2024八年级数学下册测练第16招正方形的性质和判定的四种应用习题课件新版冀教版

第16招正方形的性质和判定的四种应用冀教版八年级下应用1利用正方形的性质和判定解面积问题分类训练1[2023·湘潭]七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为________dm2.2【点拨】2[2023·秦皇岛十中模拟]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，对角线AC和BD相交于点O，且BO＝DO，过点B作BE∥AD，交AC于点E，连接DE.(1)求证：△AOD≌△EOB；(2)判断四边形ABED的形状，并说明理由；【解】四边形ABED是矩形．理由如下：∵△AOD≌△EOB，∴BE＝AD.∵BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形．∵∠BAD＝90°，∴四边形ABED是矩形．(3)若BC＝DC，BC＝5，CE＝1，求四边形ABED的面积．【解】∵BC＝CD且BO＝DO，∴CO⊥BD，即∠BOC＝90°.∴四边形ABED是正方形．∴BO＝EO.设BO＝EO＝x，则OC＝x＋1，在Rt△BOC中，由勾股定理得BO2＋CO2＝BC2，3在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.应用2

利用正方形的性质解决线段的和差倍分问题(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【解】仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：

过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E,易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝90°－∠MAN＝45°.∴∠EAM＝∠NAM.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．【解】猜想：DN－BM＝MN.理由如下：

如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.应用3利用正方形的性质和判定探究形成正方形的条件(1)求证：CE＝AD.【证明】∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．【解】四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形BECD是菱形．(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．【解】当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.由(2)知，四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形．即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．5问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．应用4

正方形的性质和判定的综合运用特例感知：(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①，针对小红发现的结论，请给出证明．【解】如图①.延长FG，交AC于H.∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，∠ACB＝45°，∠CGH＝90°.∴∠CHG＝45°，CD∥FG.

∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP.

∴CG＝GH.∴CG＋BG＝GH＋FG.

∴BC＝FH.∴CD＝FH.∴△CDP≌△HFP(ASA)．∴DP＝FP.∴点P是DF的中点．(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由．【解】△APE是等腰直角三角形，理由如下：如图②，延长EP，交AD的延长线于点M，设DF和EG的延长线交于点Q，∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°.∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ.∴∠M＝∠BEG.∴AM＝AE.∴AM－AD＝AE－AB.∴DM＝BE.∴DM＝EF.∴△DQM≌△FQE(ASA)．∴DQ＝FQ.∴点Q和点P重合，即EG的延长线与DF的交点恰好也是DF中点P.∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°，∴∠APE＝90°，AP＝EP.

∴△APE是等腰直角三角形．规律探究：(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．【解】△APE的形状不发生改变，仍然是等腰直角三角形．理由如下：如图③，延长EP至Q，使PQ＝PE，连接DQ，AQ，延长DA和FE，交于点N，又∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，∴△PDQ≌△PFE(SAS)．∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF.∴DQ∥EF.∴∠N＋∠ADQ＝180°.∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，

AB＝AD，BE＝EF.