河北省衡水中学2021届上学期期中考试高三数学(含答案)

河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试

数学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共4页，总分150分,考试时间120分钟。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合八={“反2—2z{0},I3={x|lV3，rV81},C={j：|a:=2n,neN}力!j(AUB)nC=

()

A.{2}B.{0,2}C.{2,4}D.{024}

2.要得到函数y=Y2cosz的图象，只需将函数尸方sinG+5)的图象()

A.向左平移彳个单位B.向右平移千个单位

C.向上平移:个单位D.向下平移:个单位

44

QQ1?

3.已知函数3久+-ra2xG[0,2],若函数夕(0)=—a2>^(x)=—ax3+另(Q-l)x2-为偶函数，且f(l)=

乙y乙乙乙

0,则6的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知等差数列{4}的前n项和为S“,％+城=1,。2与%的等差中项为2,则Si的值为()

A.6B.-2C.-2或6D.2或6

5.已知sin(a+,则cos(2a—=()

A.摩B.李C.卷D.一《

uoou

6.已知函数y=f(为的部分图象如图，则f(x)的解析式可能是()

A./(a:)=x—^-sin2a:B./(x)=x+sin2xI/

、i~

C.J(x)=x+tanxD.f(x)=x--^-cosx/

7.已知min{m,n}表示实数m.n中的较小数，若函数/(x)=min{3+logJ?,logJ：}，

412

当OVaVb时，有f(a)=f(b),则小石的值为()

A.6B.8C.9D.16

8.设S“为数列{6}的前n项和，S“=(—1)%”—却eN*,则S+$+…+5。。=()

A•赳)TB.![(!；-!]c.依)yD.IG)K

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分。

9.已知等差数列{a.}是递增数列，其前n项和为S”,且满足&=3a5,则下列结论正确的是()

A.d>0B.a,<0

C.当n=5时，S”最小D.当S.>0时，n的最小值为8

10.设函数y=f(x)和y=f(—工)，若两函数在区间［m,n］上的单调性相同，则把区间［m,n］叫做y=

f⑴的“稳定区间”，已知区间口,2020］为函数y=《J+a|的“稳定区间”，则实数a的可能取值

是()

261

A.-jB.C.0D-32

11.已知函数/⑴=sin(car+孑)(0Va)43)的图象的一条对称轴为直线x=-g-，函数g(x)=f(z)+

2cos侬+个),则下列关于函数g(x)的说法错误的是()

A.直线工=卷是g(x)图象的一条对称轴

O

B.g(l)的最小正周期为兀

C.点6,0)是g(x)图象的一个对称中心

D.g(%)的最大值为酒

12.已知函数/⑴=sin(3工+卜(3>0,陶〈另在区间卜方,铝上至少存在两个不同的孙&满足

/⑴f3)=1，且f(工)在区间［-上具有单调性，点(一福，0)和直线工=号分别为f⑺图

Lo1■乙J\0/JL乙

象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是()

A./⑴在区间传奇)上的单调性无法判断

B.小)图象的一个对称中心为(等,0)

C.f(x)在区间［-上的最大值与最小值的和为!

D.将/(为图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移?个单位得到y=

0

g(x)的图象，则g(x)=—COSX

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知等比数列｛a”｝的前〃项和Sn=Q+b•2”,且。2,9用成等差数列，则a—b的值为.

14.已知函数fQ)=asinan+cos3J：(Q>0,3>0)的最大值为2.若函数f(x)在区间［0,7］上至少取得

两次最大值,则但的最小整数值为.

kx,x>0,

15.记函数/(①)=］一反］，其中反］表示不大于々的最大整数，g(x)=<1若方程f(x)=g(x)

—,x<0.

、x

在区间［-5,5］上有7个不同的实数根，则实数归的取值范围为_____.

16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若〃—。2=。一则导=；

2

生警+5的取值范围为.(本题第一空2分,第二空3分)

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

如图，在圆内接AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a.b,c,满足acosC+

ccosA=2bcosB.

⑴求B;

(2)若点D是劣弧AC上一点，AB=2,BC=3,AD=1,求四边形ABCD的面

积.

18.(12分)

已知正项数列｛6｝的前n项和为S,„a产1,&=4+l-XS„+1，其中入为常数.

(1)证明：S,+=2S“+'.

(2)是否存在实数X,使得数列｛斯｝为等比数列？若存在，求出入的值;若不存在，请说明理由.

19.(12分)

从①给=皿，②SAAMN=m叵,③AC=AM这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行

LJIX

求解.

问题:在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6cB=等工=8,点M,N是BC边上的两个三等

O

分点，品=3BM,,求AM的长和△ABC外接圆的半径.

