辽宁省阜新市2023-2024学年高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

辽宁省阜新市2023-2024学年高二数学第一学期期末复习检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

.—.1

1.在长方体ABCD—ABCQ中，AB=AD=4,M=3,点瓦下分别在棱3耳,3。上，EF//AD｝,BE^-BB1,

4

A.lB.一

3

8

C.2D.-

3

2.若等差数列｛4｝的前“项和为S“，首项q>0,a2020+〃2021>0，^2020,〃2021V0,则满足s”>o成立的最大正

整数〃是（）

A.4039B.4040

C.4041D.4042

3.设等差数列｛4｝前"项和是S…若q=l,S2〉S3,则｛4｝的通项公式可以是（）

X.an=2n-1B.%=3〃-2

C.an=-2n+2D.a〃=一〃+2

4.已知命题夕：Hx£H,sinx>l,命题q:V%£（0,l）,lnx<0,则下列命题中为真命题的是

C.2v（r）

5.在等差数列｛〃〃｝中，已知。3+Q9=12,2=4,则％o=（）

A.4B.8

C.3D.6

6.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正

面朝上的频率和概率分别为()

A.0.48,0.48B.0.5,0.5

C.0.48,0.5D.0.5,0.48

7.已知数列｛4｝满足％=1,%+1=3a“+2”("eN*),设/eZ,若对于V/cN*，都有〃*恒成立，

则，最大值为

A.3B.4

C.7D.9

24

8.设双曲线C：/一匕=i的左焦点和右焦点分别是耳，居，点A是。右支上的一点，则|A£|+不彳的最小值为

24Q卬

()

A.5B.6

C.7D.8

9.校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一

侧不需要围栏，则围栏总长最小需要()米

A.20B.40

C.20V2D.40A/2

10.有一个圆锥形铅垂，其底面直径为10cm,母线长为15cm.尸是铅垂底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅垂

的侧面积为150cm2；②一只蚂蚁从尸点出发沿铅垂侧面爬行一周、最终又回到尸点的最短路径的长度为15退cm.其

A.①②都正确B.①正确、②错误

C.①错误、②正确

11.现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调

查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样

方法是()

A①简单随机抽样，②分层抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样

C.①②都用简单随机抽样D.①②都用分层抽样

12.与圆炉+产=1和圆好+；/一10丁+21=0都外切的圆的圆心在()

A.一个圆上B.一个椭圆上

C.双曲线的一支上D.一条抛物线上

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知定点点5在直线x+y=0上运动，则A,3两点的最短距离为

14.如图，棱长为2的正方体A3。-A4CA中，E,F分别为棱A2、人4的中点，G为面对角线与。上一个动

点，则三棱锥A-EFG的外接球表面积的最小值为.

15.若“HreR,/=根”是真命题，则实数机的取值范围______.

16.已知某农场某植物高度&~N(〃,0.04),且PC<6)=PC26),如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该

农场这种植物高度在区间(6.2,6.4］上的棵数为.

参考数据：若&~N(〃,cr2),则P(〃一b<J<〃+b)=0.6826,尸(〃—2b<J<〃+2b)=0.9544,

P(//-3CT<^<〃+3b)=0.9974.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(12分)已知双曲线E：^--乙=1

m5

(1)若加=4,求双曲线石的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;

（2）若双曲线E的离心率为求实数用的取值范围

31

18.（12分）已知数列｛4｝的前n项和为S“，且S”=万4—万，〃eN*,数列也｝满足：2=4,仇=3,〃+bn+2=2bn+l,

〃£N*.

（1）求数列｛4｝,也｝的通项公式；

（2）求数列｛an-bn｝的前n项和Tn；

2

（3）若不等式左•（§）"七"+1-〃+6»0对任意“6可恒成立，求实数左的取值范围

19.（12分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

（1）P：任意两个等边三角形都是相似的；

（2）q：现wR,+2x0+2=0.

20.（12分）（1）求焦点在x轴上，虚轴长为12,离心率为』的双曲线的标准方程；

4

（2）求经过点尸（-2,-4）的抛物线的标准方程；

22

21.（12分）已知椭圆C:工+与=1（。〉6〉0）,过焦点且垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三

ab~

角形.

（1）求椭圆的方程；

ULIUUUL

（2）过点Q（—L。）的直线/交椭圆于A,B两点,交直线x=T于点E,且AQ=XQB,=.求证：九+〃为

定值，并计算出该定值.

