傅里叶变换定理、线性系统

快速抢答！！！

{1}=x011f0{rect(x)}

=F.T.d(fx,fy)sinc(fx)1f01F.T.x1-1/21/2二维傅里叶变换2-DFourierTransform傅里叶变换和傅里叶逆变换{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

设g(x,y)

G(fx,fy),F.T.重要性质：{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则∫|g(x)|2dx

代表信号的总能量(或总功率)|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)

设g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒四、F.T.定理--Parseval定理的证明交换积分顺序,先对x求积分:利用复指函数的F.T.利用d函数的筛选性质

二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理5.卷积定理空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积二维傅里叶变换FourierTransform

卷积定理的证明交换积分顺序:应用位移定理应用F.T.定义二维傅里叶变换FourierTransform

利用卷积定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}•{rect(x)}=sinc(f)•sinc(f)=sinc2(f)rect(x)x01/2-1/21rect(x)x01/2-1/21*tri(x)x01-11fsinc(f)01-11fsinc(f)01-11

xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T.

{tri(x)}=sinc2(f)

二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理6.相关定理自相关与功率谱的关系:作为练习自己证明。提示:利用卷积定理、相关定义和共轭函数的F.T.

设g(x,y)G(fx,fy),

F.T.反过来有:{g(x,y)☆

g(x,y)}=|G(fx,fy)|2{|g(x,y)|2}=

G(fx,fy)☆G(fx,fy)

二维傅里叶变换FourierTransform

四、F.T.定理7.F.T.积分定理在函数g的各连续点上,留作习题自证.-1{g(x,y)}=-1

{g(x,y)}=g(x,y){g(x,y)}=-1

-1{g(x,y)}=g(-x,-y)通常g(x,y)是可分离变量的函数,即两个独立一元函数的乘积:g(x,y)=g1(x)g2(y)=G1(fx)

G2(fy)

按二维F.T.的定义:其傅里叶变换也是可分离变量的函数

将二维函数的F.T.化为二个独立坐标上的一维函数的F.T.的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。注意:不可与两个函数乘积的F.T.相混淆!二维傅里叶变换FourierTransform

五、可分离变量函数的变换

傅里叶变换2-DFourierTransform

傅里叶变换的计算方法1.用定义直接计算:rect(x),circ(r),...2.用广义傅里叶变换的定义计算并求极限:1...3.用傅里叶变换的性质间接导出:

F.T.的积分定理

F.T.的卷积定理

傅里叶变换FourierTransform

常用傅里叶变换对

1.{1}=d(fx,fy); {d(fx,fy)}=1 1与d函数互为F.T.

4.{Gaus(x)}=Gaus(f

)高斯函数的F.T.仍为高斯函数

3.{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}=rect(f)

rect与sinc

函数互为F.T.2.梳状函数的F.T.仍为梳状函数傅里叶变换FourierTransform

常用傅里叶变换对

5.{d(x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}=d(fx-fa)

7.{tri(x)}=sinc2(f)6.利用欧拉公式和5的结果8.作业

1-16:已知复函数g(x,y)的傅里叶变换式为G(fx,fy),证明：1-17:若F{g(x,y)}=G(fx,fy)，F{h(x,y)}=H(fx,fy),求证

(1)F{g*(x,y)h(x,y)}=

G(fx,fy)★

H(fx,fy)

（2）F{g(x,y)★h(x,y)}=

G*(fx,fy)

H(fx,fy)1-18：求下列函数的傅里叶变换(1)F

-1F

{g(x,y)}=g(x,y)(2)F

F

{g(x,y)}=g(-x,-y)(3)F{g*(x,y)}=

G*(-fx,-fy)

1.9二维线性系统

Analysisof2-DimensionalLinearSystems定义:用算符表示系统g(x,y)={f(x,y)}{

}输入f(x,y)输出g(x,y){a1f1

(x,y)+a2f2

(x,y)}

={a1f1

(x,y)}+{a2f2

(x,y)}

=a1

{f1

(x,y)}+a2{f2

(x,y)}

=a1

g1

(x,y)+a2g2

(x,y)如果g1(x,y)={f1(x,y)}，g2(x,y)=

{f2(x,y)}若对任意复常数a1，a2有：则称该系统为线性系统。1、线性系统的定义§1-1线性系统

线性系统具有叠加性质

线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合。

{}输入f1(x,y)输出g1(x,y)

{}输入f2(x,y)输出g2(x,y)

{}输入输出线性系统具有叠加性质

利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数分解为简单的“基元”函数的线性组合，则输出就是这些“基元”函数响应的线性组合。光学系统可看成二维线性系统

