2023 数学浙教版新中考 考点25 与圆有关的计算(解析版)

考点25与圆有关的计算

考点总结

1.圆的周长公式：C=2n以半径为心.

圆的面积公式：(半径为必.

77JI

2.在半径为衣的圆中，n的圆心角所对的弧长，的计算公式为：7=-^-.

loU

、77JI7(?

在半径为丹的圆中，"的圆心角所对的扇形(弧长为1)面积的计算公式为：S扇形

360

1

=?R.

3.圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高.

!

圆柱侧面积公式：5'BH«8=2JtrA；圆柱全面积公式：5«4全=2口”;+2"？(其中圆柱的

底面半径为r,高为/?).

4.圆锥的侧面积和全面积：

圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为1,底面半径为n则这个扇形的半

径为1,扇形的弧长为2“r.

(1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧=五7工

(2)圆锥的全面积公式：S圆锥全=五产+mr).

(3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：360°.

5.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心.外接圆的半径叫做正多边形的半径，

正多

边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正

多边

形的边心距.作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形.

6.不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的

图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有：

(1)直接用公式求解.

(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.

(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.

(4)将所求面积分割后,利用旋转，将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.

真题演练

一、单选题

1.（2021•浙江衢州•中考真题）已知扇形的半径为6,圆心角为150。.则它的面积是

（）

3

A.-71B.37rC.5兀D.157r

2

【答案】D

【分析】

已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式5="火直接计算即可.

360

【详解】

故选：D

2.（2021•浙江•中考真题）如图，已知在矩形中，AB=1,BC=6,点尸是AD

边上的一个动点，连结点C关于直线的对称点为G，当点尸运动时，点G也

随之运动.若点尸从点A运动到点。，则线段CG扫过的区域的面积是（）

D.27r

【答案】B

【分析】

先判断出点。在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直

径的圆弧上运动，找到当点尸与点A重合时，点P与点。重合时，点G运动的位

置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：设BP与CG相交于Q,则/BQC=90。，

，当点尸在线段AO运动时，点。在以BC为直径的圆弧上运动,

延长CB至UE,使BE=BC,连接EC,

•••aa关于尸8对称，

，ZECiC=ZBQC=90°,

...点Ci在以2为圆心，3c为直径的圆弧上运动，

当点尸与点A重合时，点Ci与点E重合，

当点P与点。重合时，点Ci与点厂重合，

NPBC=30°,

：.ZFBP=ZPBC=30°,CQ=-BC=—,BQ=s/3CQ=~,

222

ooo

AZFBE=180-30-30=120°,SBCF=gcc、xBQ=当义+=手,

线段cc,扫过的区域的面积是⑵乃x（6）”=兀+9.

360BCF4

故选：B.

3.（2021•浙江瓯海•三模）如图，已知扇形0A3的半径为6cm,圆心角的度数为

120°,若将。4,05重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为（）

B

A.2cmB.3cmC.6cmD.2^3cm

【答案】A

【分析】

这个圆锥的底面圆的半径是利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长

等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2m厂=与等,然后解关于r的方程即可.

lol）

【详解】

解：设这个圆锥的底面圆的半径为，。相，

口工/口_

1rte331207rx6

根据题思得2mr=——--,

lot）

解得r=2,

即这个圆锥的底面圆的半径是2cm,

故选：A.

4.（2021•浙江衢江•一模）如图，正方形A5C。的边长为8,以点A为圆心，AO为半

径，画圆弧OE得到扇形ZME（阴影部分，点E在对角线AC上）.若扇形ZME正好

是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）

【答案】D

【分析】

根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可.

【详解】

解：设圆锥的底面圆的半径为厂，

根据题意可知：

AD=AE=S,NDAE=45°,

底面圆的周长等于弧长:

.-45x»x8

••27rr=-----------

180

解得-1.

所以，该圆锥的底面圆的半径是1

故选：D.

