高考数学解析几何-第03讲 共焦点问题

高考数学解析几何专题

第03讲共焦点问题

知识与方法

椭圆与双曲线共焦点求解模型:

结论1:已知F11F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且ZF1PF2=

θ,e,e分别为椭圆和双曲线的离心率，则芸i+T=L

12ele2

2222

【证明】设椭圆方程为⅛+⅛=ι,双曲线方程为京-患=1，设P为椭圆与双曲线在第

1

一象限内的公共点，F1,F2分疝为左、右焦点，则∣PF1∣+∖PF2∖=2α1,IPFiI-IPF2I=2a2,.∙.

∣PF1∣=a1+a2,∣PF2∣=%—c⅛在△。&尸2中，由余弦定理得：|乙尸2『=∣PF∕2+

2

∖PF2∖-2∖PF1∖∖PF2∖cosθ,

222

4c=(a1+a2)+(aɪ—a2)—2(a1+a2)(a1—a2)cosθ,

2c2=af(l-cosθ)+谖(1+cos0)

Sinqcos2^

即H+寸I

2222

结论2:己知椭圆(7脸+金=1(其中a1>bl>O)与双曲线嗫一克=1(其中

a2>0,b2>0)

的焦点重合，e1,e2分别为CvC2的离心率，则詈+*必+区

【证明】⅛=⅛=¾^=⅞+ι,⅛=⅛=≡⅛i=ι-⅛∙∙J+3=⅛f+⅛

uɪecucoVcC匕］匕2

典型例题

类型1：已知顶角的共焦点问题

【例1］已知F11F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∆F1PF2=p

则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是（）

A.—B.—C.1D.√3

32

【例2】已知elle2分别是具有公共焦点F11F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的

一个公共点，O是线段F1F2的中点，且∖P0∖=IF2OI,则等==.

【例3】已知F11F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且NFlPF2=学,

则该椭圆和双曲线的离心率之积的取值范围是.

［例4］已知F11F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且NFlPF2=M

则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）

类型2:与面积有关的共焦点问题

下面几例角度不够不明显，需要用到椭圆与双曲线焦点三角形面积公式求解顶角的正、余弦

值.

2γ2C

v2

【例5］已知椭圆C1∖--∖-y=l（m>1）与双曲线Q：/-好=1（几>0）的焦点重合,

βι,e2分别为GC的着心率，则（）

A.m>n且e1e2>1B.m>九且e1e2<1

C.m<ri且e1e2>1D.m<九且e1e2<1

［例6］记共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为βpβ2,若椭圆短轴长

是双曲线虚轴长的2倍,则工+工的最大值为

5©-----------------

【例7】已知F11F2是双曲线G：W=I（α>0,fe>0）与椭圆C2:||+^=1的公

共焦点，点P是曲线CvC2在第一ɑ象限的交点，若XPg的面积为3√δ,则双曲线C1

的离心率为（）

2√10ŋ√10c3遮√5

Aa.D.C.γUλ.—

5352

【例8】若椭圆⅛+⅛=l（t>15）与双曲线⅛-⅞=l在第一象限内有交点A,且

双曲线左、右焦点分别是&,尸2,4&尸24=120。，点P是敖圆上任意一点，贝IJΔPF1F2面

积的最大值是.

类型3：与焦半径有关的共焦点问题

【例9】楠圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点分别为F11F2,敖圆C1的离心率为e1,

双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满足∣PF1h∣F1F2∣:∣PF2∣=

4:3:2,则山的值为()

。2-内

A.2B.3C.4D.6

2222

【例10】双曲线⅛-⅛=l(α2>0,⅛2>0)与椭圆器+患=131>打>0)有相同的焦

点，且左、右焦点分“为N.,它们在第一象限的交点,P,若SinNFlPF2=2sin"F∕2,

且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,则该双曲线的离心率为.