常用“基元”函数有d函数、复指数函数等等。系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而改变系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变线性系统对各个输入的响应是互相独立的。1.9线性系统系统对处于原点的脉冲函数的响应：h(x,y)={d(x,y)}系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：h(x,y;

x,h)={d(x-x,y-h)}在线性系统中引入脉冲响应的意义:1.任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合2.若已知线性系统的脉冲响应函数,则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合线性系统2、脉冲响应和叠加积分任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合根据d函数的卷积性质或d函数的筛选性质:此式的物理意义:脉冲分解函数f(x,y)可以看成输入(x,y)平面上不同位置处的许多d函数的线性组合.每个位于(x,h)的d函数的权重因子是f(x,h).对于线性系统:g(x,y)={f(x,y)}叠加积分只要知道各个脉冲响应函数,系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合.问题是如何求对任意点的脉冲d(x-x,y-h)的响应h(x,y;

x,h)线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合对一般系统而言,脉冲响应函数的形式可能是点点不同的只有对一类特殊的系统—线性不变系统,h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)

成立,分析可以得到简化.则h(x;1)

h(x-1)=1例如,设

{d(x)}=h(x)=1而{d(x-1)}=h(x;1)=exp(-j2px)脉冲响应函数h(x,y;

x,h)的求法:

二维线性不变系统

2-DLinearShift-InvariantSystem

一、定义设系统在t=0时刻对脉冲的响应为h(t),即:{d(t)}=h(t)若输入脉冲延迟时间t,其响应只有相应的时间延迟t,而函数形式不变,即{d(t-t

)}=h(t-t

)则此线性系统称为时不变系统.系统的性质不随所考察的时间而变,是稳定的系统.时间轴平移了,响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.则此线性系统称为时不变系统.系统的性质不随所考察的时间而变,是稳定的系统.时间轴平移了,响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.tt0d(t-t)t0d(t)例：时不变(一维)系统:RC电路th(t)0th(t-t)t0二维线性不变系统

2-DLinearShift-InvariantSystem实际物理系统大多可近似为平移不变系统.1.9二维线性不变系统

2-DLinearShift-InvariantSystems一个二维脉冲函数在输入面上位移时,线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即：{d(x-x,y-h)}=h(x-x,y-h)线性不变系统的脉冲响应:线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化.这样的系统称为二维线性不变系统。h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)观察点坐标输入脉冲坐标二个坐标的相对间距推广到二维空间函数1.9二维线性不变系统:例空不变(二维)系统:等晕成像系统d(x-x

;y-h)(x

;h)h(x-x

;y-h)xyxy光学成像系统在等晕区内是空间不变的.晕斑d(x,y)h(x,y)1.9二维线性不变系统

输入输出关系:空域输出是输入与脉冲响应函数的卷积积分.这也是线性空不变系统的判据.1.9二维线性不变系统

二、线性不变系统的传递函数两边作F.T.:G(fx,fy)=F(fx,fy)•H(fx,fy)传递函数输出频谱输入频谱传递函数是脉冲响应函数的.F.T.={h(x,y)}五、线性空间不变系统的本征函数本征值与本征函数方程式:

其中f(x,y)是LSI系统的本征函数,是f(x,y)的本征值.本征函数通过该系统时不改变其函数形式，而仅可能被衰减或放大，或产生相移，其变化量决定于相应的本征值。基元函数正是LSI系统的本征函数。

⑴.指数基元其频谱为：其中传递函数即为其本征函数.这时，输出函数的频谱为：于是输出函数为这时，输出函数的频谱为：而输出函数为即其频谱为：

⑵.点基元⑶.余弦函数则由厄米特函数性质有:(模是偶函数)(幅角是奇函数)

这种基元函数常用于非相干成像系统中，其脉冲响应函数是实函数，且其傅里叶变具有厄米特函数特性：令

对脉冲响应是实函数的LSI系统,余弦输入将产生同频率的余弦输出,但可能产生衰减和相移.下面证明余弦函数就是这类系统的本征函数:输入余弦函数的频谱为输出函数的频谱为而输出函数为即故

1.9二维线性不变系统

传递函数－频率响应注意H(fx,fy)是h(x,y)的F.T.,即h(x,y)的频谱函数h(x,y)是对d(x,y)函数的响应d函数的频谱恒为1,即含有所有频率成分,并且各频率成分的权重都相等(=1).但h(x,y)的频谱已经改变成H(fx,fy)∴H(fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响应,即频率响应1.9二维线性不变系统

传递函数－频率响应对于给定的系统和输入,F(fx,fy)和H(fx,fy)较容易求出,因此容易由输出的频谱推算出系统的输出,

可避免冗繁的卷积积分求输出的运算.例:

已知线性不变系统的脉冲响应为

h(x,y)=7sinc(7x)d(y)试用频域方法对下面每一个输入fi(x,y),求其输出gi(x,y)（必要时，可做合理近似）

(3)f3(x,y)=[1+cos(8px)]rect(x/75)G(fx,fy)=F(fx,fy)•H(fx,fy)1.9二维线性不变系统

传递函数——例系统的输入:f3(x,y)=[1+cos(8px)]rect(x/75)脉冲响应: h(x,y)=7sinc(7x)d(y)用图示加以说明二维线性不变系统间隔为3的脉冲阵列,基频为1/3在有限空间区域不为零,|x|<25三角波,底宽为2输入:0-25-3325............xg(x)1二维线性不变系统输入频谱:输入:间隔为1/3的脉冲阵列包络,半宽为1窄带谱,半宽1/50f0-1/31/3G(f)2/3-2/3251-12-2二维线性不变系统传递函数H(f)1f01-12-2二维线性不变系统G’(f)=G(f).H(f)f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20二维线性不变系统输出频谱:G’(f)f0-1/31/32/3-2/350/31-12-2G’(f)=G(f).H(f)输出:输出频谱:{comb(x)}=

