2023届新高考开学数学摸底考试卷14

2023届新高考开学数学摸底考试卷13

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

I.设集合A=｛尤|J?>4),3=卜|%2_x<3。｝,则AB=

A.(-5,-2).(2,6)B.(-2,2)

C.(一一5)(6收)D.(2,+8)

(一)2

-7

A.1B.2C.-iD.-2i

3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名

医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有

A.280种B.350种C.70种D.80种

4.一球。内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC,过C作与球。相切的平面a,则

直线AC与平面a所成的角为

A.30°B.45°C.15°D.60°

5.现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴,

5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学

的概率是

1135

A.—B.—C.—D.一

4288

6.若定义在R上的奇函数兀v)在(0,+8)单调递增，且/(-5)=0,则满足0Xx)<0的解集

是

A.-5)1(5,+oo)B.(—，―5)(0,5)

C.(-5,0)(5,4w)D.(-5,0)(0,5)

7.已知P是边长为1的正方形ABC。边上或正方形内的一点，则AR8尸的最大值是

A.—B.2C.1D.一

42

8.直线/:y=丘+人是曲线/(x)=ln(x+l)和曲线g(x)=111(6与)的公切线，则/?=

Ie

A.2B.—C.Iri/D.ln(2e)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y=±2x,则双曲线E的

离心率为

A.---B.V5C.巫D.半

23

10.如图是函数/(x)=Asin(〃zx+0)(◎>())的部分图象，则

(第10题图)

IJIiJT

A./(x)=2sin(-x+—)B.f(x)=2sin(—x+—)

1JID.f(x)=2cos(^x)

C./(x)=-2sin(-x--)

11.已知曲<0,则

、、,ba

A.a2+h2>2ahB.ci~+h~<C.a(a—b)>0D.—I—22

ab

12.已知随机变量X的取值为不大于〃(〃eN*)的非负整数，它的概率分布列为

X0123n

P

PoP\P2APn

其中Pi(i=0,1,2,3,,〃)满足,且P0+P1+P2++p“=l.定义由X生成的

函数/(幻=Po+P1X+P2/+23/++P/X1++p„x",g(x)为函数/(x)的导函数，

E(X)为随机变量X的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,

3,4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X,此时由X生成的函数为/(x),

则

A.E(X)=g(2)B.工⑵=万C.E(X)=.?(1)D.工(2)=丁

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

%2y2

13.椭圆七：一+乙=1的左、右焦点分别为耳、F,,过原点的直线/与E交于A,B两

43

点，AF；、BF2都与x轴垂直，则1481=.

14.将数列｛2"｝与｛2〃｝的公共项从小到大排列得到数列｛%｝,则｛〃“｝的前10项和为

(用数字作答).

15.已知a、£为锐角三角形的两个内角，sina=3?,sin(a+£)=等，则

COSip=.

16.一半径为R的球的表面积为64万，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则

该长方体体积的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

I।万

在①cos8=-,②cosC=-，③cosC=——

222

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中

的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在非直角△ABC,它的内角ARC的对边分别为。力,c,

且sin8(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,h=\,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(12分)

已知数列｛6｝是正项等比数列，满足物+q=%，q+4=L

(1)求｛q｝的通项公式;

求数列(」一｝的前〃项和I.

（2）设4=1og2（3a“）,

19.(12分)如图，三棱锥P-ABC中，

CDB

E

A

AC=BC=PC=PB=2,ZACB=120，平面P3C，底面ABC,D，E分别是BC，AB

的中点.

（1）证明：PC平面ABC；

（2）求二面角尸一比一8的正切值.

（第19题图）

20.（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了

100件产品作为样本检测某项质量指标值：该项质量指标值落在［25,30）内的产品为优等

品，每件售价240元；质量指标值落在［20,25）和［30,35）内的为一等品，每件售价为180元;

质量指标值落在［35,40）内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁.每

件产品生产销售全部成本50元.