注:如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

3

20.(12分)

设函数f(z)=x3—3/+ax,g(x)=-3ax2+(乎+3]—3-,。eR.

⑴求函数f(#的单调区间；

(2)若函数＜p(x)=jf(x)-g(x)-e[0,2])在攵=0处取得最大值，求a的取值范围.

21.(12分)

甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，

具体如下：

等比数列｛%｝的前n项和为S”，已知,

⑴判断sss的关系并给出证明.

(2)若出一4=3,设=$a”|,｛4｝的前篦项和为工,,证明：1,V2.

JL乙o

甲同学记得缺少的条件是首项由的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值,并且他俩都记得第⑴

问的答案是S1,$,5成等差数列.

如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的,请通过推理把条件补充完整并解答此题.

22.（12分）

定义可导函数y=f(z)在工处的弹性函数为『'(工)，其中T(0为fG)的导函数.在区间D

f(K)

上,若函数fQ)的弹性函数值大于1，则称f(x)在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作f(£)的弹性

区间.

⑴若rQ)=e，—/+1,求「小)的弹性函数及弹性函数的零点；

(2)对于函数/(卫)=(卫一l)e，+lnj:-收(其中e为自然对数的底数).

(i)当t=0时，求f(x)的弹性区间D;

(ii)若f(x)>1在⑴中的区间D上恒成立，求实数£的取值范围.

4

数学参考答案

一、选择题

1.B【解析】因为A={工|04a：{2},B={T|0<T<4},C={0,±2,±4,±6,…}，所以AUB={7|04

了〈4},所以51^川。={0,2}.

2.A【解析】因为、=、/2cosx=J2sin(x+5),所以由函数尸方sinG+孑)的图象得到函数)=

V2sin(x+5)的图象，只需向左平移孑个单位.

3.C【解析】因为y=f(z+l)为偶函数，所以》=/(工)的对称轴为工=—1.又因为/(1)=0,所以y=

f(x)的顶点坐标为(1,0).由f(x)=x2-ax+b=(工-+b-亍，

q=]f/7=?

得5'解得，

b=T

/⑴=l-a+6=0,I

4.C【解析】设公差为d,由题意知卜+(%+4=1，解得k=°,或3=-8,当%=0,

%=a]+2d=2,[d=1[J=5.

4xR

d=1时，=6,当%=—8,d=5时，，S4=4x(-8)H--%—x5=-2.

5.D【解析】因为2a—5=21+1)一k,所以8$3—1)=cos|^2(a+1)-K]=-coS[2(a+1)]=

一-1-2sin(a+到=2x(苧)

6.A【解析】由题图知函数的定义域为R且fQ)为奇函数，所以排除C,D选项:B选项中，尸(①)=1+

2cos2无,则f'(0)=3,不满足原点处切线斜率为0,排除B选项；A选项中，/(工)=1-cos2K,则f'(0)=

0符合题意.

7.B【解析】作出函数f(z)的图象，如图中实线所示，由f(a)=f(b)可知，vA,

log2a—logiu十。,切“log2a十iogc»—d,cPioga-riogv_o—iog^av_o)'、、.y=logj.r

44222

=3,所以a4b—8.

8.A【解析】由S”=(—l)"a“-0,7?£N'当九=1时,Si=—Q]，,得%—7atx

=-J;当n>2

时,a=S—S_i=(-1)&-g一

nnn(1)%-1+2时「即%—(l)%+(1)an-l+2«,

当,为偶数时，%7=—/(九)2),所巳ka“=—pr，当n为奇数时,a”—i=-2a”+g=(-2乂一/r)+

=/T，所以%=/，所以一W，所以一。1+。2=2X=y,-。3=去。4=｝，所以一

C111

100，CLioo—21oo，所以3+aioo—2x2IOO—2^9.

。3+42x23Q992

=

因为S+Sz+SsH---HS100(一%+&)+(-a3+a4)+(-a5+a6)H---1■(一须+。侬)一

二、选择题

9.ABD【解析】因为｛“｝是递增数歹h所以d>0.因为。7=3恁，所以恁+2d=3。5,所以d=Q5,所以内

=-4d=-3dV0,故A,B正确；又因为乙=-d=d-d=0,所以S?=S4,且为&的最小值，故C

错误；又$=幽1^"的)=4(4+a5)=4%=4d>0,5=，依夕。?)=7a4=0,故D正确.

10.AB［解析】由题意得/⑺=|(/+a|与f⑴=|2'+aI在区间口,2020］上同增或同减.若同增，则

(1Yf1

一+Q<0/7<------1

\2)一'在区间口，2020］上恒成立，即一2'所以一24a《一，若同减，则

乙

2x+a>0［a>-2,

flYI(1Y020

-\+a>0a>--

—在区间［1,2020］上恒成立，即｛\2)无解，所以A,B选项符合题意.