2222

【例11］已知椭圆CI京+靠=l(α>b>0)与双曲线0：2一翥=1(m>0,n>0)

有共同的焦点心,尸2,且在第一象限的交点为P,满足2配•而=殆(其中。为原点).

设C1,C2的离心率分别为e1,e2,当3e1+e2取得最小值时，e的值为()

【例12】设椭圆3+?=1与双曲线《一?=1在第一象限的交点为T1F11F2为其共

同的左右焦点,且ITFll<4,若椭圆和双曲线的离心率分别为β1,e2,则el+el的取值范

围为()

A,(2,⅞)B,(7,⅞)C.(1,⅞)D.(^÷∞)

强化训练

2222

1.已知椭圆G：*+W=I（其中m>2b>0）与双曲线Gj-S=1（其中n>

xm24b2n2b2v

0,b>0）的焦点重合,e1,e2分别为CnC2的离心率，则（）

A.m>Tt且e1e2≥∣B.τn>几且e1e2≤|

C.mVTi且e1e2≥∣D.zn<九且e1e2≤g

2222

2.已知椭圆CιA+⅛=1（其中m>b>0）与双曲线。2邑一为=1（其中n>O,b>

mzbznz4bz

0）的焦点重合，

e1,e2分别为C1,C2的离心率，则（）

A.τn>n且e1e2≥-B.m>n且e1e2>1

C.m<?i且e1e2≥-D.mV几且e1e2>1

3.已知&、F2是双曲线CIW-∖=1(α>O,b>O)与椭圆C2：\+?=l的公共焦点，

点P,Q分别是曲线C11C2在第一、第三象限的交点，四边形PFIQF2的面积为6√6,设双

曲线C1与椭圆C2的离心率依次为e1,e2,则e1+e2=()

4.如图，离心率为2的双曲线C1与椭圆(⅛^+∖=l(α>b>0)有共同的焦点

F11F2,P1Q分别是G,C2,在第一、三象限的交点，若四边形PFIQF2是矩形，则椭圆C2

的离心率为()

A二B.更CrD.晅

4277

5.已知椭圆G：S'+弃=ɪ(ɑi>瓦>0)与双曲线C2∙^^~=

l(α2>0,b2>0)有相同的左右焦点F1,F2,若点P是CI与Q

在第一象限内的交点，且∣F[F2∣=2∣PF2∣,设Cl与C2的离心率分

别为e1,e2,贝!∣eι+e?的取值范围是()

A.&+8)B.(∣,+∞)C.[∣,+∞)D.以上答案

都不对

6.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为APFιF2,且两条曲线在第

一象限的交点为PAPFIF2是以PF1为底边的等腰三角形,若IPFIl=10,椭圆与双曲线

的离心率分别为e1,e2,则e2—勺的取值范围是()

A∙(∣,+8)B∙(i)C.(0,∣)D.ɑ,l)

7.已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点F11F2,两曲线在第一象限的交点为

P,APF]F2是以PFl为底边的等腰三角形，若IPFll=8,椭圆和双曲线的离心率分别为

e,e,则—+—的取值范围是()

12ele2

A.(4,+∞)B.(4,7)C.(2,4)D.(2√2,4)

8.中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点Fι(,-cl0),F2(C,0)(C>0),P为C1

与C2在第一象限的交点，IPal=∣F1F2∣且∣PF2∣=5,若双曲线C2的离心率e2∈(2,3),

则椭圆Cl的离心率e1的范围是.

9.己知椭圆9+y2=ι与双曲线W=I(α>o∕>O)有相同的焦点，其左、右焦点

分别为Fi、F2,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P,且IFIPl=IFi&l,则双曲线

的离心率为.

10.已知椭圆C1；g+g=l(a>b>0)和双曲线C2r⅛-g=l(m>0,n>0)的焦点相

同，F11F2分别力左、右焦点，P是椭圆和双曲线在鼻象?艮的交点，PMLx轴，M为垂

足，若∖OM∖=1∖OF2∖(O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为.

