2023年澳门四高校联合入学考试数学卷

第一部份逗择题。逗出每题之最佳答案。

1.若集合A/={*|#2—2#—820}，N={4|0</<6}，即JAlCN=()°

A.[-2,4]B.[-2,0)C.(0,4]D.(0,6)E.[4,6)

2.若多项式“为除以22—工一6,绘式卷31—2-M']43)=()°

A.-2B.0C.3D.7E.9

3.log9125xlog1217xlog253xlog1712=()。

i3

A.log*B.-C.-D.log335E.log1712

4.方程/—3/+4，/2—3]=12的解集()°

A.{-1}B.{2,-6}C.{-1,4}D.{4}E.{3}

5.已知Q^7常数且二次方程4Q2/2+2(Q+3)/+9=0只有一彳固^根，见JQ=()0

A-|B-1或|c.|33

Dn.一小E.任意^^

6.(2，^—7^)展^式中的常青攵项A()°

A.-8B.8C.-160D.160E.1

2

7.函塞攵f(①)=ax+4.T+1(a€肽卷常数)在^^(2,4)上邈增，即a的取值串自圉卷()。

L)B.(。1]°[_1^]Dj.oo)E.48)

flog2^,0<x<4i

8.M殳/(#)=<。不等式/(3—3同)+/(5)>0的解卷()。

[«-8z+17.x>4/

1

A1-1111

A--12<；r<l2B~6<X<6C-~4<X<4

1111

D.--<a;<-E.—-<x<-

3322

2/13

9.一直立的［ffl柱形水箱的内半彳空卷3米，高悬8米，目前水深5米。如果招一倨1半彳受卷2米的球醴

放入水箱内，且球飕完全浸入水中，期水位符上升（）米。

,2「3「，-16l32

A.-B.-C.1D.—E.—

322727

10.在等差数列中，第7项是80及第16项是26，即第34（）。

A.-6B.-82C.-88D.-198E.-204

11.已知黑占4（3,—8）和8（—7,4）。通谩的中黠且垂直於品一4g+14=0的直^方程卷（）。

A.4x+3y+14=0B.3rr+4y+14=0C.3a:—4y-14=0

D.4c-3g+14=0E.4c+3g—14=0

y2I9

12.曼曲^^一3=1（a,6〉0）的离隹心率是3,即一^的最小值悬（）。

azb2a

A.2B.272C.2，5D.4E.8

9

13.言殳力和JB是第二象限中的角，且sin4=7及sinB=—即Isin(4+B)=()。

55

人-6-4x/21口13C.史

A.B.

252525

--12-2V21l12+2^/21

D.-----------------E.--------------

2525

7T

14.右圈所示函数v=asinfj：——)+6的8］像，其中Q和

0

4*

常数，兄1()。

\/.

A.a=—4及b=4B.a,——2及b=2

C.a=2及b=—2D.a=4及b=—4

V一上,

E.以上皆非T

15.Xi4(—2,3)境原、黠0川斛寺垄十方向旋穗90°到黠B黠C典黑占B^於*。黠c向下平移三

他)军位到黠。，划。黠坐才票卷()。

A.(-3,-1)B.(-3,0)C.(-4,0)D.(2,0)E.(3,-5)

3/13

第二部份解答题。

1.有一枚不均匀的硬人其正面朝上的概率是:。

(a)^^十次投揶此硬整，求攫得最多一次正面朝上的概率。(3分)

(b)求在第十次投掷才取第一次狸得正面朝上的概率。(2分)

(c)求在第十次投揶取得第三次攫得正面朝上的概率。(3分)

J

2.在右题中，抛物^.0:7=旬的焦黑占悬下。幺坐谩焦黑占尸斜\,

率卷'的直舆抛物.糠。的交黠卷4和8。另外一脩\//

斜率悬1的直^G舆抛物的交黑占卷。和。，舆"14\/

的交黠卷川。

(a)求焦黑占F的坐才票。(2分)

(b)求^段48的辰度。(3分)

(c)若|。必=3|。必，求^段。。的畏度。(3分)

ra+1

3.已知Sn=3-2k是等比数列｛时｝吟i的前几项和，造桂卜e股悬常重攵。

(a)求人,及an0(3分)

