个数之差的绝对值为4有（2,61（4,8）2个基本事件，所以所求概率为

63

故选：B.

4.一种药在病人血液中的量不少于1500仅?才有效，而低于500〃琢病人就有危险.现

给某病人注射了这种药2500,监，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充

分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，

才能保持疗效.（附：32。。3010,lg3«0.4771,结果精确到0.1〃）

A.8.8小时B.3.5小时C.5.6小时D.2.3小时

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知关系式可得不等式50042500x（1-20%）z1500,结合对数运算法

则解不等式即可求得结果.

【详解】设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，

则50042500x(1—20%)，41500,整理可得：0.2408&0.6,

.■.loga80.6<x<loga80.2,

嗨…黔罂=喘号2啕3黔磊海2,

.•.2.34x47.2,即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.

故选：D.

5.设函数〃力=33（5+40>0,0<9<5图象经过点4片,-3）,直线》=堇向

左平移?个单位长度后恰好经过函数“X）的图象与x轴的交点B,若B是的图

象与x轴的所有交点中距离点A最近的点，则函数的一个单调递增区间为（）

71兀_兀/、_7171r

A.-J-TB.--,0C.-y---D.[f,0]

【答案】c

【解析】

【分析】根据/（X）最小正周期和可求得④*,进而得到“X）解析式；利

用余弦型函数单调区间的求法可求得了（x）的单调递增区间，验证选项即可得到结果.

【详解】3是〃x）的图象与x轴的所有交点中距离点A最近的点，A为〃x）的最

小值点，

•.J(x)的最小正周期T=4x?=;r,即券="，解得：0=2,

3万(31)(34)

—3cosI7-+9J=-3,即cosI——v(p\——\,

3元jr

；.工+5=九+Zk冗(kGZ),解得：(p=—+2k7r(<k£Z),

又0<*苦，"=?,.♦.〃x)=3cos(2x+?)；

rr5n-rr

令一%+2Z;rK2x+—4(ZcZ),解得：---+k7r<x<---卜k兀(kwZ)

488

rr

・••/(x)的单调递增区间为--+k^--+k7r(0Z),

OO

令％=0,则=，唉是“X）的一个单调递增区间,

OO

-1-三是/（X）的一个单调递增区间.

故选：C.

6.已知a=*lnl.2,b=0.2e°2,c=g,则（）

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】A

【解析】

【分析】匕=0.2€。2=6。211^。2,令/（》）=*111以利用导数求出函数“X）的单调区间,

令g（x）=e*-X-1,利用导数求出函数g（X）的单调区间，从而可得出令和1.2的大小,

从而可得出的大小关系，将b,c两边同时取对数，然后作差，从而可得出b,C的大

小关系，即可得出结论.

【详解】

解：6=O,2e(,-2=e(,'2lneoSa=|lnl.2=1.21nl.2,

令/(x)=xlnx,则/"(x)=lnx+l,

当0。/时，r(x)<0,当x>4时，/'(x)>0,

ee

所以函数f(x)在卜)，j上递减，在(，+8)上递增,

令g(x)=e'-x-1,则g'(x)=e*-l,

当x<0时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增,

所以g(0.2)>g(0)=0,

HPe02>1+0.2=1.2>-,

e

所以〃e02)>〃1.2),

即e°2|ne°2>1.21nl.2,所以

由0=0.2€。2,得ln6=ln(0.2e°2)=(+ln：,

由。=!，得Inc=In；,

625x5

>10>e,

243

所以|V>e1"所以ln5|>1.

所以lnc-ln6>0,即lnc>ln。，

所以c>。，

综上所述a<Z><c.

故选：A.

7.如图，在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相

切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到

的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意如图所示，由球的半径可得IBF|,|8。|的值，进而可得=”的正

弦值，求出1。0的值，即求出〃的值，由圆柱的底面半径可得2b的值，即求出的

值，进而求出。的值，再求出离心率的值.

【详解】如图所示，BF=1,BO=2,sinNBOF=；,plljsinZ.ODM=—==~QQ9

OD=2,即〃=2,而26=2,BP/?=1,

所以c=y/a2—b1=,4-1=5/3,

所以离心率e=£=—,

a2

故选：D.