参考答案

类型1：已知顶角的共焦点问题

［例1］已知F11F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∆F1PF2==

则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是()

1

b∙TBTC∙D.我

【答案】B

【解析】由上述结论可知嵩+看=4,所以，e1e2≥^,当且仅当e2=√3e1时等号成立,

所以选B.

【例2】已知elle2分别是具有公共焦点F11F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的

一个公共点，。是线段F1F2的中点，且∖P0∖=∖F20∖则等==________.

+e

y∣^i2

【答案】ɪ

【解析】P0

∖∖=IF2OI=i∣F1F2∣=P

【例】已知FF为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且

3112ZF1PF2=y,

则该椭圆和双曲线的离心率之积的取值范围是.

【答案】e1e2>1

【解析】2=4一看=意=

2/、

由t=⅛√W=-3(t-∣)+p则苏―W(W)

所以/(t)在(U)上单调递减，则/(I)=Ij(I)=O,故有0<京<1=e1e2>1.

【例4］已知F11F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且NFlPF2=*

则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()

A.B.—C.3D,2

33

【答案】A

【解析】由上述结论可得康+看=4,

解法1：利用柯西不等式

由柯西不等式得上+2=l∙2++∙且≤）l+i∙⅛+4=^,

e1e2e1√3e2∖J3-Je；%3

当且仅当-=-,即e1=^,e2=√3时等号成立，

eɪ。23

即上+上的最大值为—,故选A.

e23

解法2:利用三角换元

由W+§=4,可利用三角换元ɪ=2cosθf-=2sin0,

efele1e2

则工+上=乎sin（6+夕）≤号

β∙∣e233

类型2:与面积有关的共焦点问题

下面儿例角度不够不明显，需要用到椭圆与双曲线焦点三角形面积公式求解顶角的正、余弦

值.

,2

［例5］已知椭圆。1：a+、2=i（rn>1）与双曲线c2^-y=l（n>0）的焦点重合,

β1,β2分别为CnC2的窗心率，则（）

A.TH>Ti且e1e2>1

B.m>九且e1e2<1

C.THV九且β1e2>1

D.τnV几且e1e2<1

【答案】A

【解析】设P为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点，FltF2为它们的左、右公共焦点,

贝IJ∣PF1∣+IPF2I=2m,∖PF1∖-∖PF2∖=2n,.∙.m>n,

由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式，可得SA=*ta∏3="⅝（顶角为θ）,

2tan-

所以tan；藁,所以冷

所以ʌ÷A=2,

112

*∙*eɪ≠62,ʌ2=-JH—j>------,eɪeɔ>L故选A.

βf戋e1e2

［例6］记共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,若椭圆短轴长

是双曲线虚轴长的2倍,则力擀的最大值为——.

【答案】I

【解析】易知1+.=5,

解法I：利用柯西不等式

由柯西不等式得

141115

当且仅当丁小即寸/2=2时等号成立,即V或的最大值为2-

解法2:利用三角换元

1412

由于+丁=5,可利用三角换元一=y[Scosθt-=√5sinθ,

比%e1e2

,115.5

则rl—I----=—sin(θ+(jp)≤—

。222

【例7】已知FltF2是双曲线一,=1(α>O,h>O)与椭圆C2：2+?=l的公

共焦点，点P是曲线C1,C2在第一象限的交点，若4PF[Fz的面积为3瓜,则双曲线C1

的离心率为()

2√10ŋ√10,ɔ3√5ɪʌ√5

D.C.L).一

5-------3---------5--------2

【答案】A

22

【解析】由题意，ɑ+⅛=25-9=16,得c=4,设点P(,x0,y0)ix0>O,yo>0),

I-8∙7o=3√65√10

Xo=~Γ4~∕5√103√6∖

则22,解得,即P,代入双曲线CI的方程,

好,羽3Vβ

----------=11

1259

并将b2=16-a2代人，化得α4-35A2+250=0,则(α2-10)(a2-25)=0,

r42λ∕10

又OVQVC=4,解得a=√r10,所以双曲线Cl的离心率为-=7布=―-—

故选：A.