22.（10分）如图，在四棱柱中，平面ABC。，底面A5CD满足A。〃BC,且

AB=AD=AAI=2,BD=DC=2&

(I)求证:AB，平面A。。A;

(II)求直线AB与平面所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

2

【解析】依题意可得3c1〃42,从而得到BC//ER,即可得到男尸从而得解；

【详解】解：由长方体的性质可得BC//A2,又EFIIAD、,所以BCJ/EF,因为=,所以C/=；C内，

所以用户=§与G，因为用G=AD=4,所以=

故选：D

2、B

【解析】由等差数列的4〉。，及。2020/2021<0得数列是递减的数列，因此可确定的)2。>。，牝⑼<。，然后利用等差数

列的性质求前〃项和，确定和s“的正负

【详解】:。2020,。2021<°，；♦%020和“2021异号，

又数列｛4｝是等差数列，首项可>。，，伍〃｝是递减的数列，电必>。，％021<。，

由«2020+«202i〉0，所以5=

4040404*+*)=2020(a2020+a202l)>0,

幽竽城=404皿⑼<°，

•••满足S,,>0的最大自然数〃为4040

故选：B

【点睛】关键点睛：本题求满足S“〉0的最大正整数”的值，关键就是求出S〃>0,S„+1<0,时成立的”的值，解

题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.

3、D

【解析】根据题意可得公差的范围，再逐一分析各个选项即可得出答案.

【详解】解：设等差数列｛4｝的公差为d,

由。i=l,S2〉S3,得2+d>3+3d,所以d<—g,故AB错误；

若4=一2〃+2,则4=0,与题意矛盾，故C错误；

若%=-”+2,则见=1,4=一1<一；，符合题意.

故选：D.

4、D

【解析】命题。是假命题，命题q是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.

【详解】因为一iWsinxWl,故命题。是假命题，又命题4是真命题，故0Aq为假，「人（一|弓）为假，为

假，（子）人4为真命题，故选D.

【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：

（1）p或q：一真比真，全假才假；（2）P且q：全真才真，一假比假；

（3）「P：真假相反.

5、B

【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.

【详解】由等差数列的性质可知名+为=g+即）=4+%0，得4o=8.

故选:B

6、C

【解析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.

48

【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为砺=0.48.

概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为0.5.

故选：C

7、A

【解析】整理数列的通项公式有：4出+23=3（%+2"）,

结合％+毅=3可得数列｛4+2"｝是首项为3,公比为3的等比数列，

则+2"=3",;.。“=3"-2",

3'+i2"+i3"+2（3"—2"）

3"c1

b.=------+2=--------n+2

3〃一2"3n-2”3"—2"2

1-

1

t<+2

原问题即：恒成立,

_11

—+293——-n+2-

当〃一>+»时，］(2:），即1—2।>3,

综上可得：f的最大值为3.

本题选择A选项

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推

关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关

系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项

8、C

【解析】根据双曲线的方程求出仇。的值，由双曲线的定义可得恒用+启=|48|+向+2,由双曲线的性质

可知|之c-a=4,利用函数的单调性即可求得最小值.

2

【详解】由双曲线C：匕=1可得

24

/=1,"=24,所以+匕2=25,

所以Q=l,c=5,

由双曲线的定义可得|A4例|=2«=2,所以|M|=|例|+2,

所以M耳卜向引A用+向+2,

由双曲线的性质可知：|A周2c—a=4,^-\AF2\=t,则

所以恒耳|+而［=|A6］+而［+2=/+：+2［4,+0。)上单调递增，

所以当/=4时，取得最小值4+：+2=7,此时点A为双曲线的右顶点(1,0),

4

即|然I+团q的最小值为7,

故选：C.

9、

【解析】在出矩形ABC。中，设AB=x,AD=y,得到孙=200,结合基本不等式，即可求解

【详解】如图所示，在矩形ABC。中，设==则孙=200,

根据题意，可得矩形ABC。围栏总长为/=x+2y

因为无＞0,y＞。，可得x+2y22j5H=40,

当且仅当x=2y时，即x=20,y=l。时，等号成立,

即围栏总长最小需要x+2y=40米.

故选：B.

10、C

【解析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可判断①，在展开图中可知沿着FP爬行即为最短

路径，计算即可判断②.

【详解】直径为10cm,母线长为15cm.