8.已知定义在[Le]上的函数〃x)满足/=且当xe[Ll]时，/(x)=xlnr+l,

若方程/(力-3尤-。=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()

A.(J,1」]B.(]-5,1-C.(|_e_2>•--]D.(；l-j]

3ee1c2e1ce3e2e

【答案】B

【解析】

【分析】

由题设，求分段函数的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为〃x)

和y=；x+a有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况,

进而求参数。的范围.

【详解】

,当xepl时，/(x)=xlnr+l,

...当时，〃"=/(「=-：山+1,

,,r1/

x/nx+l,xe—,1

综上，〃力=，]」，

——/nx+l,xe(l,e]

x

当时，((x)=l+lnQO,则〃x)在上单调递增，

当》€(10时:/，(x)=^y(lnA--l)＜0,则/(x)在(l,e]上单调递减，

f(力-1-0=0有三个不同的实数根，

的图像和直线＞=]+〃有三个不同的交点，

作〃x)的大致图像如图所示，

当直线＞和f(x)的图像相切时，设切点为(毛,％),

I11_11

二尸(为)=1+1吗＞=5，可得/=”，yo=]~2'e2,代入y=]X+a,

可得

当丫=!》+。过点时，a=l-^~,

2\ee)2e

(-13]

由图知，实数。的取值范围为.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.

9.已知由样本数据%)(，』，2,3,…，1。)组成的一个样本，得到回归直线方

程为R2X-0.4,且亍=2,去除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，得到新的回归直线的斜

率为3.则下列说法正确的是()

A.相关变量x,y具有正相关关系

B.去除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，回归直线方程为a=3x-3

C.去除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，随x值增加相关变量y值增加速度变小

D.去除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，样本(4,8.9)的残差为0.1

【答案】AB

【解析】

【分析】

对于A,3>（）,则相关变量x,y具有正相关关系，故A正确；

95

对于B,求出“=]-3X]=-3,故去除样本点后的回归直.线方程为y=3x-3,故B正

确；

对于C,由于斜率为3>2,随x值增加相关变量y值增加速度变大，故C错误；

对于D,样本（4,8.9）的残差为8.9-9=-0』，故D错误.

【详解】

解:对于A,去除两个样本点（-2,1）和（2,T）后,得到新的回归直线的斜率为3,3>0,

则相关变量x,y具有正相关关系，故A正确；

对于B,由嚏=2代入>=2+-4得亍=3.6,则去除两个样本点（一2,1）和（2,-1）后，得到

新的又=争=，歹=二譬=>«=^-3X|=-3,故去除样本点后的回归直线方

o2o222

程为y=3x-3，故B正确；

对于C,由于斜率为3>2,故相关变量x,y具有正相关关系且去除样本点后，随x

值增加相关变量》值增加速度变大，故C错误，

对于D,当x=4时，y=3x4-3=9,则样本（4,8.9）的残差为8.9-9=-0.1,故D错误.

故选：AB.

10.设正实数m、n满足机+〃=2,则下列说法正确的是（）

A.二+工的最小值为3B.的最大值为1

mn

C.+册的最小值为2D.田+〃2的最小值为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据基本不等式判断.

【详解】

因为正实数m、n,

n2nm+nnm,nm八.3

所以一+-=一+----=—+—+1>2/-----=2+1=3,

mnmnmnVmn

当且仅当'='且m+n=2,即m=n=l时取等号，此时取得最小值3,A正确；

mn

由nm<=1,当且仅当m=n=l时，mn取得最大值1,B正确；

+=m+n+2\[mn=2+2\[mn<2+m+n=4,当且仅当in=n=l时取等号，

故标+GS2即最大值为2,C错误；

nr+n2=（w+n）2-2/nn=4-2/nn>4-2x=2,当且仅当=〃=1时取等号，此处

取得最小值2,故D正确.

故选：ABD

11.已知0为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（p>（））焦点F的直线与C交于A,B

两点，其中A在第一象限，点"（P，0）,若IAFHAMI,则（）

A.直线AB的斜率为2指B.|OB|=|OF|

C.\AB|>4|OF|D.AOAM+AOBM<\^°

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由|AFk及抛物线方程求得4生,血），再由斜率公式即可判断A选项；表示

出直线AB的方程，联立抛物线求得8（§,_冬），即可求出|。即判断B选项；由抛

物线的定义求出|A8|=答即可判断C选项；由。4.OB<0，求得ZAO8,

为钝角即可判断D选项.

