第五章 三角函数（单元重点综合测试）（解析版）

第5章三角函数（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。1．下列各角中，与角的终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据终边相同角的形式依次验证各个选项即可.【详解】与终边相同的角为；当时，，A正确；其余三个选项中，不合题意.故选：A.2．如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形的弧长公式得出，表示出，可得答案.【详解】设（弧度），则，；因为，所以，，，所以.故选：C.3．若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角的关系，再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】由得，则，因为，所以，所以.故选：A4．已知，且，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先对化简可得，再结合，可得，再给分子分母同除以，结合化简可求出答案【详解】解：由，得，所以，，，所以，，解得或，因为，所以，所以，故选：A5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角的三角函数关系，切化弦，再结合两角和差的正弦公式化简，即可求得答案.【详解】由，，得，即，即，所以，即，所以，故选：C6．已知，若定义表示不超过的最大整数，如，，，.若，，则函数值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用正弦型函数值域的求解方法可求得值域，根据的定义，分段讨论得到的值域.【详解】，当时，，，，当时，；当时，；当时，；的值域为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义运算问题，解题关键是能够通过三角恒等变换和整体对应的方式准确求得正弦型函数的值域.7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始边，以为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，因为是奇函数，所以，，且的周期为，且，，，，求的零点，即是与的交点，如图：为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，第11个零点坐标为，因此.故选：A【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。9．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（

）

A． B．C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减【答案】BD【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D．【详解】函数的部分图象，可得，，，则．又，所以，，所以，，又，，，故A错误．由，，，故B正确；将函数的图象向左平移个单位长度得到，则为奇函数，故C错误；当则，因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故D正确，故选：BD．10．已知函数，则（

）A．为偶函数 B．的最小正周期为C．在上单调递增 D．在内仅有1个解【答案】ABD【分析】利用诱导公式化简和可判断A，B；利用正、余弦函数的单调性，结合复合函数的单调性可判断C；由，可得，结合余弦函数的单调性可判断D.【详解】对于A，因为，定义域为，，所以为偶函数，故A正确；对于B，，所以是的一个周期，又，所以不是的周期，故的最小正周期为，故B正确；对于C，当时，，又在上是偶函数，先增后减，不是单调函数，而函数在上单调递增，由复合函数的单调性可知，在上不是单调递增函数，故C错误；对于D，因为，所以，由，可得，而函数在上单调递减，所以在内仅有1个解，故D正确.故选：ABD11．已知函数的所有非负零点从小到大依次记为，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，故作出函数图象，数形结合判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项.【详解】由，可得，即与的图象在第一象限交点横坐标即为，因为，时，，如图，由图可知，共有9个符合要求的交点，所以，令，解得，，即，故由图象可知，，，，所以，因为，若，则需，由图知，，故不成立，综上可知，BC正确，AD错误.故选：BC12．已知函数，则（

）A．当时，的最小正周期是 B．当时，的值域是C．当时，为奇函数 D．对的图象关于直线对称【答案】ABD【分析】先把n值代入函数的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、值域；依据定义去判断奇偶性、对称轴即可解决.【详解】选项A：当时，最小正周期是.判断正确；选项B：当时，的值域是.判断正确；选项C：当时，则故，即不是奇函数.判断错误；选项D：则的图象关于直线对称.判断正确.故选：ABD三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。13．若，，、，则.【答案】【解析】利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】且，，，，，因此，.故答案为：.14．已知，若函数的图像如图所示，则．【答案】【分析】由函数的图像可得出，，，由此即可求出一个周期内，再利用周期性得出答案.【详解】由图可知（同理），,解得：,此时，又函数过点，即，解得，取，所以，，，，，，，，，即，所以.故答案为：15．若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则．【答案】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点对称，可得出的表达式，结合的范围可求出的值.【详解】,将函数的图象向左平移个单位后，所得图象的函数解析式为，由于函数的图象关于点对称，则，得，，，.故答案为：.16．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间上恰有个零点得到，求得答案.【详解】由已知得：恒成立，则，，由得，由于在区间上恰有3个零点，故，则，，则,只有当时，不等式组有解，此时，故，故答案为：综合题：共6题，共计70分。17．在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得结果．（2）法一：由题意，利用诱导公式，计算求得结果；法二：根据，将已知等式化成含角的式子，再利用（1）中结果计算即可.【详解】（1）由得，又，所以，由题可知，所以，，则．（2）（法一）原式由（1）得，，，所以原式．（法二）18．已知函数（，）在上单调递增，且直线和为图象的两条对称轴．(1)求的解析式；(2)若函数，求的单调递增区间．【答案】(1)(2)（）【分析】（1）由题意可得可求出的值，再由时函数取得最大值可求出的值，从而可求出的解析式；（2）由三角函数恒等变换公式可得，由（），可求出函数的递增区间.【详解】（1）设的最小正周期为，则，得．由题意得（），得（），因为，所以．故．（2）由题意得，由（），得（），所以的单调递增区间为（）．19．高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，

(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.【答案】(1)时，达最大值(2)当时，达到最大值【分析】（1）由三角形为直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由点为半圆上一点，得到，，从而得到然后求解；（2）在直角中，利用等面积法得到，再在直角中，得到，从而求解.【详解】（1）因为三角形为直角三角形，，所以，在直角中，因为，所以.因为点为半圆上一点，所以，又因为，所以，所以，因为，所以当，即时，达最大值；（2）在直角中，因为，所以，因为，所以，又因为所以，在直角中，，所以，

，，所以当即时，达到最大值，答：当时，达到最大值.20．已知函数，．(1)当时，求的值域；(2)若满足，且在区间上单调递减，求：①的最小正周期；②方程的所有根之和．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再由的取值范围求出的取值范围，结合正弦函数的性质计算可得；（2）①依题意可得过点，即可得到，，再根据单调性得到，，最后由，即可求出的值，从而求出函数的最小正周期；②依题意可得或，由的范围求出的范围，令，则，分别求出、时方程的根，即可得解.【详解】（1）由题意，当，，当时，，所以，则，即的值域为；（2）①因为，因为且在区间上单调递减，所以过点，即，，所以，，又，，解得，，又，所以且，解得，综上所述可得，所以函数的最小正周期为；②由①可得，由，解得或，由于，所以，令，即，令，则，当时方程在上有两个根，记作，，且两根关于对称，所以，设方程的两根为，，则，所以，令，即，则当时，方程在上有三个根，，，则，，，设方程的三根为，，，则，所以，所以的所有根之和为．21．已知函数，且．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围和的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的图像关于点对称得出，即得函数解析式;（2）在区间上恰有3个零点转化为与在的图像上恰有3个交点求参数即可，再数形结合根据函数的对称轴即可计算求值【详解】（1）．由知，的图像关于点对称，所以，得．因为，所以，即函数．（2），当时，．函数在区间上恰有3个零点，令，则在上有3个不相等的根．即与在的图像上恰有3个交点，作出与的图像，如图所示，

由图可知，，且，所以．故的取值范围为的值为．22．已知．(1)当时，求的值；(2)若的最小值为，求实数的值；(3)是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，