2222

【例8】若椭圆^-+ɪ-=l(t>15)与双曲线≡--⅛=1在第一象限内有交点A,且

t+10t-15、'169

双曲线左、右焦点分别是&,汽2,NFiFzA=120。，点P是椭圆上任意一点，则△PF1F2面

积的最大值是.

【答案】125√5

【解析】依题意有F1F2=2×5=10,设AF2=TntAF2=8+τn,

由余弦定理得(8+m)2=m2÷IO2—2∙m-10∙cos120°,解得m=6.

故对与椭圆来说AF1+AF2=20=2a,a=10,t=90,垓=75,b=5√3,枚圆方程为京+

A=L当P为短轴上顶点时，面积取得最大值为J×10×5√3=25√3.

类型3：与焦半径有关的共焦点问题

［例9］椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点分别为F11F2,枚圆Cl的离心率为e1,

双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满足IPF1HF1F2I:∣PF2∣=

4:3:2,则包丝1的值为()

e2-eι

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【解析】因为F11F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，且两曲线在第一象限的公共点

P满足

IPFihIFiF2I:IPF2I=4:3:2

所以椭圆C1的离心率为“萧标=京W

双曲线G的离心率为-2=i⅛i=⅛=^

因此，型包=群=2

故选A.

2222

【例10】双曲线⅛-⅛=l(α2>0,∂2>0)与椭圆⅛+⅛=l(α1>b1>0)有相同的焦

点，且左、右焦点分%为2%F2,它们在第一象限的交点为P,若SinzF1PF2=2sinZPF1F2,

且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,则该双曲线的离心率为.

【答案】萼

【解析】设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,∖F1F2∖=2c,由正弦定理得

∣PF2∣∣F1F2∣

sinZ,PF1F2sinZF1PF2

VSinzF1PF2=2sinzPF1F2,.∙.∣F1F2∣=2∖PF2∖>-∖PP2∖=C

c

∙.∙∖PF1∖+∣PF2I=2α1,∖PF1∖—∖PF2∖=2a2tʌ∖PF1∖=2a1—c=2a2+c,ʌα1=α2÷

又,∙,e∙e=ɪ∙ɪ=—------=l,c2=ɑɔ÷α2c

1x2

4QlQ2a2+ca2

两边除以aj并化简得-β2-1=0,e2=杵2

故答案为：等

【例11】已知椭圆Clq+∖=l(a>b>0)与双曲线C2：《一\=l(m>0,n>0)

有共同的焦点出,尸2,且在第一象限的交点为P,满足2配•而=殆(其中。为原点).

设CvC2的离心率分别为e1,e2,当3eι+e?取得最小值时，e的值为()

A.在B.四CwD.在

4323

【答案】D

【解析】如图，作PMIFiF2,垂足为M,

1+2α

根据椭圆与双曲线的定义可得［!pζ∣!nζ!"n,解得∖PF1∖=a+m,∖PF2∖=a-m,

由2瓯•而=和，可得点P的横坐标为xp=p

即阳Ml=MlF2”|

2

由勾股定理可得(α+m)-管J=(α_my_住了

2

整理得c=2am,即e1e2=2,

・•・3β1+β2≥2λ∕3β1∙e2=2√δ,当且仅当3e1=e2时等号成立，

√6

..e=—.

13

故选：D.