【详解】

对于A,易得F（冬0）,由|AF|=|AM|可得点A在电的垂直平分线上，则A点横坐标

为忆P=3P,

2~4

瓜P

代入抛物线可得丁=2p.*|p2,则A号,季），则在线他的斜率为，y=2几，

彳一5

A正确;

对于B,由斜率为2而可得直线AB的方程为|=壶）'+与，联立抛物线方程得

y2-^py-p2=0,

设8区方），则仝p+贝尸_苧，代入抛物线得「管J=2pw，解

26

得％=（，则8（冬-零）,

则如J驯倒=等。

1=5,B错误；

对于c,由抛物线定义知：|力邳=学+?+P=^>2p=4|OF|,C正确；

对于D—芥冬咚普3哼个攀卜季卜-乎<。，则加B为

钝角，

又MA-MB=J&粤）•（-q「警）=TTH4-与卜干。，则

ZAMB为钝角，

又ZAOB+AAMB+ZOAM+NOBM=360,则NOAM+NOBMC180,D正确.

故选：ACD.

12.已知正方体ABCQ-ABCR棱长为2,P为空间中一点.下列论述正确的是（）

D

uuniuuirh

A.若AP=：AA，则异面直线BP与G。所成角的余弦值为史

26

uuuiwuuu

B.若BP=/IBC+84(/1w[0,1]),三棱锥P-ABC的体积为定值

uuruun\uuurz、

C.若8P=48C+5BB12e[0,l]),有且仅有一个点P,使得AC,平面AB,

UUUUUU/、「7T灯一

D.若42=/^。(九€[0』)，则异面直线BP和G。所成角取值范围是[丁]

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后判断各个选项正误.

【详解】

选项A：由题，如下图，P为AQ中点，取BQ的中点O,连接PO,B。，则尸O〃CQ,

所以28PO或其补角即为异面直线BP与GD所成的角，易得

BP=y/f>,PO=y/2,BO=y/6,所以cos/BPO=立,A正确；

选项B：由条件3P=48C+四(2日0,1])，可知P点的轨迹为线段AG,因为B£〃BC,

故P到平面ABC的距离为定值，且三角形ABC面积为定值，故三棱锥P-ABC体

4

积为定值§.故选项B正确.

选项C：由BP=/lBC+g网(/le[O,l])可知点P在线段E尸上(E、F分别为四、CQ中

点)，因为4C_L平面A8Q,所以平面ABF即为平面A8Q,点p即为平面ABQ与

直线即交点，此交点在FE延长线上，故选项C错误.

选项D：由A尸=2A〃(/l€[0,l])可知点P的轨迹为线段AA.建系如图，得

C,D=(-2,0,2),B(2,0,2),设尸(0,a,2-a),aw[0,2],则8P=(-2,a,-a),所以

4一2」2-a

cos〈BP,CQ),令2_a=xe[0,2],

2⑸4+2/2J2+Y

当a=2,即x=0时，cos(BP,C,D)=0,此时更线成和G。所成角是]：

当"2,即xe（0,2］时，则cos〈BP,CQ〉="4令L/e；收），

2匕一x12J

cos〈8P，G。〉=2及2二+］，所以当/=，=g，即。=0时，cos〈BP,CQ〉取最大值为今,

直线外和CQ所成角的最小值为g,故选项D正确.

4

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知+的展开式中各项系数的和为-3,则该展开式中x的系数为

【答案】-120

【解析】

【分析】令x=l，求得a,再利用通项公式求得x项求解.

【详解】因为（改2+1），-21的展开式中各项系数的和为-3,

所以令尤=1,得一（〃+1）=-3,

解得a=2,

所以二项式为（2/+W，

C>3（_2）=—120X,

则展开式中含x的项为2X2XC；《1J+1X

故x的系数为-120,

故答案为：-120

2

14.在边长为4的等边..ABC中，已知=点尸在线段C。上，且

AP=mAC+^AB,则网=________.

【答案】布

【解析】

【分析】

根据题意得AP=mAC+=3AO,求出根=1；,所以AP=,AC+LAB,即

4442

卜=+,求解即可.

