2019版高中全程练习方略配套资料：几何概型

第三节几何概型三年6考高考指数:★★1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.1.对几何概型的考查是高考的重点；2.题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等问题相结合.1.几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__________________成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_______个.②等可能性：每个基本事件出现的可能性______.长度(面积或体积)无限多相等【即时应用】(1)思考：古典概型与几何概型有何区别？提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有无限个.(2)判断下列概率模型，是否是几何概型(请在括号中填写“是”或“否”)①在区间［－10,10］内任取一个数，求取到1的概率；()②在区间［－10,10］内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；()③在区间［－10,10］内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；()④向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm的概率.()【解析】①中概率模型不是几何概型，虽然区间［－10,10］有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②中概率模型是几何概型，因为区间［－10,10］和［－1,1］上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性).③中概率模型不是几何概型，因为在区间［－10,10］内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④中概率模型是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性.答案：①否②是③否④是2.几何概型的概率公式P(A)=_________________________________________【即时应用】(1)有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_______.(2)在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是_________.(3)在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋＋1＝0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为_______.【解析】(1)P＝(2)如图：区域F表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝(3)由于Δ＝m2－4(＋1)<0，得－1<m<4，若使lgm有意义，必须使m>0.在数轴上表示为，故所求概率为答案：(1)0.05(2)(3)xAyOBCD与长度(角度)有关的几何概型【方法点睛】1.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)=2.与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段.【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出,而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.【例1】(1)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为_____________.(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则AD<AC的概率为___________.【解题指南】(1)问题可转化为：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比.(2)要使AD<AC，可先找到AD=AC时∠ACD的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的概率公式求解即可.【规范解答】(1)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF(此时F为OE的中点)，由几何概型概率公式得：P(A)=答案:(2)射线CD在∠ACB内是均匀分布的，故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB上取一点E，使AE＝AC，则∠ACE＝＝67.5°，可看成事件构成的区域，所以满足条件的概率为答案:【互动探究】若将本例(1)中条件改为“从圆周上任取两点，连接两点成一条弦”，其他条件不变，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.【解析】记事件A为“弦长超过圆内接正三角形边长”.如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E在劣弧上时，|BE|>|BC|，而劣弧的长恰为圆周长的由几何概型概率公式有P(A)＝【反思·感悟】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.【变式备选】1.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2到81cm2之间的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.正方形的面积介于36cm2到81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm到9cm之间.线段AB的长度为12cm，则所求概率为2.在区间［-1，1］上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.在区间[-1，1]上随机取一个数x,即x∈[-1,1],要使的值介于0到之间,需使或∴-1≤x≤≤x≤1，区间长度为由几何概型知的值介于0到之间的概率为与面积(体积)有关的几何概型【方法点睛】1.与面积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：2.与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：【例2】(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为_______.(2)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________.【解题指南】(1)硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中心到三角形各边(格线)的距离都大于1，在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形，当硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.(2)先根据四棱锥M－ABCD体积等于时M的位置，再找出体积小于时M的位置.【规范解答】(1)记E＝“硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示.小三角形的边长为∴P(E)＝答案:(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，则×S四边形ABCD×h=又S四边形ABCD=1，∴h=若体积小于则h<即点M在正方体的下半部分，∴P=答案:【互动探究】本例(2)中条件不变，①求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率；②求M落在三棱锥B－A1B1C1内的概率.【解析】V正方体＝1，①∵V三棱柱=×12×1=∴所求概率P1=②∵V三棱锥=×B1B=×12×1=∴所求概率P2=【反思·感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例(1)中“在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形”；(2)中先找出满足条件时临界值M的位置，再寻求事件构成的区域.【变式备选】设－1≤a≤1，－1≤b≤1，则关于x的方程x2＋ax＋b2＝0有实根的概率是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.由题意知该方程有实根满足条件作平面区域如图，故方程x2+ax+b2=0有实根时，(a,b)对应的平面区域为如图阴影部分,由得A(1,),由得B(1,),故S阴影=2S△OAB=所以由几何概型得所求概率P=生活中的几何概型问题【方法点睛】生活中的几何概型度量区域的构造将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域.【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.【例3】(2012·西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上.【规范解答】这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上,即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y－x≥1或x－y≥2,x∈［0,24］,y∈［0,24］}.A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形.所求概率为P(A)=xyO122424y-x=1x-y=2【反思·感悟】解答本题的关键是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题.【变式训练】甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车就乘，求甲、乙乘同一车的概率.【解析】设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方xyO8:007:407:207:007:207:408:00形.将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P＝即甲、乙乘同一车的概率为【易错误区】对几何图形认识不清致误【典例】(2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_____.【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率.【规范解答】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B，“不在家看书”为事件C.∴P(C)=P(A)+P(B)=答案：【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时易出现以下两个错误：(1)错填或原因是不能将事件分解成两个事件的和；(2)把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误.备考建议解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；(3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误.1.(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由题意知，P=2.(2012·揭阳模拟)已知平面区域Ω={(x,y)|},直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若0≤m≤1,则P(M)的取值范围为()(A)(0，