2222

【例12】设椭圆三+-=1与双曲线台一一=1在第一象限的交点为T1F11F2为其共

同的左右焦点，

且∣TF1∣<4,若椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则登+成的取值范围为

A(W)B,(7用C.(1,⅞)D,偿,+8)

【答案】D

【解析】解法1:

依题意有m2-4=α2+4,BPm2=a2+8,

TH2-4a2+423+4)232

ʌeɪ7÷eɔ7=-----ʒ----1------ʒ—=ɔ——=2+—7——ʒ

12τn2a2α2oz(α2÷8)α4÷Qa2

22

∣TF1∣+∣TF2∣=2√α+8,∣TF1∣-∣TF2∣=2∖a∖,∖TF.l∖=√α+8+∣α∣<4

113250

解得Q2<1,•*'0<a4÷8a2<9,ʌ>—,∙*•2+>—,

a4+o8a2z9a44+o8a229

ɔɔ3250

∙∙∙ɛi+ɛ2>2+—=—.

VV

故选D.

解法2:

因为0<Q<1,所以双曲线的离心率β2==Jl+ʌ>V5,即e2>V5,

11_m2+a2_c2+4÷C2-4_11

222,即~÷~=2,贝IJeɪ=—-

eɪ*登cC”破2比一1

所以e2+e2=-^-+e2=1+l(_l_+2e2_l)

设t=2ef-l(t>9),设∕ι(t)=1+ɪɑ+(t>9),求导Λ,(t)=T(I->0,

所以∕ι(t)在(9,+8)单调递增，所以∕ι(t)>∕l(9)=p

因此受+登的取值范围詈,+8).

强化训练

L已知椭圆。1：马+与=1(其中m>2b>0)与双曲线C2r⅛-⅛=1(其中n>

ɪm24b2δn2b2v

0l6>0)的焦点重合臼,3分别为CiG的离心率，则()

A.τn>ri且e1e2≥gB.τn>九且e1e2≤-

44

C

m<nqβ>-Dm<ne<-

2-52-5

ILI-Lel

【答案】A

【解析】可得τn>m由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得4tan?=-⅛,所以tan?=

2tanɪ2

1

2,

所以嵩+5=5,5=/+；品,当且仅当2e1=e2时，

等号成立，所以e1e2≥i故选A.

2222

2.已知椭圆Ci：t+3=1(其中m>b>O)与双曲线CΛ-⅛=1(其中n>O,b>

mzbln24∂z2

O）的焦点重合,eι,e?分别为C1,C2的离心率，则（）

A.?n>Ti且e1e2≥gB.τn>几且e1e2>1C.m<九且e1e2≥-

D.mVn且e1e2>1

【答案】B

【解析】由上述解法易知m>n,

由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得tan?=工，所以tan?=2,所以2+与=5,所

2tan-2eιe2

由0<qV1,。2>1，且/+荔=5,得IV林V

令t=⅛-∕ω=-4(t-j)2+⅛

则忌=f(t)，te(弋)

所以f(t)在(l,θ上单调递减，f(l)=l,/ɑ)=0,

ee

故。<eze2<L即ι2>I-故选B-

3.已知&、F2是双曲线C总一5=1(α>O,b>O)与椭圆C2:^+^=1的公共焦点，

点P,Q分别是曲线C1,C2在第一、第三象限的交点，四边形PF1QF2的面积为6√6,设双

曲线C1与椭圆C?的离心率依次为e1,e25则e1+e2=()

ʌ2√10+4D2√10+3C3√5+4C3√5+3

ʌ-b∙c∙ɪd∙ʃ

【答案】A

2222

【解析】由于a、F2是双曲线Q京一B=I(α>O,b>O)与椭圆C2嚷+勺=1的

公共焦点，

故+块=16,

根据双曲线C1与椭圆C2的对称性可得，APFJz的面积为3限

i.8∙y0=3√6(X—5旧

设点Pdχ0,y0×χ0>o.yo>0),则Hy2°^,解得fɑ-ɪ,即P(学,乎)，

⅛+V=1E=十

2242

代入双曲线C1的方程，并将b=16-a代人，化得α-35a+250=0,则

(α2-10)(α2-25)=0,

又OVa<c=4,解得Q=√10,

所以双曲线C1的离心率为eι=(=磊=争，

而桶圆C2的离心率为e2=l所以eι+e2=等2

故选：A.