【详解】

―.23I

因为=所以A3=；AO,yiAP=mAC^-AB,

i3

即4P=〃?AC+5AB=mAC+]A。，因为点尸在线段CD上，

所以P,C,。三点共线，由平面向量三点共线定理得，m+33=1,即〃2=1；,

44

所以AP=；1AC-+：1A2,又A8C是边长为4的等边三角形，

42

所以,耳，=[；AC+；A8)=a|AC『+；k4k@cos60

=—xl6+-x4x4xl+-xl6=7,故

1642411

故答案为：户.

15.过点(1,0)的直线/截圆C：f+y2-2x+y-i=0得至IJ的最短弦长为.

【答案】2H

【解析】

【分析】

由圆的一般方程求得圆的圆心和半径，设点P(LO)，要使所得的弦长最短，则直线/

垂直于直线PC,由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案.

【详解】

由圆C：f+y2-2x+y-l=0得(x-l)2+(y+£j-=',所以圆心半径为r=|,

设点P(LO)，则尸。=-；-0=；,要使过点(1,0)的直线/截圆C：d+y2-2x+y-l=0

得到的弦长最短，则直线/垂直于直线PC,

此时最短弦长为2

故答案为：2&.

16.已知函数/(x)=J,g(x)=x2,若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实

数a的取值范围__________.

【答案】(-8,0)=—,+«?

L4)

【解析】

【分析】

分”0与。>0两种情况进行讨论，当”>0时，转化为xe(0,+°o)时，有解，构

a

造函数/?(x)=m，xe(0,+8),求出单调性及极值，最值情况，求出a的取值范围.

e

【详解】

当。>0,若存在一条直线同时与两函数图象相切,

则xe(0,+(»)时，《=/有解，

-1r2

所以一=—,X£(0,+8),

ae

令h(x)=£(0,+8),因为“(x)=产="(2"),

eee

则当x£(0,2)时，"(x)>0,力(x)为单调递增函数；

当X£(2,+OO)时，”(x)v0,h(x)为单调递减函数；

所以〃(x)在x=2处取得极大值，也是最大值，

4

最大值为〃⑵=r,且久x)>0在XE(。,”)上恒成立,

e~

所以Xy-2\

,即ae(y,0)u—,+<».

L4)

故答案为：«£(-<»,0)U

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.在①A2=2后，②ZADB=135。，③/R4Q=NC这三个条件中任选一个，补充在

下面的问题中，使得问题成立，并求80的长和.ABC的面积.如图，在二ABC中，D

2R

为5c边上一点，AD±AC,AD=l,sinZBAC=,求8。的长和45C的

面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

选条件①：根据sinNBAC=sin（90。+NBAD）求得sinNBA。，再在△A3。中用正余弦定

理分别求得BD和sinZADB,进而求得AC与,ABC的面积；

选条件②:根据$11/明。=$出（90。+/64£））求得$出/&4£）,再求sin3,再在△AB£）中,

由正弦定理得AB=石，BD=4i，进而求得面积；

选条件③：根据《11/34?=S皿（90。+/84））求得411/84）,即sinC,再根据

4118=411（/8/1。+44。8）计算注18,再在4粒。中，由正弦定理得48,8。，进而求

得面积

【详解】

2R

选条件①，sinABAC=sin（90°+NBA。）=cosABAD=，

在△ABD中，由余弦定理，得g£）=/20+1-2x26xlx半=内.

RD2加

在△A3。中，由正弦定理，得一嘿AR至=一外有，即sinZAftBF，

sinZADBsin4BAD—

5

WsinZADB=

13

所以sinNAOC=^^,cosNAOC=^,所以tan/AOC=],所以AC=].

131333

所以一ABC的面积为Lx2石x2x述=&.

2353

选条件②，sinABAC=sin(90°+NBA。)=cosABAD=,

所以sinNBA。=

5

y/5(四)2右庭历

所以sinB=sin(ZBAD+135°)--x----4------x=

512J5---2----10

在中，由正弦定理，得~4^=毁=.B得A8=石，BD=V2.

sin135°smBsin/上.BAD

因为ZADB=135。，所以NA0C=45。，所以AC=1,

所以ABC的面积为L括xlx逋=1.

25

2Is

选条件③，sinABAC=sin(90°+NBA。)=cosABAD=管.

