2019版高中全程练习方略配套资料：二项分布、随机变量的均值和方差

第五节二项分布、随机变量的均值和方差…………三年2考高考指数:★★★内容要求ABCn次独立重复试验的模型及二项分布√离散型随机变量的均值与方差√1.n次独立重复试验由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)=p>0,这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验，n次独立重复试验中,事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为Pn(k)=________________________.2.二项分布若随机变量X的分布列为P(X=k)=________,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,则称X服从参数为n，p的二项分布，记作_________.X～B(n,p)【即时应用】(1)思考：二项分布的计算公式与二项式定理的公式有何联系？提示：如果把p看成b，1－p看成a，则就是二项式定理中的通项.(2)已知随机变量X～B(6，)，则P(X＝2)等于_________.【解析】答案：(3)一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是_________.【解析】由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式得：答案：3.离散型随机变量的均值与方差(1)离散型随机变量X的概率分布Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式作用标准差反映了离散型随机变量取值的________刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________方差的算术平方根为随机变量X的标准差.平均水平平均偏离程度【即时应用】(1)思考：随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数.样本的均值、方差是一个变量.随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.(2)随机变量X的概率分布如表，则X的数学期望是______.【解析】由题知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：2.1X123P0.20.5m(3)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X表示取到次品的件数，则E(X)＝________.【解析】X的取值为0,1,2,3，则答案：(4)甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量X、Y，其概率分布分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________.X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(X)>E(Y)，故乙的技术较好.答案：乙4.两点分布与二项分布的均值、方差均值方差随机变量X服从两点分布X～B(n,p)E（X）=____V（X）=______E(X)=____V(X)=_______pp(1-p)npnp(1-p)【即时应用】(1)设15000件产品中有1000件次品，有放回地从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为_______.(2)设随机变量ξ～B(n，p)，又E(ξ)＝15，V(ξ)＝则n的值为________,p的值为_________.【解析】(1)设查得次品数为随机变量ξ，由题意得ξ～B(150，)，所以E(ξ)=150×=10.(2)由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，V(ξ)＝np(1－p)＝∴p＝，n＝60.答案：(1)10(2)60独立重复试验与二项分布【方法点睛】

1.独立重复试验的特点(1)每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生.(2)任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.2.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.【例1】(2012·泰州模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为乙每次击中目标的概率为求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.【解题指南】(1)(2)直接利用二项分布求解；(3)事件“乙恰好比甲多击中目标2次”包括：“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”；“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”两种情况.【规范解答】(1)设X为甲击中目标的次数，则X～B(3，)，故甲恰好击中目标2次的概率为

(2)设Y为乙击中目标的次数，则Y～B(3,)，故乙至少击中目标2次的概率为P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=(3)设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，包含以下2个互斥事件，设B1为事件“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”，则P(B1)=设B2为事件“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”，则于是即乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.【反思·感悟】1.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少.2.独立重复试验是相互独立事件的特例.一般情况下，有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，含有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单.【变式训练】为提高学生的素质，某校决定开设一批选修课程，分别为文学、艺术、竞赛三类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的现在3名学生独立地从中任选一个科目参加学习.(1)求他们选择的科目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数，求ξ的概率分布.【解析】记第i名学生选择的科目属于文学、艺术、竞赛分别为事件Ai、Bi、Ci，i=1，2，3.由题意知A1、A2、A3相互独立，B1、B2、B3相互独立，C1、C2、C3相互独立，Ai、Bj、Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)=，P(Bj)=，P(Ck)=.(1)他们选择的科目所属类别互不相同的概率为：(2)设3名学生中选择的科目属于艺术的人数为η，由已知，η～B(3，)，且ξ=3-η.所以故ξ的概率分布是ξ0123P【变式备选】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【解析】(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验.故所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则由于甲、乙射击相互独立，故所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，则由于各事件相互独立，故所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.离散型随机变量的均值与方差【方法点睛】求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的概率分布；(4)由均值的定义求E(ξ)；(5)由方差的定义求V(ξ).【例2】(2011·福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数学期望E(X1)=6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：(1)产品的“性价比”=(2)“性价比”大的产品更具可购买性.【解题指南】(1)利用期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有概率和为1，联立关于a,b的方程组，解方程组求得a,b的值；(2)根据题中提供的数据，列等级系数X2的概率分布列，再利用期望公式求期望；(3)根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性.【规范解答】(1)因为E(X1)＝6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5.由(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布如下：所以E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为=1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为=1.2.所以乙厂的产品更具可购买性.【反思·感悟】求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随机变量的概率分布.求离散型随机变量的概率分布时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.求概率时，要注意概率类型的确定与转化，如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.【变式训练】在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为Sn”.(1)当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的概率分布及数学期望及方差；(2)当时，求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.【解析】(1)∵ξ=|S3|的取值为1，3，又p=q=；所以ξ的概率分布为：ξ13P(2)当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5个题，回答错误的题数是3个题，又已知Si≥0(i=1,2,3,4)，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第三题回答正确，第二题回答错误，则后5题可任意答对3题.此时的概率为【变式备选】如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖.(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的概率分布及期望E(ξ)；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2).【解析】(1)由题意得ξ的概率分布为则

