2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二年级上册期末数学（理）试题（含答案）

2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二上册期末数学(理)

试题

一、单选题

1.命题“曾€11,*2-2犬+120”的否定为()

A.∀X∈R,X2-2Λ+1<0B.VX⅛R,X2-2X+1≥0

C.3X∈R,√-2Λ∙+1≥0D.3xeR,x2-2x+l<0

【正确答案】D

【分析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“^^氏工〜工+0叩僭定为鼻^氏/-2%+…”，

故选：D.

2.抛物线y=4『的焦点坐标为()

A.(θɪ)B.(θɪ)C.(ɪ,θ)D.(ɪ0)

oIoIoo

【正确答案】B

【分析】先将方程化成标准形式，即求出。=：,即可得到焦点坐标.

48

【详解】x2=^y=2×∣y,焦点在y轴正半轴上，故焦点坐标(0,£,

48V16J

故选：B.

3.命题“若孙=0,则X=O(X,yeR)”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个

数为()

A.3B.2C.1D.O

【正确答案】B

首先判断原命题及其逆命题的真假，再根据互为逆否命题的两个命题同真假，即可判断其逆

否命题与否命题的真假；

【详解】解：命题“若孙=0,则X=O(X,ywR)”为假命题，则其逆否命题也为假命题；

其逆命题为：若X=O,则孙=O,显然是真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可

得原命题的否命题也为真命题，故为真命题的有2个

故选：B

4.已知命题p：一<1,命题q：x>l,则P是夕的()

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据题意，求得P：x<0或x>l,即可得到不等式之间推出关系，判定得到结论.

【详解】由得X<O或x>l,即g：XCo或x>1,

X

若g：x>l成立，贝什：XCo或x>l成立，即qnp,

若P：x<0或x>l成立时，q：x>l不一定成立，故Pi>q,

所以。是4的必要不充分条件.

故选：B.

5.已知a=(2,3,-l),6=(2,0,Y),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()

A.aIbB.d.LcC.allbD.allc

【正确答案】D

【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示直接判断即可.

【详解】因为α∙b=2χ2+3xO+(-l)χ(-4)=8,

a∙c=2×(-4)+3×(-6)+(-1)×2=-28,

所以AB错误；

因为32≠90≠-=4，所以0/不平行，C错误；

23—1

-4-62

因为万=T=二ɪ,所以R∕c,D正确.

故选：D

6.已知命题0：离心率越小，椭圆的形状越扁，命题必离心率越大，双曲线的“张口”越

小，则下列命题为真命题的是()

A.JP)^4B.(rp)Vq

C.PTqD.PM

【正确答案】B

【分析】研究2的变化情况，可以得出结论.

a

【详解】根据椭圆的图象可知，2越接近于1,则椭圆越圆.离心率越小，则由

a

=B知，2越大，则椭圆越圆，因此命题。为假命题;

对于双曲线，以焦点在X轴上的为例，根据双曲线的图象知，渐近线斜率越小，即2越小，

a

双曲线的“张口”越小.离心率越大，则由：=[=—∣Z=√τ二[知，g越大，双曲线的

“张口”越大，因此命题q为假命题.

根据，或且非逻辑联接词判定命题的依据知，只有B正确.

故选：B.

7.如图所示,在平行六面体ABCQ-A4G"中，M为AG与SQ的交点，若A8=",6,

AAi=C,则BAf=()

B.—α÷-⅛+c

22

11,

D.——a+—⅛+c

22

【正确答案】D

【分析】根据空间向量基本定理，用AB,AAA4,表示出BM即可.

【详解】由题意，因为M为AG与BQ的交点，所以M也为AG与Ba的中点,

因此

BM=AM-AB=AA,+AlM-AB=AAi+^AC-AB

1111111.

=AA+-(AB+AD)-AB^AA--AB+-AD=C--a+-b=--a+-b+c.

112’1222222

故选：D.

8.在长方体ABCo-A8cA中，AB=BC=I,A41=G,则异面直线AR与。片所成角

的余弦值为

A.-B.立C.—D.正

5652

【正确答案】C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根

据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD∣为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

项0,0,0),41,0,0),旦(1,1,6),鼻(0,0,6),所以4乌=(—1,0,6),。片=(1,1,6)，

因为CoS(A，,m)=成阈=瓦方=—,所以异面直线AD1与DBl所成角的余弦值为

4,选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破"建系关”，构建恰当的空间

直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出

平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

9.已知。为直线/的方向向量，nl,々分别为平面α,4的法向量(α,/不重合)，那么下

列说法中：®nl//n2oaHβ∙,②4_Ln2Oα_L尸；③vHn、oIHa；④V_La=/_La.正确的

有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】B

【分析】对于①根据面面平行的关系可得；对于②根据面面垂直可得；对于③根据两条平行

线的关系可得；对于④根据两条垂直线的关系可得.