所以sinNa40H竽)=昌

因为NBAQ=NC,所以sinC=(,

在&AAC£)中，可得cos/AQC=,所以cos/AOB=sinZADB=.

555

3

所以sin8=sin(ZBAD+/ADB)=

5

在△ABO中，由正弦定理，得.普=气=.多得AB=*BD$

sinZ.ADBsin3sin/.BAD33

因为sinC=更，所以co$C=3叵，所以tanC=:，所以AC=2.

552

所以一ABC的面积为1拽X2X"M

2353

18.已知数列｛q｝的前〃项和为S“，满足4=-3,S“,1+2S“+3"+3=0,n&K.

(1)证明：数列也,+1｝是等比数列；

⑵记min{a,6}=J；~,设2=,求数列{2}的前2〃项和&.

IU,CC*****U

【答案】⑴证明见解析；(2)&=乂三2_〃+〃2

【解析】

【分析】

(1)当"=1时可求得。2；当“22时，由册与S,,关系可得4M+1=-2(a“+l),验证知

生+1=-2(4+1),由此可证得结论；

(2)由等比数列通项公式可推导得到见；当”为奇数时，由见<0<"-1知”=(-2)"-1；

当”为偶数时，令q=《-("T)，可知4递增，得到知瓦=〃T：采用

分组求和的方式对奇数项和偶数项分别求和，结合等比和等差数列求和公式可求得

结果.

(1)当力=1时，邑+2S]+6=—3+%—6+6=0,解得：4=3；

当〃22时，由S向+2S〃+3〃+3=0得：S〃+2Se+3〃=0,

两式作差得：《川+2勺+3=0,即1I+1=_2&+1)；

经检验：％+l=-2(q+l),满足a,用+l=—2(q+l)；

数列｛%+1｝是以％+1=-2为首项，—2为公比的等比数列.

，ln

⑵由(1)得:a„+l=-2.(-2)"=(-2)\.-.an=(-2)-l；

则当"为奇数时，%<0,„-1>0,=a„=(-2)n-l；

当〃为偶数时，

+2

令%=2"—1一(“一1)=2"—〃，则c„+2-cn=2"-^+2)-2"+n=3-2"-2>0,

•.•c“=2>0,即2"_]>〃_[,：-bn^n-\.

'-T2n=3+4+a+…+)+(4+"+4+…+4”)

=[(-2)'+(-2)3+(-2)5+...+(-2广-小[1+3+5+...+(2〃-1)]

-2(1-4")+1)2(1-4")

—九+-n+n2

1-42——3-

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC,底面ABCD,ABCD是直角梯形，AD1DC,

AB〃DC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.

R

DC

⑴证明：平面EAC_L平面PBC；

(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为当；

①求三棱锥P-ACE的体积；

②求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)①;；②乎

【解析】

【分析】

(1)由线面垂直性质得PC1AC,已知条件可得AC=8C=0,BPAC2+BC2=AB2W

ACLBC,根据线面垂直的判定及性质即可证平面E4C,平面尸3c.

(2)①由(1)知N8PC即为直线m与平面PAC所成角，即可求PC,又

Vp“F=~V即可求三棱锥P-ACE的体积•

1-AC匕2>P一/tCo

②取AB的中点G连接CG,构建以CG、CD、CP为x轴、y轴、z轴正方向的空间直

角坐标系，根据已知线段长度确定C,P,A,B,E,分别求面PAC、面ACE的

一个法向量，即可求二面角P-AC-E的余弦值.

⑴证明：：PCJ•平面ABC。，ACu平面ABC。，

PC1AC.

'：AB^2,有A£)=C£>=1,ADLZJC且ABCD是直角梯形，

AC=BC=近,即AC2+BC2=AB2,

：.AC±BC.

,:PCcBC=C,PCu平面PBC,BCu平面PBC,

AC，平面PBC.

ACu平面E4C,

平面E4CJL平面PBC

(2)①由(1)易知BC_L平面PAC,

28PC即为直线尸8与平面PAC所成角.

BC_近

sinNBPC=

:.PB=R,则尸C=2

••%-*c£=5%-ACB=万(§(万x1x2)x2)=].

