2020年全国大学高数考试试题及解析

2020年全国大学高等数学考试试题

一、填空题(本题共6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

⑴曲线v=lnx上与直线x+v=l垂直的切线方程为.

(2)已知/'(e。=xe-x,且/(I)=0,则/(%)=.

(3)设L为正向圆周m+殍=2在第一象限中的部分,则曲线积分

Jxdy-2ydx的值为.

L

⑷设Q是由锥面z="2+y2与半球面Z=\以2一X2一步围成的空间区域,

，是Q的整个边界的外侧,贝!JJJxdydz+ydzdx+zdxdy=

(5)设a,a,a均为3维列向量,记矩阵A=(a,a,a),

123123

B=(a+a+a,a+2a+4a,a+3a+9a),如果|A|=1,那么|B|二.

123123123IIII----

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,…,X中任取一个数,记为

Y,则尸很=2片.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数/(x)=lim41+|x|3",则/(x)在(-oo,+oo)内()

n—>oo

(A)处处可导(B)恰有一个不可导点

(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点

(2)设2x)是连续函数/(x)的一个原函数，""ON"表示"M的充分必要条

件是N”,则必有()

(A)/(x)是偶函数o/(x)是奇函数

(B)F(x)是奇函数o/(%)是偶函数

(0F(x)是周期函数o/(x)是周期函数

(D)F(x)是单调函数o/(x)是单调函数

⑶设函数"(X,y)=(p(x+y)+cp(x-y)+Jx+V(t)dt,其中函数＜p具有二阶导

%-y

数,W具有一阶导数，则必有()

/八d2U(、d?U_

(A)一=-一-----------------------

dx2力23x2dy2

02Md?u/、

(D)-T-=--

oxdydx2

(4)设有三元方程孙-zIny+eu=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的

一个邻域，在此邻域内该方程()

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数工=x(y,z)和z=z(x,y)

(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)

(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数工=x(y,z)和y=y(x,z)

(5)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到

第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()

「010-'010'

(A)100(B)101

101001

「010一一。1r

(C)100(D)100

011001

(6)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有()

(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关

(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关

(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关

(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

(7)设随机变量X服从正态分布N(O,1),对给定的a(O<a<1),数满足

Ma

P{X>u}=a,若P{|X[<x}=a，则》等于()

j.2U

(A)"»⑻ia

1---

2

Uu

(C)「a(D)%_a

2

(8)设随机变量X,X，…,X(〃〉1)独立同分布，且其方差为02〉0.令

12n

，则()

n»

i=l

(A)Cov(X,y)=—(B)Cov(X,y)=O2

1

ni

(0D(X+y)=/7+2C>2(D)D(X-y)=211C>2

1n1n

三、解答题(本题共9小题，满分94分•解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤)

1、(本题满分12分)

、、4

设e<Q<Z?<e2,证明In2b-ln2a>一(b-a).

e2

2、（本题满分n分）

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间，飞机尾部张开减

速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时

的水平速度为700km/h经测试,减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度

成正比（比例系数为k=6.0x106）.问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多

少？

（注:kg表示千克,km/h表示千米/小时）

3、（本题满分12分）

计算曲面积分/=JIIx^dydz+ly^dzdx+3（^2-\）dxdy,其中Z是曲面

x

Z=1-X2-y2（z>0）的上侧.

4、（本题满分12分）

已知函数/⑴在［0』］上连续，在（0』）内可导，且y（o）=oj⑴=1.证明：

A存在］e（0,l）,使得/化）=13.

B存在两个不同的点r|工e（0』），使得尸（n）/'（C）=L

5、（本题满分12分）

设函数（p（y）具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲

线积分J+2町力的值恒为同一常数.

L2九2+”

（1）证明:对右半平面X>o内的任意分段光滑简单闭曲线C,有

J^>（y）dx+2xydy=0

C2x2+y4

⑵求函数（p（y）的表达式.

6、(本题满分9分)

已知二次型/(%,x,x)=(1-a)x2+(1-a)%2+2x2+2(1+a)xx的秩为2.

12312312

⑴求。的值；

(2)求正交变换x=Qy,把f(x化成标准形.

(3)求方程/(X,x,x)=0的解.

123

7、(本题满分9分)

-12-3一

设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根，求。的值，并讨论A是否

1a5

可相似对角化.