5.（2021•浙江上城•二模）如图，在R0A3C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4.把

AABC分别绕直线AB,3c和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作Si,S2,

S3,则表面积最大的是（）

A.SiB.S2C.S3D.无法确定

【答案】A

【分析】

根据△ABC分别绕直线AB,BC和AC旋转一周，可以分别得到一个圆锥、一个圆锥

和两个共底面的圆锥组合，再根据圆锥的表面积计算公式：圆锥的表面积=底面积+圆

锥的侧面积分别计算即可，最后根据结果即可比较大小.

【详解】

解：ZABC=90°,AB=3,BC=4,

AC=V32+42=5-

AA5c绕直线AB旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为BC=4,此圆锥的表面

积为底面圆面积加扇形表面积，即$="4?+乃x4x5=36万；

AABC绕直线3C旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为AB=3,此圆锥的表面积

为底面圆面积加扇形表面积，即邑=万*3?+万x3x5=24万；

12

AABC绕直线AC旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为不，此圆

锥的表面积为两个扇形表面积之和，即,=%X£X3+"X]X4=?.

•aiSj〉iS2>^^3.

故选：A.

6.（2021•浙江椒江•一模）如图，ABC内接于。O,/5=65。,/。=70。.若

BC=3日,贝!J8C的长为（）

A.L口3C.|万

B.一71D.3叵兀

42

【答案】B

【分析】

连接OB,0C,可证得A08C是等腰直角三角形，求出02,利用弧长公式即可求得

结果.

【详解】

解：连接。8,0C.

65?70?45?,

:.ZBOC=90°,

BC=3贬,

OB=OC=3,

gi/d90s・33

••BC的长为=j万，

loUZ

故选：B.

7.（2021•浙江兰溪•一模）用一张半径为20cm的半圆形纸片做一个圆锥的侧面，则应

该配一个面积为多少的圆做它的底面（)

A.400;rcm2B.lOO^cm2C.20^cm2D.lO^cm2

【答案】B

【分析】

由题意，该圆锥底面圆的周长即为半圆形纸片的弧长，由此可先求出半圆形的弧长,

从而得到底面圆的半径，即可求出面积.

【详解】

半径为20cm的半圆形纸片的弧长为：/=^x2^-x20=20/r,

即：底面圆的周长应为20万，

；•底面圆的半径为：”等=10cm,

底面圆的面积为：S=^xl02=100/Tcm2,

故选：B.

8.（2021•浙江定海•一模）如图，六边形ABCD所是正六边形，点P是边A户的中点,

PC,尸。分别与8E交于点M,N,贝！IS^BM：S^c»的值为（）.

【答案】D

【分析】

设正六边形的边长为a,MN是△尸CD的中位线，求出APBM和的面积即可.

【详解】

解：设正六边形的边长为a,连接AC交BE于〃点，如下图所示：

正六边形六边均相等，且每个内角为120°,

.♦.△ABC为30。，30°,120。等腰三角形,

：.BE±AC,S.AC=2AH=2?—瓜,且B//=色，

222

'：AF^CD,尸为AF上一点,

2

AS™L«rn=Smcn=-CD?AC-2My/3a=—2a,

MN为4尸CD的中位线，

.,.MN=—CD=—a,

22

由正六边形的对称性可知：BE=2BH+CD=2?-aa=2a,

2

13

：.BM=EN=(BE-MN)12(2a--a)?2-a,

24

.„_1„1A,|3y/3a_3^3

=a2

•"^LPBM--BM1AH万仓％~2T~\^，

-c.e=也2_3

"8MLpc.国§，

故选：D.

9.(2021•浙江东阳•一模)将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的ABC,点O

是AC边上一点，沿线段80剪开，展开后得到一个正八边形，则点O应满足

()

①②

A.BDLACB.AD=ABC.ZADB=G0°D.AD=DB

【答案】B

【分析】

根据折叠的性质易得/BAC=45。，然后由正多边形的性质可进行排除选项.