【详解】根据两个平面的法向量平行可得两个平面平行得①正确；

根据两个平面的法向量垂直可得两个平面垂直得②正确：

根据两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直这个平面，故③不正确；

对于④也可能∕uα,所以④不正确.

故选：B

10.若点尸在椭圆C:上+汇=1上，”，居分别为椭圆C的左右焦点，且NEP鸟=60。，则

43

△耳PE的面积为().

A.√3B.3C.4D.1

【正确答案】A

【分析】利用椭圆定义得到∣W∣+∣PK∣=2α=4,再利用余弦定理得到

IP用2+1PKrTP制IP用=4,两者联立解出IPKIIPKI=4,再利用三角形面积公式求出面积

即可.

【详解】解：由椭圆的标准方程看+片=1,可得α=2,⅛=√3.

43

所以IP4|+|尸闯=2α=4,又由C?=/"?=1,

所以c=I,即忻闾=2c=2.

因为4"=60。，所以IP周2+∖PF^—2|历归国cos60。=山/ʧ,

2

^∖PFl^+∖PF^-∖PF↑∖PF2∖=2.

又因为（Ip国+∣PE∣f=42,即|P4「+|PE「+2附归与=16,

两式相减，约分可得∣PK∣∣P周=4,

所以k6%=g∣咫IIp用SinNFfg=gx4x*=6.

故选：A.

11.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚

轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.花瓶的最小直径为12cm,瓶口直径为20cm,瓶

高为30cm,则该双曲线的虚轴长为（）

【正确答案】C

【分析】设双曲线方程为二-马=1，ω>0,⅛>0),由已知可得。，并求得双曲线上一点的

ab'

坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解6,即可得到双曲线的虚轴长.

【详解】设M点是双曲线与截面的一个交点，

设双曲线的方程为：4-⅜=l,(a>0,⅛>0).

ab

花瓶的最小直径44=2α=12cm,则4=6,

由瓶口直径为20cm,瓶高为30cm,可得M(IO,15),

故去讲=1,解得〃吟，

•••该双曲线的虚轴长为26=2xf=T∙

故选：C.

12.已知椭圆C：W+¥=l(a>〃>0)左右焦点分别为耳,玲，上顶点为A，离心率为:，过

a~b2

”且为线段人名的垂线/交。于M，N两点，则.AMN周长为()

A.4。B.3。C.2aD.2a+2c

【正确答案】A

【分析】将椭圆方程化为/+/=1,可求得/的斜率,联立椭圆与直线方程求得M，N的纵

坐标,分别计算IMNlJAM∣,∣4VI即可.

【详解】如图：

C1

e=-=-,.∖a=2c,b2=a2-c2=3c2,

Cl2

χ2丫2工22

椭圆C：—H——=1可化为H-1,

Crb-4c3c~

又COSNAEO=愕I=£=；".NAEO=g,

∖AF^a23

TT

,ltAF,,:.NNFQ=—,

6

设直线/:y=曰(X+c),即X=8y-c,

22

工+工=1

由,4/3c2得13丁-60cy-9c?=O,

x=∖∣3y-c

设Ma,χ),N(X2，%)，不妨设M<%,

解得(3672)，(3∕+12)c,

113213

222

所以IMNl=λ∕(xl-¾)+(y1-y2)=λ∕l+(√3)∣γl-γ2∣=^y,

因为A(0,b)即4(0,岳),

22

所以∣4MI=^x1+(yl-T3c)^=^(√3y1-c)+(γl-√3c)^

22l

=^4γ1-4√3c∙y,+4c=-4ic∙yx+c=卡-13√Jcχ+13c',

22

由13y-6∖∕3cy—9c=0得13y；=6λ∕3cyl+9c,,代入上式，

222

∖AM∖=-==7β√3cyl+9c-13√3cy1+13c=-ʌ=y∣22c-7^3cyi

7g(3G-12)(22-23+84死;

13C-正N13

28+6√3

-----------c

~√1313

同理可得IANI=28；c

∙∙∙∣MN∣+∣AM∣+∣AN∣=管+(28+6圆。+(28-66).£=史竺=8c=40,

131313

所以.,AMN周长为4α.

故选:A

关键点点睛:在求∣N∣,IANI时并没有用弦长公式，因为计算IAMl时不能使用韦达定理，所

以必需回到弦长的本质,即两点间的距离，故需要求出M的坐标,由直线与椭圆联立是完全可

以把方程的根表示出来的，当然后期的计算量也是惊人的.