8、(本题满分9分)

设A,3为随机事件,且P(A)=；,尸(5IA)=；,尸(AI团=；,令

v[1,A发生，v[1,5发生，

0,A不发生；[o,5不发生.

求：(1)二维随机变量(x,y)的概率分布.

(2)x和y的相关系数p.

XY

9、(本题满分9分)

设X,X，…,X(〃〉2)为来自总体N(O,1)的简单随机样本，X为样本均值,

12n

记y=X-X,i=l,2,---,n.

ii

求：⑴Y的方差£>y,7=1,2,.

ii

⑵丫与y的协方差Cov(y,y).

1n1n

2020年全国大学高等数学考试试题解析

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线)

(1)曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为y=x-1.

【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的

导数为1可确定切点的坐标。

【详解】由y=(lnx)，=l=l,得x=l,可见切点为(1,0),于是所求的切

X

线方程为

y-0=1-(x-1),即y=x-1.

【评注】本题也可先设切点为(x,lnx),曲线y=lnx过此切点的导数为

00

y'=—=1,得x=1,由此可知所求切线方程为y-0=l.(x-l),即

x=xX0

o0

y=x-1.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.

(2)已知/=彩-工，且f⑴=0,则f(x)=；(lnx)2.

【分析】先求出了'(x)的表达式，再积分即可。

【详解】令e*=f,则x=lnt,于是有

/⑺=也，即/X%)=-.

tX

积分得了(X)=gx=l(lnx)2+C.利用初始条件f(l)=0,得C=0,

x2

故所求函数为f(x)=1(Inx)2.

2

【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题，P90第11题.

（3）设L为正向圆周X2+券=2在第一象限中的部分，则曲线积分

fxdy-2ydx的值为,兀.

【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积

分。

【详解】正向圆周X2+y2=2在第一象限中的部分，可表示为

X=J2COS0,Ac71

y=%/2sin0,2

于是Jxdy-2ydx=2[JJcos。•^/2cos0+2^2sin0-sin0]t/0

L0

巩+f22sin20t/0=

o2

【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计

算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11,《考研数学

大串讲》P122例5、例7.

（4）设。是由锥面z=4X2+y2与半球面Z=那2一X2-y2围成的空间区

域，E是。的整个边界的外侧，则1Jxdydz+ydzdx+zdxdy=2兀（1-4R?.

Z------------------------------

【分析】本题E是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积

分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可

【详解】JJxdydz+ydzdx+zdxdy=JJJ3dxdydz

二3卜psin(pd(pb=2K(1-丑)R3.

ooo2

(5)设a,a,a均为3维列向量，记矩阵

123

A=(a,a,a),

123

B=(a+a+a,a+2a+4a,a+3a+9a),

123123123

如果网=1,那么|回=2.

【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质

进行计算即可.

【详解】由题设，有

B-(a+a+a,a+2a+4a,a+3a+9a)

123123123

111

=(a,a,a)123于是有

'123

149

111

回=囿123=1x2=2.

149

(6)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2，…,X中任取一个数,

记为Y,则

13

p{y=2}=_

48

【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式且第一次试验的

各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分

[详解】P{Y=2}=P[X=l}P{r=2\X=1}+P{X=2}P{Y=2\X=2}

+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{y=2|X=4}

3(O+L1+3=U

423448

二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数/(%)=山11"+Z产，贝Ijf(X)在(一8,+00)内

n—>8

(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点

(0恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点

[C]

【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形

【详解】当<1时,/(x)=lim^'l+|x|3n=1；

当村=1时，/(x)=limVT+T=1；

n—><x)

33

当凶>1时，/(x)=lim|x|(^—+l)w=|x|.

一%3,X<—1,

即/(x)=<1,-1<x<1,可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).

X3,X>1.

(2)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，oN"表示"M的充分必

要条件是N"，则必有

(A)F(x)是偶函数of(x)是奇函数.

(B)F(x)是奇函数of(x)是偶函数.

(0F(X)是周期函数Of(x)是周期函数.

(D)F(x)是单调函数of(x)是单调函数.

[A]

【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答

案.

【详解】方法一：任一原函数可表示为歹(x)=1?⑺df+C,且

0

/(X)=/(%).

当F(x)为偶函数时,有b(-x)=F(x),于是尸(-x)-(-1)=尸(x),即

-/(-X)=/(X),也即/(-X)=-/(X),可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为

奇函数，则I"⑺川为偶函数，从而/(X)分+C为偶函数，可见(A)为

00

正确选项.