【详解】

解：由题意得：ZBAC=45°,

.••沿线段8。剪开，展开图即为八边形，

若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD,为半径即可，

/.AD=AB-,

故选B.

10.（2021•浙江绍兴•一模）设边长为“的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的

半径分别为〃、r、R,则下列结论不亚确的是（）

A.h=R+rB.R=2r

【答案】C

【分析】

将图形标记各点，即可从图中看出长度关系证明A正确，再由构造的直角三角形和30。特

殊角证明B正确，利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D.

【详解】

如图所示，标上各点，A。为R,OB为r,AB为6,

从图象可以得出AB=AO+OB,即〃=R+r,A正确;

•••三角形为等边三角形，

ZCAO=30°,

根据垂径定理可知NACO=90。，

.*.AO=2OC,即R=2r,B正确；

在RSACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2,即改=［；。］+/,

由B中关系可得：（24解得厂=半〃，则R=

所以C错误，D正确;

故选：C.

二、填空题

11.（2021•浙江衢州•中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点

F,则NAFE的度数为.

【答案】72。

【分析】

首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,然后利用三角形内

角和定理得/BAC=/BCA=/ABE=/AEB=（180。—108。）+2=36。，最后利用三角形

的外角的性质得到NAFE=NBAC+NABE=72。.

【详解】

:五边形ABCDE为正五边形，

；.AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=1O8°,

AZBAC=ZBCA=ZABE=ZAEB=（180°-108°）+2=36°,

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°,

故答案为72°.

12.（2021•浙江台州•中考真题）如图，将线段绕点A顺时针旋转30。，得到线段

AC.若48=12,则点B经过的路径BC长度为.（结果保留兀）

【答案】2乃

【分析】

直接利用弧长公式即可求解.

【详解】

30^-12

解：l=271,

BC180

故答案为：27r.

13.（2021•浙江宁波•中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文

化遗产之一.如示意图，AC,5。分别与。相切于点C,D,延长AC8。交于点

P.若/尸=120。，二。的半径为6cm,则图中CO的长为cm.（结果保留"）

【答案】2万

【分析】

连接OCOD,利用切线的性质得到/OCP=/a）P=90。，根据四边形的内角和求得

ZCOD=60°,再利用弧长公式求得答案.

【详解】

连接。C、0D,

•.•AC,8。分别与O相切于点C,D,

：.NOCP=NODP=90°,

,/ZP=120°,ZOCP+Z.ODP+ZP+NCOD=360°,

二/COD=60。，

•*-CD的长=6'/=④（cm）,

lot）

故答案为：2%.

14.（2021•浙江温州•中考真题）若扇形的圆心角为30。，半径为17,则扇形的弧长为

【答案】上17兀

6

【分析】

根据弧长公式上震求解即可.

lot）

【详解】

;扇形的圆心角为30。，半径为17,

・士307rxi717

••扇形的弧长=一—一.

lot)O

.,17

故答案为：

0

15.（2021•浙江嘉兴•中考真题）如图，在AAfiC中，NB4c=30。，ZACB=45°,

AB=2,点P从点A出发沿48方向运动，到达点5时停止运动，连结CP,点A关于

直线CP的对称点为4,连接4C,A,P.在运动过程中，点4到直线A3距离的最

大值是;点尸到达点8时，线段4P扫过的面积为.

【答案】誓^11+g卜1一班

【分析】

（1）通过分析点4的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解；

（2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解

【详解】

解：（1）由题意可得点4的运动轨迹是以点C为圆心，C4为半径的圆上，

二,点P从点A出发沿AB方向运动，到达点8时停止运动，ZACB=45。，点A关于直线

CP的对称点为4,

NAC4最大为90°

当C4_LAB时，点4到直线AB的距离最大，如图

过点B作BE±AC

：NBAC=30。，ZACB=45°,AB=2,

在放UBE中，BE=LAE=6,

在我公BCE中，BE=CE=1

：.CA'=CA=s/3+l

XVCAf±AB

.•.在RfAACP中，=

22

：.A'F=A'C-CF=^^

2

即点4到直线A3距离的最大值是无出；

点尸到达点3时，线段4P扫过的面积为：

S扇形⑷CA_2S&ABC=_2xgX（指+l）xl=fl+%一1一石

三、解答题

16.（2021•浙江金华•中考真题）在扇形A03中，半径。4=6,点尸在04上，连结

PB,将03尸沿尸5折叠得到O'BP.