二、填空题

13.若方程上+E=I表示焦点在X轴上的椭圆，则实数机的取值范围为__________

5-/72/H-3

【正确答案】(3,4)

【分析】根据椭圆的标准方程的形式，焦点在X轴上的椭圆分母的大小关系可得.

，■>

【详解】方程一匚+工=1表示焦点在X轴上的椭圆,则5-％>帆-3>0,.∙∙3<优<4.

5-m机一3

故(3,4)

14.双曲线1-4=1的焦点到其渐近线的距离是.

169

【正确答案】3

【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.

3

【详解】由题意得：¢2=16+9=25,故双曲线的焦点坐标为(±5,0),渐近线方程为y=?[x,

则焦点到其渐近线的距离是

故3.

ɪ5.在长方体ABCD-A'B'C'D'φ,AA!=2AB=2AD=2,以点。为坐标原点，以DA,DC,DD'

分别为X轴，丫轴，Z轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD所在法向量为(x,y,z),则

χ∙.y.z=.

【正确答案】2:2:1

【分析】利用法向量的求法进行求解即可

【详解】由题意得A(LO,0),C(OJO),D(0,0,2),

AC=(-l,l,0),AD,=(-1,0,2),

,、ACn=O-x+γ=0

因为平面ACc)'的法向量为"=(x,y,z),则｛，即

AD'n=0-x÷2z=0

∣Xx=2⅛(⅛≠0),贝IJy=2上,z=k,故x:y:z=2:2:l

故2:2:1

16.设人,马为双曲线£->2=]的两个焦点，关于原点对称的两点RQ都在双曲线上，且

4

满足IPQl=I耳闻，则四边形耳PKQ的面积为.

【正确答案】2

【分析】根据已知先判断四边形耳PgQ的形状，然后根据双曲线定义结合勾股定理可解.

[详解]如图，记PF?=m,则Pf；=∕n+2q=m+4

由题可知，OF、=OF?=OP=c=后,所以P耳J-P6

则0+4)2+疗=20,即WJ(W+4)=2

S

所以F,PF2Q=+4)=2

故2

三、解答题

17.已知命题p:实数X满足/-7%+10外,命题不实数X满足V-4,Hr+3病≤0.其中m>0.

(1)若根=4且命题p,q都为真命题，求实数X的取值范围；

(2)若P是q的充分不必要条件，求实数W的取值范围.

【正确答案】(1)[4,5]；(2)1,2

(1)首先解一元二次不等式得到夕、4,再根据命题2、4均为真命题，取交集即可得解;

(2)因为P是q的充分不必要条件，则[2,5]U[m,3间(〃?>0),即可得到不等式组，解得即

可；

【详解】解：因为d-7x+10≤0,解得2≤x≤5,

X2-4∏IY+3∕772≤()(∕∏>0),解得"2≤X≤3∕W

所以〃ι2≤x≤5,q∖m<x<3m(m>0)

(1)当m=4时，q-A≤x≤∖2

(2≤x≤5

因为命题P、4均为真命题，所以[[“口，解得4＜xV5,即xe[4,5]

(2)因为P是q的充分不必要条件，所以[2,5]tψ43w](m＞())

3ιn≥5

所以τ%≤2解得*≤%≤2,即机∈|,2

m＞03L3」

考查解一元二次不等式的解得以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念.属于中档

题.

18.已知椭圆C:£+£=lm＞匕＞0)的两焦点分别为/:；(-2,0),❷(2,0),且经过点(一卷].

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过椭圆的右焦点F?且斜率为正的直线/交椭圆C于P,。两点，求aPOQ的面积.

3

【正确答案】⑴¥■+£=]

106

ro.6√U)

【分析】(1)根据椭圆的定义求得。的值，又C=2,再由〃=°2-/,求得力，即可得椭圆

方程;

(2)根据已知得直线/方程方程，代入椭圆方程可得交点坐标关系，从而可求得aPOQ的

面积.

【详解】(1)已知椭圆。:?+£=1(。＞人＞0)的两焦点分别为耳(-2,0),6(2,0),且经过点

2

由椭圆的定义知2a=I-OJ=2√10,

.∙.a=VlO

c=2

Λ⅛2=a2-C2=10-4=6,

椭圆C的方程为W+^=1;

106

(2)由题意得直线/方程为y=#(x-2),即x=√5y+2设Pa，%),。。?,％)，

X=λ∕3y+2

由匕22,消去X得7)产+66〉一9=0,

—+—=1

UO6

=,

由韦达定理得y∖+%=-~~~~,JiJ2~y

=两ι2

∙'∙SPoQSP0F?+S.OQ=^∣θ∕½∣∙∣y1∣+∣∣θ∕s∣∙∣y2∣=∣y,->2∣=√(yl+y2)-4yly2

所以aPOQ的面积为色叵.