方法二：令f(x)=l,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取

F(x)f2,排除(D);故应选(A).

(3)设函数M(x,y)=(p(x+y)+(p(x—y)+1x+W(f)df，其中函数中具有二阶

导数，V具有一阶导数，则必有

92Kd2Ud^u02M

(A))_____=(B)

5x2.而,5x2,

92Md^u02〃_d^u

(c)(D)

dxdyQy2dxdy6x2

[B]

先分别求出二、02"d^u

【分析】再比较答案即可.

0X2dy?dxdy'

【详解】因为k=3'(%+,)+中'(%—，)+¥(%+,)—w(x—y)，

ox

0"

=cpXx+y)—cp'(x-y)+V(x+y)+V(x-y),

oy

rS27/

于是—=<p"(x+y)+(p”(x-y)+v'(x+y)T'(%-y)，

0X2

(j21J

--=cp"(x+y)-cpff(x-y)+V'(x+y)+W'(x-y),

oxoy

rS277

芯="+y)+"-y)+W，(x+y)-y),

可见有四1=四1,应选(B).

&2Qyl

(4)设有三元方程孙-zlny+exz=l,根据隐函数存在定理，存在点

(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).

(0可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(X,z)和z=z(x,y).

(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).

[D]

【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=^-zlny-1,

分别求出三个偏导数/H，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0,则可

zxy

确定相应的隐函数.

【详解】令F(x,y,z)=_vy—zlny+一1,则

尸'=y+exzz，Fr=x-—,Ff=-Iny+exzx,

xyyz

且F(0,l,l)=2,F,(0,l,l)=-l,尸(0,1,1)=0.由此可确定相应的隐函数

xyz

x=x(y,z)和y=y(x,z).故应选(D).

(5)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列

加到第3列得C,贝U满足AOC的可逆矩阵Q为

-01o-'01o-

(A)100.(B)101

101001

-01o-'oir

(0100.(D)100

011001

(D)

【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两

个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。

【详解】由题设，有

010100

A100=B,B011=C,

001001

010100011

于是,A10001=A100=C.

001001001

可见，应选(D).

【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性

质以及与初等变换的关系。

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P1962.2

(6)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

(0A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

[A]

【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行(或列)满秩

或Ax=0(Bx=0)是否有非零解进行分析讨论.

【详解1】设A为mx〃矩阵，B为“xs矩阵，则由AB=0知，

r(A)+r(B)<n.

又A,B为非零矩阵，必有r(A)〉0,r(B)〉0.可见r(A)〈n,r(B)<n,即A的列向

量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选(A).

【详解2】由AB=0知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即

Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。

同理，由AB=0知，BTAT=0,于是有Br的列向量组，从而B的行向量组

线性相关，故应选(A).

【评注】AB=0是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住

的：

1)AB=0^>r(A)+r(B)<n;

2)AB=0nB的每列均为Ax=0的解。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P110例10-11,《数学一临考演习》P79

第4题，〈考研数学大串讲〉P173例8,P184例27。

(7)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a(O<a<l),数M满

a

足P{X>〃}=a,若刊X[<x}=a,贝!Jx等于

(A)u.(B)u(C)u.(D)u.

aal-a1-a

2~22

[c]

【分析】此类问题的求解，可通过a的定义进行分析，也可通过画出草

a

图，直观地得到结论。

【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X<-u}=a,于

a

是

1-a=1-P{|X|<^}=P!|X|>x}=P{X>%}+P{X<-%}=2P{X>x}

即有P{X“}二警，可见根据定义有X=Q故应选©.

2

【评注】本题a相当于分位数，直观地有

2

此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过.

(8)设随机变量X,X，…,X(〃〉1)独立同分布，且其方差为02>0.令

12n

,则

n»

i=l

/\/02

(A)Cov(X,y)=一.(B)Cov(X,y)=D2.

1n1

(c)D(X+r)=/Z+2C>2.(D)D(X-y)=/Z+1C>2.

1n1n

[A]

【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性

有：Cov(X,X)=0,i=2,3,…几

1i

【详解】Cov(x,y)=Cov(X-£x)=!cov(X,X)+J_Zcov(X,X)

1in1n11n1z

i=li=2

=-DX=J-Q2.

n1n

【评注】本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如

D(X+Y)=D(^2LX+1X+…+1X)=(“J"02+211

1n1n2nnn?n?