底面圆周长为/=/rd=1071cm.

将其侧面展开后得到扇形半径为尺=15cm,弧长为ICbrcm,则扇形面积为S=工/R=』xl0〃xl5=75〃cm2,①

22

错误.

将其侧面展开，则爬行最短距离为PP',由弧长公式得展开后扇形弧度数为NPAP'=谭=§乃，作AB，PP',

JT

ZP'AB=ZPAB=-,又AP=AP'=15,

3

BP=BP'=15xsin-=—73,

32

PP'=BP+BP'=—y/3+—j3=15y/3cm,②正确.

22

故选：C

11、B

【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项

【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，

应该采用简单随机抽样

故选:B

12、C

【解析】设动圆P的半径为L然后根据动圆与两圆都外切得归耳=2+厂,忸。=1+r，再两式相减消去参数厂，则

满足双曲线的定义，即可求解.

【详解】设动圆的圆心为P,半径为广，而圆工2+;/=1的圆心为。(0,0),半径为1；

圆炉+y2_10,+21=0的圆心为F(o,5),半径为2

依题意得归耳=2+〃尸0|=1+厂，则归同一|尸0|=(2+厂)_(1+7)=1＜忸0|

所以点P的轨迹是双曲线的一支

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、叵

2

【解析】线段A3最短，就是说A3的距离最小，此时直线AB和直线x+y=O垂直，可先求AB的斜率，再求直线

AB的方程，然后与直线%+y=o联立求交点即可

【详解】定点A(O,1),点5在直线x+y=O上运动,

当线段AB最短时，就是直线AB和直线x+y=O垂直,

AB的方程为：y—l=x,它与x+y=O联立解得X=—g,y=g,

所以5的坐标是(-g,g),

A/2

所以|AB|=

2

故答案为：叵

2

8U

14、

7T

【解析】以ZM,DC,分别为x轴，y轴，z轴建系，则4(2,0,2),设G&2J),球心得到外接

球半径区关于x的函数关系，求出尺的最小值，即可得到答案;

【详解】解：以ZM,DC,分别为x轴，y轴，z轴建系.

则4(2,0,2),设球心015,x,万],

2

R2=o£=；x2,又R2=OG2=2(|T]+(X-2).

联立以上两式，得2x=k—口+-,所以7=3时，x=-,女=以为最小值,

[2J42864

外接球表面积最小值为7

16

Q1

故答案为：7不.

16

15、{m|m>0}

【解析】由于“玉eR,炉=加，，是真命题，则实数机的取值集合就是函数y=必的函数值的集合，据此即可求出结

果.

【详解】由于“*eR,必=a”是真命题，则实数，〃的取值集合就是函数>=必的函数值的集合，即{加|/九20}.

故答案为：{mIm20}

【点睛】本题主要考查了存在量词命题的概念的理解，以及数学转换思想，属于基础题.

16、1359

【解析】由已知求得〃=6,则尸（6.2〈第6.4）=尸（〃+b<J〃+2b）,结合已知求得尸（6.2〈司6.4）,乘以10000得答

案

【详解】解：由PC<6）=P©.6）,得〃=6,

又J~N（〃,0.04）,「。二。。，

贝！JP（6.2<^6.4）=尸（月+cr4+2£7）=（［_?（4—2<7<J釜山+2cr）-P（〃一b<J〃+b）］

=1（0.9544-0.6826）=0.1359,

估计该农场这种植物高度在区间（6.2,6.4］上的棵数为10000x0.1359=1359

故答案为：1359

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）焦点坐标为（—3,0）,（3,0）,顶点坐标为（—2,0）,（2,0）,渐近线方程为>=±乎x；（2）（5,10）.

【解析】（1）根据双曲线方程确定"c,即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；

（2）先求e（用冽表示），再根据eej手，&解不等式得结果.

【详解】（1）当机=4时，

22

双曲线方程化为，L-匕=1

45

所以〃=2,b=A/5，c=3f

所以焦点坐标为(—3,0),(3,0),顶点坐标为(—2,0),(2,0),

渐近线方程为＞=±且X.

2

⑵因为e2=S=3=1+9,ee恪0

ammI2,

35

所以一＜1+—＜2,

2m

解得5＜加＜10,

所以实数冽的取值范围是(5,10)

【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力,

属基础题.

n-1

18、(1)an-3,bn=2n—l»

(2)

3

(3)kN—.