4.如图，离心率为2的双曲线C1与椭圆G：摄+∖=l(α>b>O)有共同的焦点

F11F21P1Q分别是Cι,C2,在第一、三象限的交点，若四边形PF1QF2是矩形，则椭圆C2的

离心率为()

AYB.里CrDm

4277

【答案】D

【解析】设∖PF1∖=x,∖PF2∖=y,∙.∙点P为椭圆C2=⅛+⅛=

点，

ʌ∣PF11+∣PF2∣=2Q=X+y;(1)

222

又四边形PF1QF2为矩形，ΛIPF1I+IPF2I=∣F1F2∣即

y2—(2c)2=4c2,(2)

设双曲线C1的实轴长为2m,焦距为2C,且上2

则2m=∣PFll-IPF2∣=%-y,(3)

(1)2+(3)2可得X2+y2=2(τn2+α2)=4c2(4)

将m=.代入(4)中a2=ɪe2,

24

椭圆C的离心率e=-=—

z2a7

故选D.

5.已知椭圆Cl："+,=IQ>瓦>0)与双曲线C2：总一誓=IQ>0,∂2>0)有相同

的左右焦点F1,F2,若点P是Cl与在第一象限内的交点，且I&F2I=2∣PF2∣,设C1

与C2的离心率分别为e1,e2,则J+e2的取值范围是()

A.G，+8)B.(I，+8)C.[∣>÷0°)D.以上答案都不对

【答案】B

【解析】由椭圆定义可得∖PF1∖+∖PF2∖=2a1,由双曲线定义可得∣PF[∣-∣PF2∣=2。2,则

∣PF∣=a-a,因为∣FιF∣=2∖PF∖,所以c=a-a,两边同除c,则---=1,则

2122212ele2

eɪɪɪ

1,

l+e2

所以e÷e=ʌ-+e2=(e2÷1)-9

12ɪ∙c≈2ɪ***2

因为e2>1,所以β2+1>2,

易得(。2+1)——^单调递增，所以(e2÷1)———>2—ɪ=|,故选：B.

6.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为aPF]F2,且两条曲线在第

一象限的交点为PAPFlF2是以PF1为底边的等腰三角形,若IPFIl=10,椭圆与双曲线

的离心率分别为eve2,则e?-eι的取值范围是()

A∙(|，+8)B∙&+8)C.(θ,∣)D,(|,|)

【答案】A

【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为C1PF1=rllPF2=r2由题意知r1=10,r2=2c,

Lrr5

且i>z»2Γ2>r1,：•2c<10l2c+2c>10,ʌ-<c<5,

2c2c2cc2cZcc

双1椭

,2αr1-r210-2c5-c20r1+r25+c

e=一士

・•・β2"IT^--=2Γ~~>|,故选A-

/15-c5+c25-c23一13

7.已知中心在原点的桶圆和双曲线有共同的左、右焦点FLF2,两曲线在第一象限的交点为

P,APFiFz是以PFl为底边的等腰三角形，若IPFll=8,椭圆和双曲线的离心率分别为

e,e,则的取值范围是

12ele2

A.(4,+∞)B.(4,7)C.(2,4)D.(2√2,4)

【答案】B

【解析】设椭圆的长半轴长为由，双曲线的实半轴长为a?,焦距为2c,则∣PF2∣=2c,

由椭圆和双曲线的定义可得*+爹二翁,解得伊U卡：、n，

(8—2C=2a2(.α2=4—c>0

又因为IPF2I+IF闻>IPFj即4c>8,解得02,即2<c<4.

所以2+三=也3=8+2C+4-C=之+1e(4,7),故选：B.

e1e2ccc

8