图1图2

（1）如图1,若/。=75。，且30,与A2所在的圆相切于点B.

①求/AP0,的度数.

②求AP的长.

（2）如图2,灰7与AB相交于点O,若点。为AB的中点，支PDH0B,求AB的

长.

1977

【答案】（1）①60。；②6-2后；（2）—^―

【分析】

（1）根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角

度；求AP的长，先连接OO',先在中，求出OQ；再在我"。尸。中，求出

OP即可得到答案；

（2）要求A2的长，扇形的半径已知，就转化成求ZAOB的度数，连接00,通过条

件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180。，建立等式求出NAO2,最后

利用弧长的计算公式进行计算.

【详解】

解：（1）①如图1,30,为圆的切线.1/OB。=90。.

由题意可得，NO'BP=/OBP=45。,NO'PB=NOPB.

ZOPB=180°-NBOP-NOBP=180°-75°-45°=60°

/O'PB=/OPB=60。

:.ZAPO'=60°,

②如图1,连结OO',交BP于点、Q.则有BPLOO.

在RtAOBQ中，OQ=OBxsin45。=30.

在Rt△。尸。中，OP=-^-=2yf6,

sin60

AP=OA-OP=6-2,y/6.

(2)如图2.连结on.设Nl=a.

:点。为AB的中点.

BD=AD

N2=N1=a

PD//OB

N3=N2=N1=a.

:.PD=PO

由题意可得，PO,=PO,NO'=NBOP.

:.PD=PO'

NPDO'=ZO'=Z.BOP=2a

又1PD//OB,:.ZOBO'=ZPDO'=2a

OB=OD,:.Z4=ZOBO'=2a

Z4+Z3+ZPDO'=180°,:.2a+a+2a^Q°,解得。=36。.

.•.ZAOB=72°

17.(2021•浙江嘉兴•中考真题)一酒精消毒瓶如图1,为喷嘴，为按压柄，

CE为伸缩连杆，BE和"为导管，其示意图如图2,NDBE=NBEF=1O8。,

BD=6cm,BE=4cm.当按压柄ABCD按压到底时，BO转动到50,此时应T/AEF

(如图3).

(1)求点。转动到点。的路径长；

(2)求点。到直线所的距离(结果精确到0.1cm).

(参考数据：sin36°«0.59,cos36°®0.81,tan36°»0.73,sin72°«0.95,

cos72°~0.31,tan72°«3.08)

【答案】(1)9;(2)点。到直线班的距离约为7.3cm.

【分析】

(1)根据题目中的条件，首先由NDBE=NBEF=108。，BD,/IEF,求出47BE,

再继续求出NDBD，，点。转动到点。的路径长，是以8。为半径，8为圆心的圆的周

长的一部分，根据ZDBD'占360°的比例来求出路径；

(2)求点。到直线所的距离，实际上是过点。作瓦的垂线交所于某点，连接两点

所确定的距离即为所求，但这样做不好求解.于是把距离拆成两个部分，放在两个直

角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为

所求.

【详解】

解：(1)如图，

VBD'HEF,ZBEF=108°,

：.ZD'BE=180°-ZBEF=72°.

ZDBE=108°,

：.ZDBD'=ZDBE-NDBE=108°-72°=36°.

又：BD=6,

•*.点、D转动到点。1的路径长=S'：%，=f(cm).

lot)5

(2)如图，

过点。作DG，血)'于点G,