(b)t^bn=—+log2，求6Tl的前n项和以。(3分)

9

(c)txCn=—，求f[n｝=一54+cn取得最大值B寺n的值。(2分)

Q/i

4.已知函数f(x)—\/3sin(2wx)—2cos2(wx)的最小正遇期37r°

(a)求/(乃的表逵式。(4分)

(b)在中，若/(C)=0，且2sin2B=cosB+cos(4-。)，求sin4的值。(4分)

31+2y-13>0

a;<5

）2.T-2y+3>0

(a)重出满足以上不等式幺且的显域。（2分）

(b)言殳z=幺，求n的取值窜自8)°（3分）

X

(c)=x2+y2，求力的最小值°（3分）

4/13

参考答案

第一部份逗择题。

题目褊虢最佳答案

1E

2D

3C

4C

5D

6C

7D

8A

9E

10B

11A

12E

13A

14B

15E

5/13

第二部份解答题。

1Q

1.(a)速^投擀十次硬整，十次都是反面向上的概率是(1--)10=(-)10。^^投揶十次硬整，网]

1153

好出现一次正面向上的概率是—/1°-1=](/9。因此，最多一次正面向上的概率是

,3.5/3、913.3.

(一10)+一(一)=—x(一)99。

1139

(b)前九次投揶都是反面向上且第十次投揶是正面向上的概率是(1--)10-1x-=—c

444iU

(c)前九次投揶中刚好出现雨次正面向上的概率是9。2(；产(1-：)9-2。因此，在第十次投揶取得

44

111Q

第三次正面向上的概率是9c2.)2(1-/2*=()9。

4444

2.(a)焦黑占F的坐檄卷(0,1)。

3

(b)直Li的方程悬0=工立+1，耳养立直Li和抛物V的方程消去燮量y得/=+4、

求解得人=-1或4。黑占力和黑占6的坐才票分别卷4(-1和8(4,4)。於是，我俨得到|43|=

4

25

--O

4

(c)言殳直^L?的方程卷y=x+t9言殳黑占C和星占D的横坐本票分别卷力1和工2°耳第立直^Li和抛物

。的方程消去燮量g得炉―物一4£=0。由章连定理得的+/2=4。又因卷|。八〃|=3\CM\，

所以a；2=—3g。迤一步，求得Xi——2和/2=6。因此\CD\—\/12+1|.T2—x1\—8\/2°

3.(a)由题意得到Qi=9—2k，出=$2—8=27—9=18及。3=S3—S2=54。因卷｛an｝n>1

卷等比重攵列，於是Q1Q3=彳他而求得首项Qi=6，公比g=3以及k=3/2°因此=

QixqnT=2x3n°

(b)因点z=,)丫，>.十】咤2(2x3")="+1+nlog23，所以乙=彳(1一瓦)+n+

n(n+1),八

log23。

(c)因卷d=3。，所以f(n)=-5(3-产+3f=-5(5一士产+之。因此富几=2畤，函数

61U2U

4

于⑺取得最大值£。

ol

4.(a)由二倍角公式可得/(c)=x/^sin2wz—(l+cos2wz)，於是/(c)=sin2wrr—：cos2u?z)—

1=2sin(2wx—8)—1，其中sin9=(以及cos0——°因此，9=：+2k不°因悬｝fix)的

226

27r227r

最小正遇期悬丁=3万，所以2?。=K，优而/(r)=2sin(-rr--)-1°

Zw336

6/13

27r27rlTT27rTT

(b)由/(C)=2sin(-C--1=0得sin(-C-&)=弓。因卷--<-C--<不，所以

30362o362

//

J^TT"TT-^TT*TT-

-C——-=二，优,而C=2及4+8=1。又因卷2sin2B—cosB+cos(A—j)，所以

366222

2sin2B=sinA+sinA,即sin2B=sinA，优而有1—sin2A=sinA°因此sinA=——-——°

5.(a)

