2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第2章 函数的图象

函数的图象

【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析

法)表示函数.2.会画简单的函数图象3会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与

不等式解的问题.

【知识梳理】

1.利用描点法作函数图象的方法步骤

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)伸缩变换

«>|,横坐标缩短为原来的黑，纵坐标不变

①y=/U)-------------------i----------=3)-

0<a<l,横坐标伸长为原来的伊，纵坐标不变

⑨=。>1,纵坐标伸长为原来的。倍，横坐标不变，,=

51一<x)纵坐标缩短为原来的“倍，横坐标不变"丫一碓必

(3)对称变换

①G,=加a0、关--于-x-轴-对-称Ay=*zxv)、.

令、关于轴对称

②y=A“)---y---Ay==-x).

与c.关于原点对称c

③y=/U)--------»v=-C-x).

@y=ax(a>0且a#1)'"'"'')=唾=(4>0且“#1).

(4)翻折变换

保留*轴上方图象

①y=/U)将谢下方图象翻折上至，=皎”

小„、保鼠轴右边图象，并作其...

②产危)关V于刚对称的图象，产.皿•

【常用结论】

1.函数y=*x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

2.函数y=/(x)与y=26一火2a—x)的图象关于点(a,%)对称.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴函数_y=|/(x)|为偶函数.(X)

(2)函数y=/(l—x)的图象，可由y=/(—x)的图象向左平移1个单位长度得到.(X)

⑶当xd(O,+8)时，函数y=|/(x)|与y=/(W|)的图象相同.(X)

⑷函数)=危)的图象关于y轴对称即函数>=/)与>=/(-x)的图象关于y轴对称.(X)

【教材改编题】

X<0

1.下列图象是函数'=''的图象的是()

X—1,x^O

答案c

解析其图象是由^=炉图象中x<0的部分和y=x—l图象中x2O的部分组成.

2.函数y=/(x)的图象与的图象关于y轴对称，再把y=/(x)的图象向右平移1个单位长

度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=.

答案

解析fix)=eTx,

.•.g(x)=e-(*F=er+i.

3.已知函数ZU)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式一2勺(x+f)<4的解集为(一1,2),

则实数t的值为.

答案1

解析由图象可知不等式一2勺(x+f)<4即为负3)勺g+。勺(0),

故x+fW(0,3),

即不等式的解集为(一r,3-0,

依题意可得f=l.

题型一作函数的图象

例1作出下列函数的图象：

⑴尸2E一1；

(2)y=|lg(x—1)|；

(3)y=x2—|x|—2.

解(1)将y=2*的图象向左平移1个单位长度，得到y=2/i的图象，再将所得图象向下平移

1个单位长度，得到-1的图象，如图①所示.

(2)首先作出y=lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y=lg(x—l)的图象，再

把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y=|lg(x—l)|的图象，如图②所

示(实线部分).

,,1.二’函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8)上的图象，

x2+x—2,x<0,

再根据对称性作出(-8,0)上的图象，其图象如图③所示.

①②③

【教师备选】

作出下列函数的图象：

(1)尸2邛1；

(2)y=sin园.

解(1)先作出)，=6｝的图象，保留y=(g>图象中xNO的部分，再作出y=R｝的图象中x>0

部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图①实线部分.

图①图②

(2)当时，)，=$而仇|与y=sinx的图象完全相同，又y=sin|x|为偶函数，图象关于y轴对

称，其图象如图②.

思维升华图象变换法作函数的图象

⑴熟练掌握几种基本初等函数的图象.

(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象

变换作出，但要注意变换顺序.

跟踪训练1作出下列函数的图象：

(2)y=4—4x+3］.

解(i)y=^5r=2+-z-r.故函数的图象可由的图象向右平移1个单位长度，再向上

XIXIA

平移2个单位长度得到，如图①所示.

(2)先用描点法作出函数y=/-4x+3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上

方的图象不变，如图②实线部分所示.

①②

题型二函数图象的识别

例2(1)(2022・百师联盟联考涵数於)=写尸■的图象大致为()

答案D

解析由题意知，的定义域为R,

—xcos(—X)

Kr尸产

—XCOSX

=—函一=_%)，

故犬x)为奇函数，排除C；

贝1)=注_1>0,排除人；

42)=幺皆<0,排除B.

(2)已知定义在区间［0,2］上的函数y=/(x)的图象如图所示，则y=-/(2-x)的图象为()

答案B

作关于F轴对称的图象

解析y=fi.x)

。、向右平移2个单位长度

y=A-x)----------------------

作关于X轴对称的图象℃、

y=fl2-x)---------------------►,=-fi.2-X).