32

31

【解析】⑴由可得数列｛4｝是等比数列，即可求得%,由〃+%2=211得数列｛2｝是等差数列，即

可求得与.

⑵由⑴可得2=(2“—1)-3"T,再利用错位相减法求和即得.

2〃一7

⑶将问题等价转化为左2--对任意〃£N*恒成立，构造数列并判断其单调性，即可求解作答.

【小问1详解】

3133

数列｛4｝的前项和为s“，SFf当"2时，…

31

则%=3a〃_],而当〃=1时，4=SI=5囚一万，即得〃1=1,

因此，数列｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列，则为=31,

数列出｝中，VneN*,bn+bn+2=2bn+i,则数列也｝是等差数列，

而4=1,勿=3,即有公差d=2-6]=2,则2=2〃-1,

所以数列｛4｝,｛2｝的通项公式分别是：a,=3"T,2=2〃-1.

【小问2详解】

由(1)知，地=(2〃—1.，

则7；=1+3x31+5x3?++（2n—1）X3〃T,

贝!]有37；=1X3+3X3?+5X33++（277-3）x3^+（2«-l）x3\

n11

两式相减得：—24=1+2x3+2x32++2x3--（2«-l）x3^i+2x^p^-（2n-l）-3"=-2-2（/t-l）-3\

从而得<=（〃—1>3"+1,

所以数列｛an-bn｝的前n项和Tn=（〃-1）•3"+1.

【小问3详解】

C0r7

由（1）知，k,（―）H,〃〃+]—勿+620u>左•2”—2H+720=>k2———,

2〃一72〃一72（〃+1）-72〃-79-2”

依题意得对任意恒成立，设4二三^,则。m―g

2〃+i2〃2〃+i

当c„+1<c„,｛ca｝为单调递减数列，当1K〃<5,C,M>C“，｛%｝为单调递增数列，

显然有々=。4<。5=三，则当〃=5时，C.取得最大值即*2最大值是三，因此，k>^~,

1632322"3232

3

所以实数上取值范围是左2丁.

【点睛】思路点睛：一般地，如果数列｛4｝是等差数列，｛d｝是等比数列，求数列｛见仇｝的前“项和时,

可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列｛2｝的公比，然后作差求解

19、(1)存在两个等边三角形不是相似的，假命题

(2)Vxe+2x+2w0,真命题

【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【小问1详解】

解：命题P：”任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称命题

根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定「P：”存在两个等边三角形不是相似的”，

命题~f>为假命题.

【小问2详解】

解：根据全称命题与存在性命题关系，可得：

2

命题4：3x0eR,片+2/+2=0的否定为->q：Vxe7?,x+2x+20.

因为x?+2x+2=(x+iy+1w0,所以命题F为真命题.

22

20、(1)————=1；(2)y?=-8x或x?=-y.

6436

【解析】(1)由虚轴长是12求出半虚轴b,根据双曲线的性质c2=a2+b'以及离心率，求出£,写出双曲线的标准方程;

(2)设出抛物线方程，利用经过P(-2,-4),求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程

【详解】焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为J」'=1(a>0,b>0)

Wb1

l2b=12.

259

由题意，得•r5MWb=6,b2=c2-a=-a-a=—a=36

一=—.1616

4

解得a=8，c=10

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为=*'=】

6436

(2)由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：y2=—2px或12=—2py(p>0)

当方程为/=—2px,将点P(—2,-4)代入得16=4p,即p=4,抛物线方程为：/=-8x;

当方程为x2=-2py,将点尸(—2,-4)代入得4=8p,即p=J，抛物线方程为：必=-y；

尤2

21、(1)一+铲=1

4'

(2)证明见解析，定值为。

2b°।

---=1ra=2

【解析】(1)由题意得<a=>,,，从而写出椭圆的方程即可；

一,b=l

2b=a1

/:y=

(2)易知直线/斜率存在，令k(x+l),A&%),B(X2,%)，E(-4,%),将直线的方程代入椭圆的方程，

消去V得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得2+〃值，从而解决问题.

【小问1详解】

*

a=2

(1)由条件得an

b=l

2b=a

2

所以方程为土+y2=l

4'

【小问2详解】

易知直线/斜率存在，令/:y=k(x+l),A。,%),3(x2，%)，石(一4,%)

v=k(x+l)

由＜了2,(1+4k2)x2+8k2x+4jt2-4=0

-----1-y=1

14