7

19.如图在四棱锥尸-ABCO中，叨，平面A8CO,E为的中点，底面ABC。是边长为2

的正方形，且平面PEB与平面ABCZ)夹角的余弦值为好.

(1)求棱PD的长;

⑵求点C到平面PEB的距离.

【正确答案】(1)2

Q)巫

3

【分析】(1)建立空间直角坐标系，设Po=以∕z>0),由平面PEB与平面ABcD夹角的余

弦值为逅，利用平面法向量求解.

6

(2)已知平面法向量，用点到平面距离公式求解.

【详解】(1)依题意，D4,DC,OP两两互相垂直，以。为原点，D4为X轴，OC为y轴，DP

为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设PD=h{h>0),

D

由题意得E(1,O,O)I(2,2,O),P(O,(U),所以PE=(1,0,—〃),旗=(1,2,O).

/、n∙PE=x-Zch=O

设平面电^的法向量为n=^,%*。)/*a,

n∙EB=x0+2y0=0

令x()=2h,则%=-九4=2,得〃=(2九一九2)

因为PDj_平面ABa),所以平面ABC。的一个法向量为加=(0,0,1),

依题意,有即伽㈤I=廉=心可得力=2,所以棱PD的长为2.

6

(2)由(1)得，平面P仍的一个法向量为“=(2,T,1).

又C(0,2,0),所以8C=(—2,0,0),所以点C到平面PEB的距离为吐d=班

1«13

20.点M到点尸(4,0)的距离比它到直线∕χ+6=0的距离小2,记动点M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

1I

(2)若过点F的直线加交曲线C于A(xl,yl),B(x2,y2)两点，求而+的的值.

【正确答案】⑴V=16x

<2⅛+⅛=7

【分析】(1)根据题意可得点M到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0的距离，结合抛物

线的定义即可求解；

111

(2)当直线〃?的斜率不存在时可得由+西=I；当直线垃的斜率存在时设直线机方程,

联立抛物线方程，利用韦达定理和M"+即M=X2+5化简计算即可求解.

【详解】(1)因为点M到点尸(4,0)的距离比它到直线/:x+6=0的距离小2,

所以点M到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0的距离，

由抛物线的定义知，

点〃的轨迹是一条以尸(4,0)为焦点，X=T为准线的抛物线，此时。=8,

故C的方程为V=I6x.

(2)当直线机的斜率不存在时，直线机方程为x=4,

二μ=网=8,,府［+网7

当直线加的斜率存在时，设直线m方程为y=k(x-4)(k≠0),

由［y=∕(x-4)消去y得Jt2/_(8公+16口+16r=0,

/=16x

由韦达定理得玉+%2=8"%：16，工1%2=16,

由抛物线定义得|4周=%+^=玉+4,忸尸|=当+5=々+4,

8⅛12+*16

+8

IlllX+x2+8—1

+

∖AF∖∖BF∖Xy+4x2+4X1X2+4(x1÷x2)+16+^^+164

111

综上所述由+画=r

21.己知耳(-α,0),E(o,0),其中a>0,动点M(x,y)满足直线用耳与MF2斜率之积等于

Λ(λ≠O),试讨论动点M的轨迹C的形状.

【正确答案】答案见解析

【分析】根据题意可列式写出含2的方程4/-V=2/(。>0"≠0),分类讨论几的取值范

围即可得到动点M的轨迹C的形状.

【详解】由题意得&的∙％MF,="即上•上=2,

x+aX-a

化简为-/=λcr(α>0,2≠0),

22

所以动点M的轨迹C方程为二r-Jυ=I(XH±q),-

a^λa'

当/=T时，动点M的轨迹C方程为V+y2=42(χw±a),所以轨迹C为圆，去除在X轴上

的点；

22

当∕l<τ时，动点M的轨迹C方程为上方+马=I(X≠±a),

-λa~a~

-Aa2>".∙.轨迹C为焦点在>轴上且除左右顶点的椭圆:

22

当T<4<0时，动点V的轨迹C方程为=+二•T=I(X≠±a),

a-Aa'

-Aa2<a2，轨迹C为焦点在X轴上且除左右顶点的椭圆；

22

当;l>O时，动点M的轨迹C方程为:∙-J=l(XW±a),

Crλa~

所以轨迹C为焦点在X轴上且除左右顶点的双曲线；-

22.如图，在三棱锥S-ABC中，AB=AC=2,SA=SB=SC=3叵，BC=2√2,D为BC

(2)若E是棱AC上的动点，当△§£>E的面积最小时•，求SC与平面SZ)E所成角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵叵

6

【分析】(1)根据三角形