1r,「

/Kx\

•1>•\!T»***>

I

(b)〃立悬速结黑占PQ,u)和原黑占的直的斜率。求解三脩直^的交黑占可得4(2,7/2),3(5,13/2)和

。(5,—1)。那麽富黠P在给定国域内建勤畤>z的最小值可以在黠。取得，最大值可在黠A

虑取得，因此—1/5<2<7/4°

(c)t卷国域中的黑占。(立,沙)和原黑占^距蹄的平方。距雕原黑占最近的黑占D在直^3x+2y-13-0

上，且0。垂直於^直^。因此，直、糠。。的斜率卷2/3，方程卷？/=2力3。直^.0。舆

直3①+2y—13=0的交黠境;(①⑼=(3,2)，因此£在(x,0)=(3,2)取得最小值13。

7/13

PartIMultiplechoicequestions.Choosethebestanswerforeachquestion.

1.LetM={x\X2—2rr—8>0}andN={/[0<c<6},thenMQN=).

A.[-2,4]B.[-2,0)C.(0,4]D.(0,6)E.[4,6)

2

2.Ifwedividethepolynomial/(.T)byx—z—6andtheremainderis3c—2,then/(3)=().

A.-2B.0C.3D.7E.9

3.log9125xlog1217xlog253xlog1712=(

A.logy3BcD.log35E.log12

44317

4.Thesetofsolutionsfortheequationx2—3x—3/=12is(

A.{—1}B.{2,-6}C.{-1,4}D.{4}E.{3}

5.Letabeaconstantandsupposethequadraticequation4：a2x2+2(a+3)立+9=0hasexactlyonereal

solution.Thena=).

3

B.—1or-c

-I2-l

33

D.-7°r5E.anyrealnumber

(

6.Theconstanttermintheexpansionof2y/x—is().

A.-8B.8C.-160D.160E.1

7.Thefunction/(x)=ax2+4a;+1(a€Risaconstant)isincreasingontheopeninterval(2,4).Thenthe

rangeofais().

B1111r1

A.[J。C.D.E.

-(百2:2.2",25

log4,0</<4

8.Let/(z)2.Thesolutionoftheinequality—3|a;|)+/(5)>0is()・

x2—8x+17,rr>4

11111

<X<B<3；<C.-</<

12_6644

1111

D.—-<x<-E.--<x<-

oo

8/13

9.Anuprightcylindricalwatertankhasaninnerradiusof3metersandaheightof8meters,andthecurrent

waterdepthis5meters.Ifaspherewitharadiusof2metersisplacedintothewatertankandthesphereis

completelyimmersedinthewater,thewaterlevelrisesby()meters.

c16

BD

|C.1-27Ell

10.Inanarithmeticsequence,the7thtennis80andthe16thtermis26.Thenthe34thtermis(

A.-6B.-82C.-88D.-198E.-204

11.LetAandBbethepoints(3.—8)and(—7.4)respectively.Anequationofthelinepassingthroughthe

midpointofABandperpendicularto3/—4y+14=0is().

A.4rr+3y+14=0B.3/+4g+14=0C.3x—4y—14=0

D.—3y+14=0E.+3y—14=0

"4u+N

12.Iftheeccentricityofthehyperbola会一泞=1(a,b>0)is3,thentheminimumvalueof——--is().

A.2B.20C.2^/3D.4E.8

24

13.LetAandBbeanglesinthesecondquadrantsuchthatsinA=-andsinB=-.Thensin(A+B)=

55

1).

-6-4721B13

B25

-12-2v^l12+2客

D—2^-25-

14.Therightfigureshowsthegraphofy=asin(£——)+6,where

6

aandbareconstants.Then().

A.Q=—4and6=4B.a=—2and6=2

C.a=2andb=—2D.Q=4andb=—4

E.noneoftheabove

15.Point4(—2,3)isrotated90°clockwiseabouttheoriginOtogetpointB.PointsCandBaresymmetrical

aboutthe/-axis.PointCistranslateddownwardthreeunitstogetpointD.Thenthecoordinatesofpoint

Dare().

A.(-3,-1)B.(-3,0)C.(-4,0)D.(2,0)E.(3,-5)

9/13

PartIIProblem-solvingquestions.

