专题17导数与函数的最值（知识梳理精讲）原卷版

专题17导数与函数的最值知识点一求函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．例1、（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．例2、（2024·全国·高三专题练习）当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．32例3、（2019下·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）函数，则函数在区间上的值域是（

）A． B． C． D．1．（2024上·浙江温州·高二统考期末）（多选题）已知函数，则（

）A．B．有两个极值点C．在区间上既有最大值又有最小值D．2．（2024·海南海口·统考模拟预测）（多选题）设函数，则（

）A．B．函数有最大值C．若，则D．若，且，则3．（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为．例4、（2024上·江苏扬州·高二统考期末）已知函数在处取得极小值5．(1)求实数a，b的值；(2)当时，求函数的最小值．例5、（2024上·山西长治·高二统考期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在处有极大值，求在上的最值.例6、（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数．(1)，求函数的最小值；(2)若在上单调递减，求的取值范围．知识点二求函数的最值（含有参数）例7．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例8．（2023下·陕西榆林·高二统考期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．31．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）已知，均为正实数，不等式恒成立，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若函数存在最小值，则的取值范围是．例9．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数在上的值域；(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.例10．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，求函数的最大值．知识点三函数极值与最值得综合应用例11．（2024上·江苏徐州·高二统考期末）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.例12．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数.(