【教师备选】

(2022•咸阳模拟)函数y(x)=cosTtx+In|2x|的大致图象是()

答案C

解析因为y(x)=cosxr+ln|2x|(x#0),

所以,*一x)=cos(—xr)+ln|-2x|=cos兀t+ln|2_¥|=/(x),所以,/(x)是偶函数，其图象关于y轴对

称，故排除选项A；

y(l)=cosn+ln2=-1+ln2<0,故排除选项B；

y(2)=cos2?r+ln4=1+21n2>0,故排除选项D.

思维升华识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域

等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.

31—3x

跟踪训练2(1)函数«r)=/的大致图象为()

答案B

解析易知定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称.

qr一qxf一4r

则式X)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A,

18

#1)=3—§=亍>0,排除D,

当Rf+8时，3"f+00,

则40-+8,排除C,选项B符合.

⑵如图可能是下列哪个函数的图象()

A.y=2x—x*12—3l

C.y=(x2—2x)eA

-x

D.y=j

)Inx

答案c

解析函数的定义域为R,排除D；

当x<0时，y>0,A中，x=-l时，

3

y=21—1=—2<0,排除A；

B中，当sinx=O时，y=0,

•••>=筌誓有无数个零点，排除B.

题型三函数图象的应用

命题点1研究函数的性质

例3已知函数4x）=xPc|-2%,则下列结论正确的是（）

A.贝x）是偶函数，单调递增区间是（0,+8）

B./（x）是偶函数，单调递减区间是（一8,1）

C.火x）是奇函数，单调递减区间是（一1,1）

D.Xx）是奇函数，单调递增区间是（一8,0）

答案C

解析将函数y（x）=4x|-2x

X2—2x,x20,

去掉绝对值，得y（x）=

—xr-lx,x<0,

画出函数式x）的图象，如图所示，观察图象可知，函数40的图象关于原点对称，故函数火X）

为奇函数，且在（一1,1）上单调递减.

命题点2函数图象在不等式中的应用

例4若当xd（l,2）时，函数y=（x—I/的图象始终在函数y=logd的图象的下方，则实数“

的取值范围是.

答案（1,2]

解析如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y=（x-l）2和y=k）g„x的图象.

由于当xe（l,2）时，函数y=（x-l）2的图象恒在函数y=log〃x的图象的下方，

«>1,

则解得l<aW2.

命题点3求参数的取值范围

2A-x,xWO,

例5已知函数7U）=若方程/（工）=一M+。有两个不同的实数根，则实数

log2%—X，x>0,

a的取值范围是.

答案（一8,1]

解析方程,/（x）=-2x+。有两个不同的实数根，即方程,/（x）+x=—有两个不同的根,

等价于函数y=J（x）+x与函数y=—冗+。的图象有两个不同的交点.

2V—x,xWO,

因为/U)=

log2X-X,x>0,

'2X,xWO,

所以y=Wx)+x=j,

Uog2X,X>0,

作出函数y=/(x)+x与y=—x+a的大致图象如图所示.

数形结合可知，当。<1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y=Ax)+2x—a有两

个不同的零点.

【教师备选】

已知奇函数兀0在时的图象如图所示，则不等式W)<0的解集为.

答案(-2,-1)U(1,2)

解析Vx/(x)<0,

.'.x和«r)异号，

由于«r)为奇函数，补齐函数的图象如图.

当xW(-2,-l)U(0,l)U(2,+8)时，/)>0,

当x©(-8,-2)U(-1,0)U(1,2)时,

鱼)<0，

...不等式切>)<0的解集为(-2,-1)U(1,2).

思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象

可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.

跟踪训练3(1)若函数兀r)=〃-x—a(4>0,且aWl)有两个零点，则实数a的取值范围是

答案(1,+°°)

解析函数人》)的零点的个数就是函数)，="(4>0,且aWl)与函数y=x+。的图象的交点的个

数，如图，当1时，两函数图象有两个交点；当0<a<l时，两函数图象有一个交点.故“>1.

⑵奇函数段)的定义域为(一1,1),/)在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如

图所示，则不等式段)令的解集为.

答案(一察o)u停,1)

解析因为奇函数火x)的定义域为(-1,1),且负x)在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1

的圆弧，所以定义域内的函数图象，如图所示，

当yu)=x时，解得x=当或x=一坐,

由图象知，不等式段)4的解集为(一坐o)u停1).