2x+a<0a<-22020,

11.AC【解析】由工=」为f㈤的一条对称轴，得34+手=:+~,即3=2+8k#wZ.又因为36

oo4Z

(0,3］，所以3=2,所以g(a?)=sin(2x+子)+2cos(27+孑)=写ZCOS2N—^-s\n2x=A/5COS(2X+

中)(tana=［■).易知4。，+而,且平工苧+上冗,归wZ,故A,C错误，B,D正确.

12.BC【解析】由题意得一半+中=0,等+中=3+E#eZ,即0=4+乡.又/⑴在区间

-j,-y］上至少存在两个最大值或最小值，且在区间［-称，佥］上具有单调性，则k=1,此时3=

2'=2,即f(x)=sin(2;c+等).因为冬〈辽<9所以等V2z+?V萼，所以/⑺在区间

(J.J)上单调递减，故A错误;由2**+5=20",所以(答，。)为fG)图象的一个对称中心,

故B正确;因为■(工■，所以^■《2工+5《y(^)min=y^=sin(-看)=—,

f(幻a=/(佥)=sinj=1,所以最大值与最小值之和为(，故C正确;将f(x)图象上所有点的横坐标

伸长为原来的2倍,得到尸sin(x+或的图象，再向左平移高个单位,得到ksin(x+y+j)=

sin(x+，)=cosz的图象，即g(w)=COSB,故D错误.综上,B,C正确.

三、填空题

6

Ti-1

13.—2【解析】当n>2时，an=Sn—S„_j=(Q+b•2")一(a+b•2)=b-2"时当九=1时，Qi=S1=a+

2b=b•2°,所以Q+b=0①.又。2,9,与成等差数歹ll，所以a?+。5=18,即2b+2,•b=18②.由①②解得a

=-l,b=1,所以a—b=-2.

14,2【解析】/(1)=asincaz+cos3j;=+所以/⑴的最大值为，=2,解得。=

石)・当COT+吊~=2+2k尺，k£Z

V3或Q=—V3(舍去),所以f(幻=V^sincoT+COSCUJ?=2sin(COT+

时，函数f(x)取得最大值，则当支>0时，前两个最大值分别为人=0和k=l.当k=l时，由axr+

尹尹得A养47,所以3*,所以3的最小整数值为2.

15.［9,1)【解析】作出函数fQ),g(£)的图象，如图所示./1..

方程f(x)=g(x)在区间［-5,0)上有3个实根,故在区间［0,5］上有4/AA/y

个不同实根.当直线？=日经过点(4,1)时，k=经过点(5,1)-5-4-3-2-1012345

时，k=(.若在区间［0,5］上有4个根,则ke惇/).

16.2【解析】由余弦定理得〃=。2+。2-2accosB,即b2-a2=c2—2accosB,litc2-2ac-cosB

=QC,即c—2acosB=a.由正弦定理得sinC—2sinAcosB=sinA，即sin(A+B)—2sinAcosB=

sinA,所以sin(B—A)=sinA,所以8—4=人或(13—A)+A=TT(舍去)，所以B=2A,即牛=2.

m斗A।n0人/△\匚匚I、IA/八六、匚匚i、ibcosA,asinBcosA,sinAsin2AcosA,

因为A+B=3AG(0E)，所以A£0,可，所以------+父=―r—：—+=5=———+

\3/absinAsinBsinA

黑=2cOs2A+募•令A8SA，则Z(X)=+*"€(9，1),y(x)=4久—白8X3-1

>0,所以心)在区间传』)上单调递增.又=⑴=5'所以f⑶€偿'3

四、解答题

17.解:⑴由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,得sin/3=2sinBcosB.

1ir

因为0VBVn,sinB因所以cosB=3•，即B=支,(5分)

乙j

(2)在AABC中,AB=2,BC=3,B=",

O

7tAB2+BC2-AC24+9—AC?

CCS——=-----------------------------------------=------------------------------，解得AC=，7.

32AB-BC12

在AADC中，AC=J7,AD=1,A,B,C,D在圆上，因为8=件,所以NADC=等,

OO

_AD2+DC2-AC2l+DC2-7

所以cos-^-，解得DC=2,

O2AD-DC2DC

AD

所以四边形ABCD的面积S=5凶口+SAADC=V-DCsing+方AB-BCsinq=2A/3.(10分)

乙«JCtJ

18.⑴证明：因为%+1=Sn+1—S”,S>aU-XS„+1,

2

所以S：=(S„+1-S„)-AS,1+1,所以S5s“+1-2S“一入)=0.