{1}=

{d(fx,fy)}=

{rect(x)}= {sinc(x)}=d(fx,fy);11与d函数互为F.T.comb(f)comb(tf)sinc(f);rect(f)快速抢答！！！

{d(x-a)}= {exp(j2pfax)}=exp(-j2pfxa)d(fx-fa)

{tri(x)}

=sinc2(f)快速抢答！！！线性系统脉冲响应线性不变系统传递函数线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合系统对输入脉冲函数的响应输入脉冲位移时,仅使响应函数产生相应的位移，则此线性系统称为线性不变系统线性不变系统脉冲响应函数的F.T.即为传递函数线性不变系统的输入输出关系空域频域G(fx,fy)=F(fx,fy)•H(fx,fy)1.9二维线性不变系统

传递函数－频率响应注意H(fx,fy)是h(x,y)的F.T.,即h(x,y)的频谱函数h(x,y)是对d(x,y)函数的响应d函数的频谱恒为1,即含有所有频率成分,并且各频率成分的权重都相等(=1).但h(x,y)的频谱已经改变成H(fx,fy)∴H(fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响应,即频率响应Analysisof2-DimensionalLinearSystem

1.10抽样定理SamplingTheorem问题的提出:对于一个连续的信号(模拟信号),是否必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息?答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号),可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样.抽样定理若函数g(x,y)不包括高于Bx

和By的频率分量,则此函数可以由一系列间隔(X,Y)等于或小于1/(2Bx)和1/(2By)处的函数值完全决定.

X,Y:时/空域,间隔;Bx,By:频域,带宽1.10抽样定理

1、函数的抽样上式表明,抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为X和Y的d函数阵列构成,每个d函数下的体积正比于该点的函数值.将连续函数g(x,y)在间隔为X和Y的分立的空间点上抽样,就是与梳函数相乘的过程.抽样后的函数系列用gs(x,y)表达:g(x)0x=x0xcomb(x/X).0gs(x)#1.10抽样定理

1、函数的抽样：二维情形1.10抽样定理抽样函数gs(x,y)的频谱经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的频谱以间隔1/X,1/Y重复平移并叠加.1.10抽样定理二、函数的抽样

抽样后函数gs(x,y)的频谱如果G

(fx,fy)频带无限制,则这些频谱函数必然会叠加Gs(fx,fy)即使G

(fx,fy)是频带有限的函数,若X,Y取值不合适,这些重复的频谱函数之间也会互相重叠.fxGs(fx)01/X1/X只有使这些频谱函数互不重叠,才有可能用滤波的方法,从中提取出原函数的频谱,进而求出原函数.fxGs(fx)01.10抽样定理二、函数的抽样

由抽样值还原出原函数的条件fxG(fx)-BxBx0Gs(fx,fy)(2)原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔X和Y不得大于1/(2Bx)和1/(2By),(1)g(x,y)是限带函数,其频谱G

(fx,fy)仅在频率平面上一个有限区域上不为零.2Bx,2By:带宽:包围的最小矩形在fx

和fy方向上的宽度.则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G,进而求出原函数.1.10抽样定理

二、函数的抽样

由抽样值还原出原函数的条件fxGs(fx)-BxBx01/X则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠,有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G,进而求出原函数.称为奈奎斯特(Niquest)间隔只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y)的频谱就是G

(fx,fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部信息.1.10抽样定理

2、原函数的复原

理想低通滤波为了从gs(x,y)中还原出g(x,y),将gs(x,y)通过一个理想低通滤波器,只允许所有频率|fx|<Bx,|fy|<By

的频率分量无畸变地通过,而将此区域以外的频率分量完全阻塞.fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通滤波器的频率特性为频域中的门函数1.10抽样定理

2、原函数的复原

理想低通滤波用频域中宽度2Bx和2By的位于原点的矩形函数作为滤波函数:

滤波过程

:根据卷积定理，在空间域得到:

1.10抽样定理

2、原函数的复原

理想低通滤波若取最大允许的抽样间隔，即X=1/(2Bx)，Y=1/(2By)

，则用函数的抽样值计算出原函数：原函数在分立点上的抽样值插值函数插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值空域中等效于：1.10抽样定理

抽样和还原的图示g(x)0xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X......fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/XX<1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽样fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.还原1.10抽样定理抽样和还原的图示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=Sinc函数称为内插函数频域滤波相当于空域的插值运算连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样.重新恢复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定.1.10抽样定理抽样和还原的图示抽样空域g(x,y)频域G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)还原低通滤波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y