1.Acoinisunfairthattheprobabilityofaheadfacingupis

(a)Findtheprobabilityofobtainingatmostoneheadfacingupin10successivetosses.(3marks)

(b)Findtheprobabilitythatthe10thtosswillbethefirstofobtainingheadfacingup.(2marks)

(c)Findtheprobabilitythatthe10thtosswillbethethirdofobtainingheadfacingup.(3marks)

2.Intherightfigure,theparabolaP:x2=4yhasitsfocusF.The

3

straightlineL\ofslope-passingthroughthefocusFintersects

theparabolaVatpointsAandB.AnotherstraightlineL2of

slope1intersectstheparabolaPatpointsCandD,andintersects

they-axisatpointM.

(a)FindthecoordinatesofthefocusF.(2marks)

(b)FindthelengthofsegmentAB.(3marks)

(c)If\DM\=3\CM\9findthelengthofsegmentCD,(3marks)

n+1

3.LetSn=3—2kbethenthsumofthegeometricsequence{an}n>1.HerekeIRisaconstant.

(a)Findkandan.(3marks)

(b)Letbn=—+log2an.FindthesumTnofthefirstntermsforthesequencebn.(3marks)

Qn

2,

(c)LetCn=—.Findnwhere/(n)=—5猿+cnobtainsitsmaximumvalue.(2marks)

4.Theminimalpositiveperiodofthefunction/(rr)=\/3sin(2wrr)—2cos2(wrr)is37r.

(a)Findtheexpressionof/(/).(4marks)

(b)In/\ABC,if/(C)=0and2sin2B=cosB+cos(4—C),findthevalueofsinA.(4marks)

3J;+2y-13>0

x<5

{2x-2y+3>0

(a)Sketchtheregionsatisfyingtheabovesystemofinequalities.(2marks)

y

(b)Let.Findtherangeofz.(3marks)

x

(c)Lett=x2+y2.Findtheminimumvalueoft.(3marks)

10/13

SuggestedAnswer

PartIMultiplechoicequestions.

QuestionNumberBestAnswer

1E

2D

3C

4C

5D

6C

7D

8A

9E

10B

11A

12E

13A

14B

15E

11/13

PartIIProblem-solvingquestions.

10

(a)Ifacoinistossed10timesconsecutively,theprobabilityofgettingtails10timesis(1—-^)10

1.(-)

Theprobabilityofgettingexactlyoneheadintenconsecutivetossesofacoinis—1)10-1_

|(1)9.Therefore,theprobabilityofatmostoneheadupis(|)10+|(|)9=/x(|)9.

39

(b)Theprobabilitythatthefirst9tossesaretailsandthe10thtossisheadis(1—xT=

44410,

(c)Theprobabilityofgettingexactlytwoheadsinthefirst9tossesis9(72(-)2(1—-)9-2.Therefore,the

1113

probabilityofgettingathirdheadonthetenthtossis9(72(-)2(1--)9-2x-=(^)9.

2.(a)ThecoordinatesofthefbcusFis(0,1).

3

(b)TheequationofthestraightlineLiisy=-x+1.CombiningtheequationsofthestraightlineLi

andtheparabolaP,wecangetJ:2=3rr+4.Solvingthequadraticequation,onehas%=—1or4.

ThenthecoordinatesofpointsAandBare.4(—1,-)andJ3(4,4),respectively.Thenaccordingto

25

thedefinitionofparabolas,wehave\AB\=­.

(c)SupposetheequationofthestraightlineL2isy=x+t.Supposethe/-coordinatesofpointsCand

Dareand%respectively.CombiningtheequationsofthestraightlineL?andtheparabolaV,

2

wecangetrr—4rr—=0.UsingWeda'sTheorem,Xi+x2=4.Since\DM\=3\CM\,wehave

2

x2=—3xi，Furthermore,wecangetx1——2,rr2=6.Thus,\CD\=\/l+1|^4一的|=8A/2.

3.(a)Fromthequestion,weget的=Si=9—2k,=S2—Si=27—9=18andQ3=S3—S2=54.

Since{an}n>iisageometricsequence,wehave=Q於whichimpliesthatthefirstterm=6,