〃2+3〃〃+3

--------------O2二-----------O2,

几2n

〃一1]、(n-l)2n-1

D(X-y)=D(X--X-lx)二-----------(52+------02

1n1n2n〃2〃2

n2—2nn—2

----------Q2=-------a2.

〃2n

完全类似的例题见《数学一临考演习》P78第23题(本题是第23题的特

殊情况).

三、解答题

1、(本题满分12分)

、.4

设e<a<b<e2,证明Irub-lrua〉(b—a).

e2

【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函

数不等式用单调性证明.

【证法1】对函数ln2x在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得

ii21n1”、c,

Jn2b-ln2a=-------(b-a),a<t1<b.

、几..In/1l，/、1-lnr

设(p«)=一，则7n(/«)=_-----

t"

当t〉e时，<pf(0<0,所以(p«)单调减少，从而(p(1)>(p(e2),即

In2,Inez_2

丁〉k=£'

4

故ln2Z?-ln2>一(b—a).

£2

4

【证法2】设(p(x)=ln2x——x,贝！J

62

，/、小Inx4

(p(x)=2------——,

X£2

“/、J—lnx

Q(X)=2,

X2

所以当x>e时，(p〃(x)<0,故(p'(x)单调减少，从而当e<x<e2时，

44

(p'(x)>(p'(e2)=——=0,

e2£2

即当e<X<62时，(p(x)单调增加.

因此当e<%<62时，(p(Z?)>(p(o),

44

即ln2/?--b>ln2a-一a,

02£2

4

故ln2Z?-ln2>(b—a).

e2

【评注】本题也可设辅助函数为

4、

(p(x)=ln2x-ln2a--(x-a),e<a<x<e2或

e2

4

(p(x)=ln2Z?-ln2x--(b-x),e<x<b<e2,再用单调性进行证明即可。

完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的［解题提

示］,《考研数学大串讲》P65例13.

2、(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张

开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700kn)/h.经测试，减

速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为

左=6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小时.

【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程

即可。

【详解1】由题设，飞机的质量m=9000kg,着陆时的水平速度

v=700W/i.从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t),

o

速度为v(t).

根据牛顿第二定律，得

dv,

m一=—kv.

dt

dvdvdxdv

乂一=.--.=v-,

dtdxdtdx

由以上两式得

m

dx---dv,

k

积分得x(0=-_v+c.由于v(0)=v,x(0)=0,故得c=—V,从而

koko

x«)=7(v-v(O).

ko

、［//、r/、mv9000x700〔、

当v(0—0n时D，x(t)———o-=-------------=1.05(^m).

k6.0x106

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【详解2】根据牛顿第二定律，得吟r%

」力.

所以-

Vm

两端积分得通解v=Ce-t',代入初始条件v|=V解得。=V,

t=000

JL

故v(r)=ve~m.

0

飞机滑行的最长距离为

mv4-00my

------0-Cm—^=1.05(M.

0k0k

或由生=v知x(t)J

e~t,ve~mdt=-1),故最长距离为当

dto00m

/、kv

%.QO时，x(t)->—c=1.05(左机).

m

zHd2x.dx

【详解3】根据牛顿第二定律,------=—k——,

力2--dt

d2%kdx八

----+-------=0,

dt2mdt

kk

其特征方程为九2+上九=0,解之得九=0)=-

m12m

故x=C+Ce~m.

12

_dxkC工

由X=0,v=-——2-em=v，

0

f=0t=odtuomr=0

得C=-C=吗，于是x(r)=^(l-eV).

12kk

当ff+oo时，x⑺f——a-=1.05（^m）.

k

所以，飞机滑行的最长距离为L05km.

【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+8或丫⑺-0的极限

值，这种条件应引起注意.

完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11.

3、（本题满分12分）

计算曲面积分

其中Z是曲面z=l-加—y2（zNO）的上侧.

【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求

解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.

【详解】取工为xoy平面上被圆X2+/=1所围部分的下侧，记。为由

X与z围成的空间闭区域，则

1

/=If2x^dydz+ly^dzdx+3(z2-V)dxdy

z+z

-ff2x^dydz+ly^dzdx+3(z2-l)dxdy.