因为a”>0,所以Sn+i>0,所以Sn+i—2S„—X=0,

7

所以S.+i=2S“+九(6分)

(2)解:因为SO+i=2S“+入，所以S.=2S._i+X(n>2),

两式相减,得a“+i=2a„(n>2).

因为$=2S+入，即%+%=2%+入，

所以％=1+入，由a?>。,得之>-1.若｛a”｝是等比数列，则<2佬=<4,

即2(入+1)=(2+1)2，解得入=1.经检验,\=1符合题意.

故存在入=1,使得数列｛a“｝为等比数列.(12分)

19.解:若选择条件①:

因为第=所以给=2'覆设BM=t,则AN=2/t.

DiyDivl

又B=60。1=8,所以在AABN中，AN2=AB2+BN2-2AB-BNcosB,

即（2V3t）2=82+4f2-2x8x2tcos60°,即/+2t—8=0,

解得t=2或一4（舍去）.（6分）

在AABM中，AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB=82+4-2x8x2cos60°=52,

所以AM=2V1^（8分）

同理AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=82+62-2x8x6cos60:52,

所以AC=2A.

由正弦定理可得2R=^AC=2V13=4739

sin60°^/33

所以AABC外接圆的半径R=2".(12分)

o

若选择条件②：

因为点M,N是BC边上的三等分点,且SMMN=，所以SAliC=12V3.

因为B=60°,所以SM-=12V3=jAB-BCsin60°=*x8xBCx乎,

所以BC=6,所以BM=2.（6分）

在中，AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB=8?+4—2x8x2sin60°=52,

所以八”=仄房.（8分）

同理AC?=AB2+BC2-2AB-BCcosB=82+62-2x8x6cos60°=52,

所以AC=%用，

由正弦定理可得2氏=4=学，=军^生票，

sinnsmbOJ33

~T~

所以AABC外接圆的半径R=之笑.（12分）

O

若选择条件③：

设BM=t,则BC=3t.

在△ABM中，AM?=AB?+BM?一2AB•BMcosB=8?+/—2x8tcos60*=82+t2-8t,

同理在4ABC中，AC?=AB2+BC2-2AB-BC-cosB=82+9t2-2x8x3tcos60°=64+9t2-24t.

因为AC=AM,所以8?+/一&=64+9胫一24t,所以t=2.（6分）

8

在z\ABM中，AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB=82+4-2x8x2cos60°=52,

所以AM=2A/1^.（8分）

同理AC?=AB2+BC2-2AB-BCcosB=82+62-2x8x6cos60°=52,

所以AC=271^.

b_AC2V13_4V39

由正弦定理可得2R=

sinBsin600

~2~

所以AABC外接圆的半径R=2黑.（12分）

J

20.解:⑴/（工）=Sx2—6x+a—3（x—l）2+a—3（1分）

当a23时，尸（工））0,

所以/（工）的单调递增区间为（一8,+8）,无单调递减区间;（2分）

当aV3时，令尸（工）>0,得hVI—或工>1+

所以f（z）的单调递增区间为（一oo,l-yiHZ）和（1++8）

令厅（公〈0,得1—/^工〈工<1+后工，

所以f（①）的单调递减区间为（1-々月]」+（4分）

综上，当a》3时，的单调递增区间为（一8,+8）,无单调递减区间；当a<3时，人龙）的单调递增区

（2）由题意得中（1）=-yax3+-y（a—l）x2—3J:4--ya2,xe[0,2].

LiLi乙

因为函数仪z）在工=0处取得最大值，

Q1QQ

所以<p（0）=5中（£）=—ax3+-y（a—l）x2—3x+-ya2,xG[0,2],

乙乙乙乙

即yaa:3+y（a-l）x2-3a:<G[0,2],当工=0时，显然成立.（7分）

1Q

当其£（0,2]时，得歹山^+?（a-1）式一340,

即3（久+2）=3（%+2）=________3

—.（8分）

、f+3工（工+2）2—（工+2）—2（了+2）-2

1

2

令人（久）=（x+2）—父+2—1,XG（0,2].

易知g）在区间（0,2]上单调递增，故”工）6（0,1]；

所以--------J------）■，即a（《，

（丈+2）—瞑一155

9

所以a的取值范围为（一8,得.（12分）

21.⑴解：补充的条件为q=-1，6岛§的关系为民§,$成等差数列.

证明如下：

由题意可得S=Qi,S2=%+。2=%-4。】=9的'

乙乙

「II1.13

S3=a+&+&=%—2al+铲]=铲1，

可得S]+$=24,因此S],S3，$成等差数列.（5分）

（2）证明：由%—。3=3，可得生一；"。1=3,

解得Qi=4,a〃=4x（-.（6分）

4=64=佥|4X（-4）"1=名氏'（7分）

则L=却3+2.$+3[+…+“弓）,昙=如1