下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图

（第20题图）

下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表

质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产

品的利润X（元）的期望的估计值.

（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费

用为4（单位：元），求4（元）的分布列.

21.(12分)已知函数++tz>0.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)讨论/(x)的零点的个数.

22.(12分)已知抛物线E的顶点在原点，焦点厂(0,9(，>0)到直线/：y=x—2的距

离为还，2(尤0，%)为直线/上的点，过尸作抛物线后的切线9、尸可,切点为知、N.

2

(1)求抛物线后的方程；

⑵若。(3,1),求直线MN的方程；

(3)若P为直线/上的动点，求I"尸|・|心|的最小值.

2023届新高考开学数学摸底考试卷13

解析及评分参考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|f>4卜B={X|X2-X<30},则A

A.(-5,-2)(2,6)B.(-2,2)C.(一8,—5)(6,4w)

D.(—co,—2)(2,4-oo)

2--B

f

A.1B.2C.-iD.-2i

3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名

医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有B

A.280种B.350种C.70种D.80种

4.一球。内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC,过。作与球。相切的平面a,则

直线AC与a所成的角为D

A.30°B.45°C.15°D.60°

5.现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴,

5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学

的概率是A

1135

A.-B.-C.-D.一

4288

6.若定义在R上的奇函数火x)在(0,+8)单调递增，且/(-5)=0,则满足犷(x)<0的解集

是D

A.(«,—5)i(5,-H»)B.(3，―5)j(0,5)C.(-5,0)L(5,+oo)

D.(-5,0)(0,5)

7.己知P是边长为I的正方形ABC。边上或正方形内的一点，则ARBP的最大值是C

A.—B.2C.1D.一

42

8.直线/:丁=丘+匕是曲线/(x)=ln(x+l)和曲线g(x)=ln(e2_x)的公切线，则/?=c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y=±2x,则双曲线E的

离心率为AB

A石R由「5百3石

A.B•V3C.----D.---

235

10.如图是函数/(x)=Asin(©x+0)(刃>0)的部分图象，则BCD

2

1

+万

A./(x)=2sin(-x+—)2一2-

1XXH

1R1X

c./(x)=-2sin(-x--)(2-7

11.已知曲<0,贝ACD

,,,,ba

A.a2+b2>2abB.a2+b2<2abC.a(a-h)>0D.-+->2

ab

£(X)为随机变量X的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,

3,4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X,此时由X生成的函数为£(x),

则CD

15225

A.颐X)=g(2)B.<(2)=5C.£(%)=(?(1)D./；(2)=--

解：6c中，由sinB(1+2cosQ=2sinAcosC+cosAsinC

得sinB+2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosC

=sinB+sinAcosC...............................................................................

...............1分

(2sin5-sinA)cosC=0............................................................................................................

...2分

・・・ZVIBC不是直角三角形

，cosCw()

，2sin5=sinA.................................................................................................................3分

即。=2b................................................................................................................4分

v/?=i

:・a=2................................................................................................................6分

1Ji

选①：由cos8=不，及2<B<TI得3=工.......................................7

23

分

由=a得sinA=G>1.....................................................................................9分

sinBsmA

不合理，故△ABC不存在..........................................................10

分

选②：由cosC='

2

得

c=y/a2+hr-2abcosC=6......................................................................................

.......8分

•*-b2+C2=a2................................................................................................................9分

，A为直角，不合题设，故△ABC不存在..........................................10

分

选③：由cosC=

2

得

c=\ja2+b2-2abcosC=y5-2\/2..................................................................................10

分

18.（12分）

已知数列｛4,｝是正项等比数列，满足2a3+4=%，4+4=1・

（1）求｛《,｝的通项公式；

（2）设f.=log2（3a“），求数歹"」一的前〃项和T“.