由高斯公式知

JJ2x3dydz+ly^dzdx+3(^2-V)dxdy=Iff6(x2+y2+z)dxdydz

Z+E]Q

612兀de』idzJiT2(z+r2)zzfe

000

=12兀—/2)2+/3(1——2)]"=2兀.

o2

而IfIx^dydz+2y^dzdx+3(^2-V)dxdy--ff-3dxdy-3K,

x2+y2<l

故/=2兀-3兀=-Ti.

【评注】本题选择Z时应注意其侧与Z围成封闭曲面后同为外侧(或内

1

侧)，再就是在Z上直接投影积分时，应注意符号(Z取下侧，与Z轴正向相

11

反，所以取负号).

完全类似的例题见《数学复习指南》P325例12.21,《数学题型集粹与练习

题集》P148例10.17(2),《数学一临考演习》P38第19题.

4、(本题满分12分)

已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证

明：

(I)存在［e(0,l),使得了@=1-匕；

(II)存在两个不同的点H<e(0,l),使得［(")/'《)=1.

【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介

值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论

【详解】(I)令尸(无)=/(%)-1+x,则F(x)在［0,1］上连续，且

F(0)=-l<0,F(l)=l>0,于是由介值定理知，存在使得尸化)=0,即

(II)在［0,(和-山上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个

不同的点T|e(0工)工使得尸8)="?二"°)，/J⑴二

1-0T

于是尸01)尸《)=竽•露9=W•二=1.

工1—1;1—1

5、(本题满分12分)

设函数(p(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，

曲线积分］叭y)dx+2盯内的值恒为同一常数

L2x2+y4

（I）证明：对右半平面x〉0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有

j(p(y)tZx+2xydy

=0；

c2%2+y4

（ID求函数（p（y）的表达式

【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光

滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而

（II）中求叭y）的表达式，显然应用积分与路径无关即可.

【详解】（I）

X

1

3

如图，将c分解为：C=l+1,另作一条曲线/围绕原点且与C相接，则

123

j<p(y)d%+_j(p(y)dx+2xydyj(p(y)dx+Ixydy_

C2x2+丁4Zi+/32x2+>4/2+/32x2+>4

（ID设尸=（P（y）,Q=2xy,P,Q在单连通区域x〉0内具有一阶连续

2x2+y42x2+丁4

偏导数，由（i）知，曲线积分』约2竺把弛在该区域内与路径无关，故当

L2X2+丁4

x〉0时，总有条罢

dQ__2y(2x2+y^)-4x»2xy_-4x2》+2y5

①

dx(2%2+y4)2(2X2+y4)2

dp=(p'(y)(2x2+y4)—4(p(y)y3=2x2(p，(y)+(p'(y)y4—4(p(y)y3②

dy(2x2+y4)2(212+y4)2

比较①、②两式的右端，得

①'(y)=-2y,③

<

(P，(y)y4—4(p(y)y3=2y5.④

由③得Cp(y)=-尸+。,将(p(y)代入④得2y5一4。》=2y5,

所以C=0,从而(p(y)=—y2.

6、(本题满分9分)

已知二次型/(x,x,x)=(1-a)x2+(l-a)%2+2x2+2(1+d)xx的秩为2.

12312312

(I)求a的值;

(II)求正交变换x=Qy,把/(x,x)化成标准形;

.123

(III)求方程/(x,x,x)=0的解.

123

【分析】(I)根据二次型的秩为2,可知对应矩阵的行列式为0,从而可

求a的值；(II)是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即

可找到所需正交变换；(HI)利用第二步的结果，通过标准形求解即可.

【详解】(I)二次型对应矩阵为

l~Cl1+Q0

A—1+Q1—a0

002

1-Q1+〃0

由二次型的秩为2,知|A|=1+〃1-a0=0,得a=0.

002

110

(II)这里A=110可求出其特征值为入=卜=2,入=0.

123

002

解(2E-A)x=0,得特征向量为：a

1

解(OE-A)x=0,得特征向量为：a-1

0

由于a,a已经正交，直接将a,a,a单位化，得:

9、

0-1

0

令。=匕aa],即为所求的正交变换矩阵，由乂=(^,可化原二次型为标

123

准形：

于(x,x,%)=2y2+2产.

12312

(III)由f(x,x,x)=2y2+2yi=0,得y=0,y=0,y=k(k为任意

12312123

常数).

从而所