(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为由题意得η～B(3，)，则ξ50%70%90%P与二项分布有关的期望与方差【方法点睛】与二项分布有关的期望与方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从ξ～B(n,p)，则用公式E(ξ)=np,V(ξ)=np(1-p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同样还可求出V(aξ+b)=a2V(ξ).【提醒】E(aξ+b)=aE(ξ)+b，但注意V(aξ+b)≠aV(ξ)+b，V(aξ+b)≠aV(ξ).【例3】(1)某同学参加科普知识竞赛，需回答4个问题，每一道题能否正确回答是相互独立的，且回答正确的概率是若回答错误的题数为ξ，则E(ξ)=_______，V(ξ)=______.(2)罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设ξ为取得红球的次数，则E(ξ)=_______.【解题指南】两题中的ξ都服从二项分布，故可直接套用公式求解.【规范解答】(1)∵回答正确的概率是∴回答错误的概率是故ξ～B(4，)，∴E(ξ)=4×＝1，V(ξ)=4××(1-)=.答案：1(2)因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率为连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B(4，)，所以E(ξ)=答案：【互动探究】在本例(1)中，若竞赛规定：答对1题得10分，否则扣1分，其他条件不变，求该同学得分η的期望与方差.【解析】由题意知：η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ，故由均值与方差的性质得E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29，V(η)=V(40-11ξ)=112V(ξ)=【反思·感悟】ξ是随机变量,则η=f(ξ)一般也是随机变量,在求η的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求η的概率分布带来的繁琐运算.【变式训练】(2012·苏州模拟)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的.第一个路口遇到红灯的概率是，其余每个路口遇到红灯的概率都是(1)求这名学生在上学路上到第二个路口时首次遇到红灯的概率；(2)假定这名学生在第二个路口遇到红灯，求这名学生在上学路上遇到红灯的次数X的概率分布及期望.【解析】(1)设“这名学生在上学路上到第二个路口时首次遇到红灯”为事件A，则所求概率为P(A)(2)因为由假定知道这名学生在第二个路口一定遇到红灯，所以上学路上遇到红灯的次数X的所有可能取值为1，2，3，4，对应的概率分别为：∴X的概率分布为X1234P均值与方差的实际应用【方法点睛】均值与方差的实际应用(1)V(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，V(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，V(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【例4】为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是深圳市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图)，如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立.(1)求在大运会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设大运会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的数学期望和方差.【解题指南】利用独立重复试验求(1)；借助二项分布的期望、方差公式求(2).【规范解答】(1)设8月份一天中发生雷电的概率为P，由已知因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P=×(1-0.47)=0.351231≈0.35.(2)由已知X～B(12，0.47)，所以，X的数学期望E(X)=12×0.47=5.64，X的方差V(X)=12×0.47×(1-0.47)=2.9892.【反思·感悟】解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率.对于实际问题要通过分析题意抽象出具体的数学模型来求解.【变式训练】某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖.求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；(2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值.【解析】(1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x，y)，其中1≤x≤6,1≤y≤6，则获一等奖只有(6，6)