②取AB的中点G,连接CG,以点C为坐标原点，分别以CG、CD、CP为x轴、y

轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),P(o,o,2),A(1,1,O),5(1,TO)，呜'-别,

.,.C4=(1,1,0),CP=(O,0,2),CE=l-,--,ll

设〃?=(%,y,zj为平面PAC的法向量，贝U〃?-C4=%+y=0,”CP=2ZI=0,得4=0,

取%=1,X=T,得加=(1,一1,0)

设〃=(&,y2，Z2)平面ACE的法向量，则〃-C4=^+y2=0，n-CE=^x2-^y2+z2^0,

取x?=l,y2=-1,z2=-1,得〃

lxl+(-l)x(-l)+0x(-l)76

cos<m,n>==

6•拒一3

所求二面角为锐角，二面角P-AC-E的余弦值为9.

20.社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人(35岁以下)喜欢

阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者

(35岁以上)更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取4()名顾客进行调查，得到了

如下列联表:

年长者年轻人总计

喜欢阅读电子书1620

喜欢阅读纸质书8

总计40

⑴请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年

龄有关；

(2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的

7人中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.

附：舞马其中

0.100.050.0100.005

2.7063.8416.6357.879

【答案】⑴列联表答案见解析，没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关

(2)分布列答案见解析，数学期望为今

【解析】

【分析】

(1)根据题意，得出2x2的列联表，求得尸引.905,结合附表，即可求解；

(2)由题意得到随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,求得相应的概率，列

出分布列，利用期望的公式求得期望值.

⑴根据题意，可得如下的2x2的列联表：

年长者年轻人总计

电子书41620

纸质书81220

总计122840

则片=也七处竺“9。5<2.7。6

12x28x20x20

所以没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.

（2）按照分层抽样的方法在年轻人中抽取7名，

则抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名,

所以随机变量X的所有可能取值为I,2,3,4,

可得P（X=1）=警总；尸（x=2）=警卷；

P（X=3）=^^=C；P（X=4）=g」，

所以X的分布列为

X1234

418121

P35353535

则期望为后”)=1*奈+2*^|+3*||+4**=4

21.已知双曲线c：（«>0,b>0）实轴端点分别为Aja。），4（。，0），

右焦点为F,离心率为2,过A点且斜率1的直线/与双曲线C交于另一点B,已知

△AB尸的面积为

⑴求双曲线的方程；

⑵若过e的直线/'与双曲线C交于M,N两点，试探究直线A"与直线&N的交点。

是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由.

2I

【答案】⑴⑵在定直线方程x上

【解析】

【分析】

（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点8,进而根据三角形面积公式即可求出

a，b，c的值；（2）分直线斜率和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简

即可求解.

y=x+a）

⑴设直线/的方程为y=x+a,联立Jy2得〉=华纥，

i

又6=£=2,C2=a2+b2,代入上式得y=3a,即为=3%

in、,2

=K(〃+C)，3"=5，解得a=l,・二〃=6，c=2，・••双曲线的方程为元之一=1.

/Nj

(2)当直线0点的斜率不存在时，“(2,3),N(2,-3),直线4M的方程为y=x+l,直

线4N的方程为y=-3x+3,联立直线\M与直线&N的方程可得的呜目，

当直线/'的斜率存在时，设直线/'的方程为y=%(x-2),M(%，x),"(々，为)，

y=A(x-2)22

22

联立“0y得(3-左~卜2+4Kx-44-3=。，x]+x2=—,=4.+3,

x—1K—3k—3

3

...直线AM的方程为y=Tj(x+i),直线4N的方程为、=上(》-1),

玉十Ix2~~1

联立直线A"与直线AN的方程可得:

言二宗甘’两边平方得员（3+1「

力（七-1）2'

又”(5,乂)，N^,%)满足彳2-《=1,

.』a+i『3（3-i）a+i）-（々+1）（占+1）/w+a+wHi

yf（-^2—O-3（X：—1）（电—1）-（芭―1）（“2-1）-（X]+Xj）+1

4公+34匕

40+后三+14公+3+4/+&2-3

=9,

4^+34k24k2+3-4k2+k2-3

-------Z——+1

k2-3k2-3

X+1|=9,：.x=^,或x=2,（舍去）

x-1

综上，Q在定直线上，且定直线方程为x=g

22.已知函数/?（x）=x-alnx（qeR）.

⑴若力(力有两个零点，。的取值范围;