课时精练

1.函数人；0=百：的图象大致为（）

答案A

3Y

解析因为/＜一）一正工=一段），

所以y（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除B,D；

因为大兀）=瓷3兀7＞。，所以排除c.

x+3

2.为了得到函数＞=馆丁的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（）

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

答案C

x+3

解析，-'y=lg-jQ-=lg(x+3)—1,

.,向左平移3个单位长度

..y=1g%----------------------

向下平移I个单位长度

y=lg(x+3)

y=lg（x+3）—1.

3.已知函数段）的图象如图所示，则函数凡r）的解析式可能是（）

A./）=（平一4刃国

B./(x)=(4，_4r)log2kl

4、+4七

C.火》）=不

A

D.犬x）=（4"+4）log2|x|

答案D

解析由图知，#力为偶函数，故排除A,B；

对于C,九0乂）不符合图象，故排除C；

对于D,火一力=（4*+4-%（唱2园=於）为偶函数,且在区间（0,1）上，贝x）＜0,符合题意.

\ax+b,x＜-lf

4.（2022・银川质检）若函数外）=,、的图象如图所示，则共一3）等于（）

[ln（xItz）,X3一1

A.—gB.一、C.-1D.—2

答案c

解析.,.ln(-l+a)=O,

••l+a=l,..a=2,

又y—ax+b过点(-1,3),

；.2X(—l)+6=3,：,h=5,

—3)——3a+i>=-6+5=-1.

5.(2022・长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y=7U),则图②中的图象对应的函数为

()

图①图②

A.y=7(bl)B.，=_/(一|%|)

c.y=miD.产一心I)

答案B

解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将)，轴左侧图象翻

折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为了=式一仅|).

6.下列函数中，其图象与函数_/(x)=lnx的图象关于直线x=l对称的是()

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析方法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=l的对称点的坐

标为(2—x,y),由对称性知点(2—x,y)在函数_/U)=lnx的图象上，所以y=ln(2-x).

方法二由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数7(x)=lnx的图象上也在所求函数的图象上，

代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A,C,D.

7.对于函数火x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的个数是()

@(x+2)是偶函数；

②/(x+2)是奇函数；

@/(x)在区间(-8,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增；

④/(x)没有最小值.

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析yu+2)=ig(M+i)为偶函数，①正确，②错误.作出y(x)的图象如图所示，可知y(x)在(一

8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增；由图象可知函数存在最小值o,③正确，④错

误.

f—x2—2%,xWO,

8.(2022・西安模拟)已知函数犬x)=[log।x\,x>0,若函数g(x)=/(x)+2一机有4个零点,

则m的取值范围为()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

解析由g(x)=y(x)+2—”?=o,

得犬X)=OJ—2,

所以问题转化为函数y(x)的图象与直线y=机-2有4个不同的交点，

函数/U)的图象如图所示，

所以0<根一2<1,得2<小<3,

所以加的取值范围为(2,3).

9.已知函数了=4一》)的图象过点(4,2),则函数y=_/(x)的图象一定过点

答案(-4,2)

解析y=_A—x)与y=/(x)的图象关于y轴对称，

故y=/(x)的图象一定过点(-4,2).

10.若函数人》)=注3的图象关于点(1,1)对称，则实数4=.

答案1

~ax-a+a-2,a—2

解析危)=/7]=〃+不?7,

关于点(1,。)对称，故。=1.

x2+〃一।

11.(2022•青岛模拟)已知函数/(x)=,_则对任意xi,X2£R，若X2>0"I>

x22x1f1<0,

—X2,则人为)与7(X2)的大小关系是.

答案犬为)勺(X2)

解析作出函数,/(X)的图象(图略)，

由图知犬X)为偶函数，且在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

0>Xl>—X2f

，式汨)<7(—及)=/2).

12.已知函数｛r)=k-2|+l,g(x)=fcv.若方程|x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数4的取

值范围是.

答案&1)

解析先作出函数<］）=k一2|+1的图象，如图所示，当直线g（x）=fcc与直线AB平行时斜率

为1,当直线g（x）=日过A点时斜率为故段）=g（x）有两个不相等的实根时，A的取值范围

为&1）

13.（2022・济南模拟）若平面直角坐标系内A,8两点满足：（1）点A,8都在式x）的图象上；（2）

点A,8关于原点对称，则称点对（4,8）是函数4x）的一个“和谐点对”，（A,B）与（B,A）可

jt2+Zx,x<0,

看作一个，，和谐点对”.已知函数於）={2则式x）的''和谐点对”有（）

G，xZO,

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案B

解析作出函数ynf+ZxCrvO）的图象关于原点对称的图象（如图中的虚线部分），着它与函数

的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2,即40的“和谐点对”有2

个.

（\

一，x<0,

x1

14.若函数加）=<则不等式的