解：（1）设正项等比数列｛%｝的公比为夕＞。

2

[2a3+a4=a5J2%q+a4=a"a,

由«，得q解得q3...............2分

L4+%=l[q+qq=l[q=2

所以{«„}的通项公式

〃GN*.......................................................................................4分

n1

（2）tn=log2（3a„）=log22=〃一1....................................................................6分

11_1_1

皿+2〃（〃+1）nn+1...........................................................................................

分

I

所以《的前八项和:

J〃+%+2,

F八11111+d，）=」L......................................................

7；,+

nn+1n+1

..............12分

19.（12分）如图，三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC=PB=2,

E

A

ZACB=120,平面PBC_L底面48C,D,E分别是8C，AB的中点.

(1)证明：P0_L平面ABC；

(2)求二面角尸—CE—3的正切值.

(1)证明：•••尸。=03,。是中点

J.PDA.BC............................................................1分

•.•平面PBCJ_底面ABC,POU平面PBC,平面尸底面A8C=3。

平面ABC....................................................................4分

(2)解：如图，取CE中点尸，连接。尸，PF

则OF〃A3..................................................................5分

；AC=BC=PC=PB=2,E是A3的中点，ZACB=\20

.,.CE1AB...............................................................................6分

BE=6，PD=V3

ADFICE,...................................................................................7分

DF=—

2

平面ABC

ACE1PD,PDDF=D

CE1平面P。厂.......................................................8分

--CE1FP......................................................................................................9分

NPFD为二面角P-CE-B的平面角.........................................10

分

在RMDF中,由/陞口=面=境=2.................................口分

T

•••二面角尸—CE—8的正切值为2........................................................................................12

分

20.（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了

100件产品作为样本检测某项质量指标值：该项质量指标值落在［25,30）内的产品为优等

品，每件售价240元；质量指标值落在［20,25）和［30,35）内的为一等品，每件售价为180元;

质量指标值落在［35,40）内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁.每

件产品生产销售全部成本50元.

下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图

频率

下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表

质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产

品的利润X（元）的期望的估计值.

（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费

用为1单位：元），求欠元）的分布列.

解：（1）由题设知，-50,70,130,190...............................1分

X的分布列为

X-5070130190

P0.14().180.280.4

........................................................3分

设备升级前利润的期望值为

£(X)=0.14x(-50)+0.18x70+0.28x130+0.4x190=1184分

:•升级前一件产品的利润的期望估计值为118元....................5分

(2)升级后设患者购买一件合格品的费用为〃(元)

则"=120,180,240...................................................6分

则J=240,300,360,420,480.................................10分

PC=240)=：x，

6o36

P(^=300)=-x-=-

P(”360)=2X，XLLL』

263318

P(^=420)=2x|x1=i

=480)==l

则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为

240300360420480

p15\_

3691834

...................................................12分

21.(12分)已知函数/(》)=近*+/-2©+0¥)+。，a>0.

(1)讨论函数的单调性；

(2)讨论/(X)的零点的个数.

解：(1)/(x)=xer+ax2-2(e'+ax)+a

f'(x)=(x—l)(e*+2a)1分

。20时％<1时/'(》)<0，*>1时/'(幻>0.......................3分

时,f(x)的减区间是(f0,l),增区间是(1,+8)....................4分

(2)①a>0时，•.•/⑴=0且/(X)的减区间是(一8,1),增区间是(1,+8)

•••/(I)=一e<0是/(x)的极小值，也是最小值..........................5分

/(2)=a>0,........................6分

取6<0且力<ln@......................7分

2

则

加―+9-心件2)+杵1)2苧的3)>。..................

...8分

/(x)在3,1)和(1,2)上各一个零点...............................9分

②a=()时，/(x)=。一2)靖只一个零点x=2..........................10分

综上，a>0时，/(x)有两个零点；.................................11分

。=0时，/(x)一个零点.........................................................12

分

22.(12分)已知抛物线E的顶点在原点，焦点厂(0,9(〃>。)到直线/：丁=*-2的距

离为主叵，P(Xo，y°)为直线/上的点，过p作抛物线